人教A版高中数学选修21课件椭圆的简单几何性质.pptx

1、（金戈铁骑（金戈铁骑 整理制作）整理制作）复复习习：1.椭圆的定义:到到两两定定点点F1、F2的的距距离离之之和和为为常常数数（大大于于|F1F2|）的的动动点点的的轨轨迹迹叫叫做做椭椭圆圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2|)|2(2|2121FFaaPFPF当当焦焦点点在在X轴轴上上时时当当焦焦点点在在Y轴轴上上时时)0(12222babyax)0(12222babxay2.1.2椭圆的几何性质2.2.2椭圆的简单几何性质（1）.,.小小、对对称称性性和和位位置置等等包包括括椭椭圆圆的的形形状状、大大程程研研究究它它的的几几何何性性质质方方下下面面再再利

2、利用用椭椭圆圆的的标标准准椭椭圆圆的的标标准准方方程程立立了了建建出出发发几几何何特特征征上上面面从从椭椭圆圆的的定定义义 .来来研研究究椭椭圆圆的的几几何何性性质质我我们们用用椭椭圆圆的的标标准准方方程程1012222babyaxyOx?,比比较较特特殊殊点点些些哪哪上上椭椭圆圆它它具具有有怎怎样样的的对对称称性性围围吗吗你你能能从从图图上上看看出出它它的的范范的的形形状状观观察察椭椭圆圆观观察察012222 babyax椭椭圆圆的的几几何何性性质质1.范范围围：由由12222byax即即-axa,-byb说说明明：椭椭圆圆落落在在x=a,y=b组组成成的的矩矩形形中中112222byax和

3、oyB2B1A1A2F1F2cabx1 1.范范围围:.,:bybaxa从图形上看;11:222222axaaxbyax从方程上看bybbaxby222222y 11.,所围成的矩形内故整个椭圆位于axbyF2F1Oxy椭圆关于y轴对称。F2F1Oxy椭圆关于x轴对称。A2A1A2F2F1Oxy椭圆关于原点对称。2、椭椭圆圆的的对对称称性性YXOP（x，y）P1（-x，y）P3（-x，-y）结结论论:椭椭圆圆关关于于x轴轴、y轴轴、原原点点对对称称。)0(12222babyax椭圆上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点是1P同理椭圆关于x轴对称关于原原点点对称即在椭圆上,则椭圆关于y轴对称22

4、22xyab1P(-x,y)2,P xy22221xyab叫叫做做心心中中圆圆的的对对称称椭椭中中心心称称对对椭椭圆圆的的点点是是原原轴轴称称坐坐标标轴轴是是椭椭圆圆的的对对这这时时轴轴对对称称轴轴、椭椭圆圆关关于于综综上上,yx.椭椭圆圆的的中中心心顶点顶点3.,.,标标轴的交点坐轴的交点坐轴、轴、常需要求出曲线与常需要求出曲线与常常的位置的位置要确定曲线在坐标系中要确定曲线在坐标系中线的位置线的位置可以确定曲可以确定曲的位置的位置研究曲线上某些特殊点研究曲线上某些特殊点yx?交点坐标吗交点坐标吗轴的轴的轴、轴、得出椭圆与得出椭圆与程程你能由椭圆的方你能由椭圆的方探究探究yxbabyax01

5、2222 yOx1A2A2B1B812.图图3、椭椭圆圆的的顶顶点点)0(12222babyax令令x=0，得得y=？，说说明明椭椭圆圆与与y轴轴的的交交点点？令令y=0，得得x=？说说明明椭椭圆圆与与x轴轴的的交交点点？*顶顶点点：椭椭圆圆与与它它的的对对称称轴轴的的四四个个交交点点，叫叫做做椭椭圆圆的的顶顶点点。*长长轴轴、短短轴轴：线线段段A1A2、B1B2分分别别叫叫做做椭椭圆圆的的长长轴轴和和短短轴轴。a、b分分别别叫叫做做椭椭圆圆的的长长半半轴轴长长和和短短半半轴轴长长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)椭椭圆圆几几何何性性质质的的应应用

6、用(1)椭椭圆圆的的焦焦点点决决定定椭椭圆圆的的位位置置，范范围围决决定定椭椭圆圆的的大大小小，离离心心率率决决定定了了椭椭圆圆的的扁扁圆圆程程度度，对对称称性性是是椭椭圆圆的的重重要要特特征征，顶顶点点是是椭椭圆圆与与对对称称轴轴的的交交点点，是是椭椭圆圆重重要要的的特特殊殊点点；若若已已知知椭椭圆圆的的标标准准方方程程，则则根根据据a、b的的值值可可确确定定其其性性质质(2)明明确确a，b的的几几何何意意义义，a是是长长半半轴轴长长，b是是短短半半轴轴长长，不不要要与与长长轴轴长长、短短轴轴长长混混淆淆，由由c2a2b2，可可得得“已已知知椭椭圆圆的的四四个个顶顶点点，求求焦焦点点”的的几

