人教八年级数学上册与三角形有关的角.ppt

1、人教八年级数学上册与三角形有关的角三角形内角和定理三角形内角和定理文字叙述文字叙述几何语言几何语言三角形内三角形内角和定理角和定理三角形三个内角三角形三个内角的和等于的和等于180如图，在如图，在ABC中，中，A+B+C=180知识知识解读解读（1）已知三角形的两个角）已知三角形的两个角A和和B，求另一个角，求另一个角C的度数的度数.C=180-(A+B)；（2）已知三角形的三个内角的度数之比是）已知三角形的三个内角的度数之比是a b c，求相关角的度数，求相关角的度数.设三角形三个内角设三角形三个内角的度数分别是的度数分别是ax,bx,cx，通过方程，通过方程ax+bx+cx=180求解每一

2、份的度数，再求相关求解每一份的度数，再求相关角的度数；角的度数；（3）已知三角形的三个内角的度数之间的数）已知三角形的三个内角的度数之间的数量关系，求相关角的度数量关系，求相关角的度数.由已知的数量关系，由已知的数量关系，建立方程，进而求解相关角的度数建立方程，进而求解相关角的度数 例例1 已知一个三角形的三个内角的度数之比为已知一个三角形的三个内角的度数之比为2 3 4，则该三角形最大角的度数是，则该三角形最大角的度数是_.8080 解析：设这个三角形的三个内角的度数分别为解析：设这个三角形的三个内角的度数分别为2x，3x,4x.由三角形内角和定理，得由三角形内角和定理，得2x+3x+4x=

3、180，解得，解得x=20.该三角形最大角的度数是该三角形最大角的度数是4x=80.如果三角形三个角的度数之比为如果三角形三个角的度数之比为a b c，可先设这三，可先设这三个角分别为个角分别为ax，bx，cx，再运用三角形的内角和定理求，再运用三角形的内角和定理求解三个角的度数解三个角的度数.例例2 在在ABC中，中，A是是B的的2倍，倍，C比比A+B还大还大12，那么，那么B=_.解析：设解析：设B=x，则，则A=2x，C=3x+12.A+B+C=180，x+2x+3x+12=180，解得，解得x=28.故故B=28.28直角三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定文字叙述文字叙述几何语言

4、几何语言依据依据直角三直角三角形的角形的性质性质直角三角形的直角三角形的两个锐角互余两个锐角互余三角三角形内形内角和角和定理定理直角三直角三角形的角形的判定判定有两个角互余有两个角互余的三角形是直的三角形是直角三角形角三角形在在RtABC中中C=90，则，则A+B=90在在ABC中，中，A+B=90，则，则C=90直角直角三角三角形的形的性质性质与判与判定的定的简单简单运用运用（1）已知直角三角形的一个锐角）已知直角三角形的一个锐角A，那么另一个锐，那么另一个锐角角B=90-A；（2）如果）如果A，B是是RtABC的两个锐角，那么的两个锐角，那么A+B=C；（3）在）在ABC中，如果中，如果A

5、+B=C，那么这个，那么这个三角形是直角三角形；三角形是直角三角形；（4）在）在ABC中，如果中，如果A=B=45，那么这个，那么这个三角形是等腰直角三角形三角形是等腰直角三角形 例例3 如图如图11-2-1，BD是是ABC的高，的高，AE是角平分线，是角平分线，BAE=26，求，求BFE的度数的度数.解：解：AE是角平分线，是角平分线，BAE=26，FAD=BAE=26.BD是是ABC的高，的高，AFD=90-FAD=90-26=64.BFE=AFD=64.图图11-2-111-2-1(1)在直角三角形中，如果已知一个锐角，那么可以由直在直角三角形中，如果已知一个锐角，那么可以由直角三角形两