7、几何何作作图图法法，只只要要以以短短轴轴的的端端点点B1(或或B2)为为圆圆心心，以以a为为半半径径作作弧弧交交长长轴轴于于两两点点，这这两两点点就就是是焦焦点点名名师师点点睛睛1学学生生活活动动(课课本本48页页练练习习1)思思考考:已已知知椭椭圆圆的的长长轴轴A A1 1A A2 2和和短短轴轴B B1 1B B2 2，怎怎样样确确定定椭椭圆圆焦焦点点的的位位置置？oB2B1A1A2F1F2aaccb因因为为a2=b2+c2,所所以以以以椭椭圆圆短短轴轴端端点点为为圆圆心心,a长长为为半半径径的的圆圆与与x轴轴的的交交点点即即为为椭椭圆圆焦焦点点.练习：课本48页2离心率离心率4?,.画椭

8、圆的扁平程度呢画椭圆的扁平程度呢用什么量可以刻用什么量可以刻那么那么椭圆的扁平程度不一椭圆的扁平程度不一我们发现我们发现图图观察不同的椭圆观察不同的椭圆思考思考912 912.图图、离离心心率率)0(12222babyax椭圆观察得知：长半轴为a半焦距为c思考：保持长半轴a不变，改变椭圆的半焦距c，我们可以发现，c越接近a，椭圆越_这样，我们就可以利用和这两个量来刻画椭圆的扁平程度扁扁平平ca看动画称为：轴长的我们把椭圆的焦距与长ac椭椭圆圆的的离离心心率率.acee来表示，即用因为ac0,所以e的取值范围是:_0e b bceaa2=b2+c2标标准准方方程程范范围围对对称称性性顶顶点点坐坐

9、标标焦焦点点坐坐标标半半轴轴长长离离心心率率a a、b b、c c的的关关系系22221(0)xyabab|x|a,|y|b关关于于x x轴轴、y y轴轴成成轴轴对对称称；关关于于原原点点成成中中心心对对称称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长长半半轴轴长长为为a a,短短半半轴轴长长为为b b.a a b bceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x|b,|y|a同同前前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同同前前同同前前同同前前椭椭圆圆的的简简单单几几何何性性质质自自学学导导引引焦焦点点的的位位置置焦

10、焦点点在在x x轴轴上上焦焦点点在在y轴轴上上图图形形标标准准方方程程_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(ab0)(ab0)焦焦点点的的位位置置焦焦点点在在x x轴轴上上焦焦点点在在y轴轴上上范范围围_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _顶顶点点_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

11、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _轴轴长长短短轴轴长长_，长长轴轴长长_焦焦点点_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _焦焦距距|F1F2|_对对称称性性对对称称轴轴_，对对称称中中心心_离离心心率率e_axa且且bybbxb且且ayaA1(a，0)、A2(a，0)B1(0，b)、B2(0，b)A1(0

12、，a)、A2(0，a)B1(b，0)、B2(b，0)2b2aF1(c，0)、F2(c，0)F1(0，c)、F2(0，c)2cx轴轴和和y轴轴(0，0)例例4 4求求椭椭圆圆1 16 6x x2 2+2 25 5y y2 2=4 40 00 0的的长长轴轴和和短短轴轴的的长长、离离心心率率、焦焦点点和和顶顶点点坐坐标标解解：把把已已知知方方程程化化成成标标准准方方程程1452222yx这这里里，31625,4,5cba因因此此，椭椭圆圆的的长长轴轴长长和和短短轴轴长长分分别别是是82,102ba离离心心率率6.053ace焦焦点点坐坐标标分分别别是是)0,3(),0,3(21FF四四个个顶顶点点

13、坐坐标标是是)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA解解题题的的关关键键：1、将将椭椭圆圆方方程程转转化化为为标标准准方方程程2、确确定定焦焦点点的的位位置置和和长长轴轴的的位位置置例.求求适适合合下下列列条条件件的的椭椭圆圆的的标标准准方方程程：（1）经经过过点点P（-3，0），Q（0，-2）；（2）长长轴轴长长等等于于20，离离心心率率等等于于.5314922yx解：（1）由椭圆的几何性质可知，点P、Q分别为椭圆长轴和短轴的一个端点.23ba，为所求椭圆的标准方程.，由已知53202)2(acea.610ca，.64222cab1641001641002222xyyx

14、或所以椭圆方程为：练习：课本48页4练习：课本48页3.,.|,.|,.,.,.)(,.所所在在的的椭椭圆圆方方程程求求截截口口已已知知集集中中到到另另一一个个焦焦点点经经过过旋旋转转椭椭圆圆面面反反射射后后发发出出的的光光线线一一个个焦焦点点由由椭椭圆圆上上片片门门位位于于另另一一个个焦焦点点上上一一个个焦焦点点灯灯丝丝位位于于椭椭圆圆是是椭椭圆圆的的一一部部分分称称轴轴的的截截口口过过对对的的一一部部分分的的曲曲面面其其对对称称轴轴旋旋转转一一周周形形成成椭椭圆圆绕绕是是旋旋转转椭椭圆圆面面电电影影放放映映灯灯泡泡的的反反射射镜镜一一种种如如图图例例BACcmFFcmBFFFBCFFFFB