6、锐角互余，求解另一个锐角；（角三角形两锐角互余，求解另一个锐角；（2）如果已）如果已知的角与要求解的角没有直接联系时，就要通过等角的知的角与要求解的角没有直接联系时，就要通过等角的代换进行搭桥代换进行搭桥.例例4 如图如图11-2-2，ABCD，直线，直线EF分别交分别交AB，CD于点于点E，F，BEF与与DFE的平分线相交于点的平分线相交于点P.求证：求证：EFP是直角三角形是直角三角形.图图11-2-2证明：证明：ABCD，BEF+DFE=180又又BEF与与DFE的平分线相交于点的平分线相交于点P，.PEF+PFE+P=180,P=90.EFP是直角三角形是直角三角形.1122PEFBE

7、FPFEDFE，1902PEFPFEBEFDFE三角形的外角及三角形内角和定理的推论三角形的外角及三角形内角和定理的推论文字叙述文字叙述几何语言几何语言三角形三角形的外角的外角三角形的一边与三角形的一边与另一边的延长线另一边的延长线组成的角组成的角三角形三角形内角和内角和定理的定理的推论推论三角形的外角等三角形的外角等于与它不相邻的于与它不相邻的两个内角的和两个内角的和ACD是是ABC的一个外角的一个外角 在在ABC中，中，ACD=A+B知识知识解读解读（1）三角形每一个顶点上的外角有两个，是一）三角形每一个顶点上的外角有两个，是一对对顶角，一般地，把三角形的外角视为三个；对对顶角，一般地，把

8、三角形的外角视为三个；（2）三角形任何一个外角等于与其不相邻的两）三角形任何一个外角等于与其不相邻的两个内角的和，与和它相邻的内角是互补关系个内角的和，与和它相邻的内角是互补关系注意：注意：推论是由定理直接推出的结论推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据论可以作为进一步推理的依据.（1）三角形的外角和等于）三角形的外角和等于360；（2）三角形任何一个外角大于与它不相邻的每一个内角）三角形任何一个外角大于与它不相邻的每一个内角.例例5 如图如图11-2-3，DE分别交分别交ABC的边的边AB，AC于于点点D，E，DE的延长线交的延长线交BC的延长线于

9、点的延长线于点F，若，若B67，ACB74，AED48，求，求BDF的度数的度数.图图11-2-3 解：解：A+B+ACB=180，A=180-B-ACB=180-67-74=39.BDF=A+AED=39+48=87.“三角形的内角和等于三角形的内角和等于180”是一个隐含条件，在三是一个隐含条件，在三角形中，解与角有关的问题时，多从这一角度出发思考角形中，解与角有关的问题时，多从这一角度出发思考问题，还要注意，可将其与问题，还要注意，可将其与内角和定理的推论综合运用内角和定理的推论综合运用.混淆方位角混淆方位角 例例6 如图如图11-2-4，A点在点在B处的北偏东处的北偏东40方向，方向，

10、C点在点在B处的北偏东处的北偏东85方向，方向，A点在点在C处的北偏西处的北偏西45方方向，求向，求BAC及及BCA的度数的度数.图图11-2-4 解：由题意，得解：由题意，得DBA=40，DBC=85，BDCE，ECB=180-DBC=180-85=95，ABC=DBC-DBA=85-40=45.ECA=45，BCA=ECB-ECA=95-45=50.BAC=180-ABC-ACB=180-50-45=85.不能正确识别图形中的方位角，把不能正确识别图形中的方位角，把“A点在点在B处的处的北偏东北偏东40方向方向”当作当作“ABC=40”，把，把“C点在点在B处的北偏东处的北偏东85方向方向

11、”当作当作“ECB=85”，直接导，直接导致求解错误致求解错误.错以为三角形每一个外角都大于内角错以为三角形每一个外角都大于内角 例例7 若三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状若三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（是（）A.锐角三角形锐角三角形 B.钝角三角形钝角三角形C.直角三角形直角三角形 D.无法确定无法确定 B 解析：因为这个三角形的一个外角是锐角，而这个解析：因为这个三角形的一个外角是锐角，而这个外角与相邻的内角互为邻补角，所以与它相邻的内角为外角与相邻的内角互为邻补角，所以与它相邻的内角为钝角，所以这个三角形是钝角三角形钝角，所以这个三角形是钝角三角形.故选故选B.由于

12、受刚刚学完由于受刚刚学完“三角形的一个外角等于与它不相三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和邻的两个内角的和”的影响，容易错误地认为三角形的的影响，容易错误地认为三角形的每一个外角都大于内角，从而误选每一个外角都大于内角，从而误选A.要注意三角形内角要注意三角形内角和定理的推论只针对与该外角不相邻的内角，而外角与和定理的推论只针对与该外角不相邻的内角，而外角与其相邻内角互为邻补角其相邻内角互为邻补角.题型一题型一 三角形内角和定理的运用三角形内角和定理的运用角度角度a 三角形内角和定理与角平分线的综合运用三角形内角和定理与角平分线的综合运用 例例8 如图如图11-2-5，在，在ABC中，

13、中，ABC=C，BD是是ABC的平分线，且的平分线，且BDE=BED，A=100，求，求DEC的度数的度数.图图11-2-5思路导图思路导图在在ABC中，由三角中，由三角形内角和定理求出形内角和定理求出ABC的度数的度数在在DBE中，由角平分中，由角平分线定义和三角形内角和线定义和三角形内角和定理求出定理求出DEC的度数的度数解：解：A=100，ABC=C，.BD平分平分ABC，DBE=20.BDE=BED，.DEC=180-DEB=100.1180402ABCA（）1(180)802DEBDBE角度角度b b 三角形内角和定理与高的综合运用三角形内角和定理与高的综合运用 例例9 如图如图11

14、-2-6，在，在ABC中中BAC ABC BCA=3 4 5，BD，CE分别是边分别是边AC，AB上的高，上的高，BD，CE相交于点相交于点H，试猜想，试猜想BHC的的度数，并证明你的结论度数，并证明你的结论.图图11-2-6思路导图思路导图由题中角的比值由题中角的比值关系和三角形内关系和三角形内角和定理求出三角和定理求出三个角的度数个角的度数 由直角三角由直角三角形的性质求形的性质求出出ACE的的度数度数由三角形内角由三角形内角和定理的推论和定理的推论求出求出BHC的的度数度数解：解：BHC=135.证明如下：证明如下：设设BAC=3x，则，则ABC=4x，ACB=5x.BAC+ABC+AC

15、B=180，3x+4x+5x=180，x=15，BAC=45，ABC=60，ACB=75CEAB，AEC=90.ACE是直角三角形，是直角三角形，ACE=90-BAC=45（直角三角形的两个锐角互余）（直角三角形的两个锐角互余）.BDAC，BDC=90.BHC=HCD+HDC=45+90=135.角度角度c 三角形内角和定理的实际应用三角形内角和定理的实际应用 例例10 如图如图11-2-7，按规定，一块模板中，按规定，一块模板中AB,CD的延的延长线应相交成长线应相交成85角因交点不在模板上，不便于测量，角因交点不在模板上，不便于测量，工人师傅连接工人师傅连接AC，测得，测得BAC=32，D

16、CA=65，此时此时AB,CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？什么？图图11-2-7思路导图思路导图将实际问题转化将实际问题转化为求三角形中角为求三角形中角的问题的问题由三角形内由三角形内角和定理求角和定理求出所需角的出所需角的度数度数判断模板是判断模板是否符合规定否符合规定分析：分析：只要确定只要确定AB,CD的延长线所成的角是不是等于的延长线所成的角是不是等于85即可即可.解：不符合规定解：不符合规定.理由：如图理由：如图11-2-8,延长延长AB,CD相交于相交于点点O.在在AOC中，中，BAC=32，DCA=65，AOC=180-BAC

17、-DCA=180-32-65=8385.模板不符合规定模板不符合规定.图图11-2-8题型二题型二 三角形内角和定理推论的运用三角形内角和定理推论的运用角度角度a 三角形内角和定理推论的应用三角形内角和定理推论的应用 例例11 如图如图11-2-9，A+B+C+D+E+F=_.图图11-2-9360思路导图思路导图用三角形内角和定理用三角形内角和定理的推论分别表示出的推论分别表示出A+B,E+F和和C+D由三角形外角和为由三角形外角和为360可求解可求解 解析：如图解析：如图11-2-10，1=A+B，2=E+F，3=C+D，且，且1+2+3=360，A+B+C+D+E+F=360.图图11-

18、2-10角度角度b 巧用三角形内角和定理的推论证明角的大小关系巧用三角形内角和定理的推论证明角的大小关系 例例12 如图如图11-2-11，P是是ABC内的一点，有下列结内的一点，有下列结论：论：BPCA，BPC一定是钝角，一定是钝角，BPC=A+ABP+ACP其中正确的结论是其中正确的结论是_.（直接填写序号）（直接填写序号）图图11-2-11思路导图思路导图作辅助线作辅助线利用三角形内角和定理的利用三角形内角和定理的推论进行证明推论进行证明 解析：如图解析：如图11-2-12,连接连接AP并延长，则并延长，则1是是ABP的外角，的外角，2是是APC的外角，故的外角，故1=BAP+ABP，2

19、=CAP+ACP，1BAP，2CAP，即，即BPC=BAC+ABP+ACP，1+2BAP+CAP，BPCBAC，故正确；，故正确；BPC不能确定其大小，故错误不能确定其大小，故错误.图图11-2-12题型三题型三 三角形内角和定理的推论的综合运用三角形内角和定理的推论的综合运用角度角度a 求三角板拼接中所成的角求三角板拼接中所成的角 例例13 （四川内江中考）将一副直角三角板按图（四川内江中考）将一副直角三角板按图11-2-13放置，使含放置，使含30角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边和含45角的三角板角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的一条直角边在同一条直线上，则1的度数为（的度

20、数为（）A.75 B.65C.45 D.30图图11-2-13A思路导图思路导图明确三角板各明确三角板各角的度数角的度数由对顶角相等和三角由对顶角相等和三角形内角和定理的推论形内角和定理的推论求出求出1的度数的度数 解析：在解析：在ABC中，中，A=180-30-90=60，3=90-60=30.4=3=30.由三角形内角由三角形内角和定理的推论，得和定理的推论，得1=45+4=75.故选故选A.角度角度b 在折叠图形中的综合应用在折叠图形中的综合应用 例例14 如图如图11-2-14，在折纸活动中，刘明制作了一张，在折纸活动中，刘明制作了一张ABC纸片，点纸片，点D，E分别在边分别在边AB，

21、AC上，将上，将ABC沿沿着着DE折叠压平，点折叠压平，点A与点与点A 重合，若重合，若A=75，则，则1+2=_.150图图11-2-141 解析：连接解析：连接AA1.由题意，得由题意，得DAE=DA1E.因为因为1是是AA1D的一个外角，所以的一个外角，所以1=DA1A+DAA1.又因又因为为2是是AA1E的一个外角，所以的一个外角，所以2=EA1A+EAA1,所以所以1+2=DA1A+DAA1+EA1A+EAA1=DAE+DA1E=2DAE=275=150.题型四题型四 运用三角形内角和定理探索角之间的规律运用三角形内角和定理探索角之间的规律 例例15 （四川内江中考）问题引入：（四川

22、内江中考）问题引入：(1)如图如图11-2-15（1），在），在ABC中，点中，点O是是ABC和和ACB的平分线的交点，若的平分线的交点，若A=，则，则BOC=_(用用表示表示)；分析：分析：.290)180(21180)(21180)(180 AACBABCOCBOBCBOC如图如图11-2-1511-2-15（2 2），），CBO CBO=ABCABC，BCO BCO=ACBACB，A A=,则则BOC=BOC=_(_(用用表示表示)，并说明理由，并说明理由.理由：理由：BOCBOC.3120)180(31180)(31180)(180 AACBABCOCBOBC1212 类比研究：类比研

23、究：(3)(3)BOBO，COCO分别是分别是ABC ABC 的外角的外角DBCDBC，ECBECB的的n n等分线，它们交于点等分线，它们交于点O O，CBO CBO=DBCDBC,BCO BCO=ECBECB,A A=,=,试猜想试猜想BOCBOC=_.=_.分析：分析：BOC BOC=n1n1.1801)180(1180)(1180)(180nnnAnECBDBCnOCBOBC (3)(1)(2)图图11-2-1511-2-15解读中考：解读中考：三角形内角和定理是中考中必考的内容作为独立三角形内角和定理是中考中必考的内容作为独立知识点考查时，常以选择题或填空题的形式出现，考查知识点考查

24、时，常以选择题或填空题的形式出现，考查时经常与平行线、角平分线、直角三角形等知识相结合，时经常与平行线、角平分线、直角三角形等知识相结合，出题以三角板的拼接、图形的折叠等为热点题型出题以三角板的拼接、图形的折叠等为热点题型.考点一考点一 三角形的内角和定理的运用三角形的内角和定理的运用 例例16 （黑龙江大庆中考）如图（黑龙江大庆中考）如图11-2-17，在，在ABC中，中，A=40，点，点D是是ABC和和ACB角平分线的交点，角平分线的交点，则则BDC=_.110图图11-2-17 解析：解析：点点D是是ABC和和ACB角平分线的交点，角平分线的交点，CBD=ABD=ABC，BCD=ACD=

25、ACB.ABC+ACB=180-A=140，DBC+DCB=(ABC+ACB)=70.BDC=180-70=110.212121考点二考点二 直角三角形的性质的运用直角三角形的性质的运用 例例17 （浙江宁波中考）如图（浙江宁波中考）如图11-2-19，在，在ABC中，中，ACB=90，CDAB，ACD=40，则，则B的度数的度数为（为（）A.40 B.50 C.60 D.70图图11-2-19B 解析：解析：CDAB，ACD=40，A=ACD=40.ACB=90，B=90-A=90-40=50.故选故选B.考点三考点三 三角形的内角和定理的推论的运用三角形的内角和定理的推论的运用 例18 （

26、四川广安中考）如图（四川广安中考）如图11-2-21,直线直线l l ,若若1=130,2=60,则则3=_.70图图11-2-2111-2-21图图11-2-2211-2-2212 解析：如图解析：如图11-2-22，直线直线l1l2,1=130,4=1=130.2=60,5=4-2=70,3=5=70.例例19 （山东枣庄中考）如图（山东枣庄中考）如图11-2-24，在，在ABC中，中，AB=AC，A=30,E为为BC延长线上一点，延长线上一点，ABC与与ACE的平分线相交于点的平分线相交于点D，则，则D=（）A.15 B.17.5 C.20 D.22.5A图图11-2-2411-2-24

27、 解析：如图解析：如图11-2-25,ABC与与ACE的平分线相的平分线相交于点交于点D，1=2，3=4.ACE=A+ABC，即即1+2=3+4+A，21=23+A.1=3+D，D=A=30=15.2121核心素养核心素养 例例20（1）如图）如图11-2-26(1),1+2与与B+C有什么有什么关系？为什么？关系？为什么？解：（解：（1）根据三角形的内角和定理，得）根据三角形的内角和定理，得1+2=180-A，B+C=180-A，1+2=B+C.(2）把图）把图11-2-26(1)中的中的ABC沿沿DE折叠，得到图折叠，得到图11-2-26(2).填空：填空：12_B+C(填填“”“”“”或

28、或“=”)，当，当A=40时，时，B+C+1+2=_.=280 （3）图）图11-2-26(3)是由图是由图11-2-26(1)的的ABC沿沿DE折折叠得到的叠得到的,如果如果A=30,那么那么x+y=360-（B+C+1+2）=360-_=_,猜想猜想BDA+CEA与与A的的关系为关系为_.30060BDA+CEA=2A（3）（2）（1）图图11-2-26 分析：（分析：（1）根据三角形的内角和定理，得）根据三角形的内角和定理，得1+2=B+C.（2）1+2+BDE+CED=B+C+BDE+CED=360，1+2=B+C.当当A=40时，时，B+C+1+2=1402=280.（3）如果）如果A=30，那么，那么x+y=360-（B+C+1+2）=360-300=60，所以，所以BDA+CEA与与A的关系的关系为为BDA+CEA=2A.