15、AC548211125211212121 xy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射镜面反射镜面xy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射镜面反射镜面1112.图图.,.111122222 byax圆方程为设所求椭的直角坐标系所示建立图解.|,22221212215482 FFBFBFFBFRt中在所以由椭圆的性质知,|,aBFBF221 ;.)|(1454828221212221 BFBFa.43252142222 cabxy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射镜面反射镜面1112.图图.,143142222 yx所求的椭圆方程为所以解解：xyl l.FFO.M的距离，则到直线是点设lMd由题意

16、知acdMF|d.|)(222acxcaycx即化简.)()(22222222caayaxca，则设222bca12222byax方程化为)0(ba.22的椭圆、分别为的轨迹是长轴、短轴长点baM.例例6 6.点点M M（x x，y y）与与定定点点F F（c c，0 0）的的距距离离和和它它到到定定直直线线的的距距离离的的比比是是常常数数，求求点点M M的的轨轨迹迹2al:xcc(ac0)a 是离心率常数定直线叫椭圆的准线定点是椭圆的焦点这个点的轨迹是椭圆时（常数比是到一条定直线的距离的与一个定点的距离和它当点eeac,)10eM椭圆第二定义:xyl l.FFO.Md活页规范训练4已知椭圆的

17、短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是_解析设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b1，a2b2()2，即a24.所以椭圆的标准方程是y21或x21.答案y21或x215542x42y42x42y5已知椭圆的离心率为，则k的值为_解析当k89时，e2，k4；当k81，0m1.由方程得a，b1.a2b，m.答案A4121my12m1m14111已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A(2，6)求椭圆的标准方程解法一依题意a2b.(1)当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为.代入点A(2，6)坐标，得，解得b237，a24b2437148，椭圆的标准方程为.(2)

18、当焦点在y轴上时，设椭圆方程为.代入点A(2，6)坐标得，b213，a252.椭圆的标准方程为.综上所述，所求椭圆的标准方程为或.142222bybx1364422bb13714822yx142222bxby1443622bb1135222xy1135222xy13714822yx2.1.2椭圆的几何性质2.2.2椭圆的简单几何性质（2）自自学学导导引引直直线线与与椭椭圆圆的的位位置置关关系系种种类类:相相离离(没没有有交交点点)相相切切(一一个个交交点点)相相交交(二二个个交交点点)相相离离(没没有有交交点点)相相切切(一一个个交交点点)相相交交(二二个个交交点点)直直线线与与椭椭圆圆的的位

19、位置置关关系系的的判判定定mx2+nx+p=0（m0）Ax+By+C=0由由方方程程组组：0相相交交方方程程组组有有两两解解两两个个交交点点代代数数方方法法=n2-4mp12222 byax所所以以消消y得得一一个个一一元元二二次次方方程程位位置置关关系系解解的的个个数数的的取取值值相相交交_解解_0相相切切_解解_0相相离离_解解_0两两一一无无0，因因为为所所以以方方程程（）有有两两个个根根，变变式式1：交交点点坐坐标标是是什什么么？弦弦长长公公式式：则则原原方方程程组组有有两两组组解解.-(1)22121214)kxxxx （2121|ABk xx 所所以以该该直直线线与与椭椭圆圆相相交

20、交.变变式式2：相相交交所所得得的的弦弦的的弦弦长长是是多多少少？117(1,),(,)2510AB 6|55AB 由由韦韦达达定定理理12124515xxxx k表表示示弦弦的的斜斜率率，x1、x2表表示示弦弦的的端端点点坐坐标标名名师师点点睛睛利利用用设设而而不不解解的的方方法法求求解解直直线线与与椭椭圆圆相相交交位位置置关关系系中中的的中中点点、弦弦长长等等问问题题是是本本节节特特别别常常见见的的方方程程思思想想方方法法方方法法技技巧巧函函数数方方程程思思想想在在椭椭圆圆中中的的应应用用【示示例例】思思路路分分析析 求求弦弦AB的的长长，需需确确定定点点A、B的的坐坐标标，点点A、B是是

21、直直线线与与椭椭圆圆的的交交点点，因因此此由由直直线线方方程程和和椭椭圆圆方方程程组组成成方方程程组组，解解方方程程组组，依依据据根根与与系系数数的的关关系系和和弦弦长长公公式式可可求求解解方方法法点点评评解解决决直直线线与与椭椭圆圆的的位位置置关关系系问问题题经经常常利利用用设设而而不不解解的的方方法法，解解题题步步骤骤为为：(1)设设直直线线与与椭椭圆圆的的交交点点为为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联联立立直直线线与与椭椭圆圆的的方方程程；(3)消消元元得得到到关关于于x或或y的的一一元元二二次次方方程程；(4)利利用用根根与与系系数数的的关关系系设设而而不不求求；(5)把把题题干干中中的的条条件件转转化化为为x1x2，x1x2或或y1y2，y1y2，进进而而求求解解5椭圆x24y216被直线yx1截得的弦长为_解析由消去y并化简得x22x60.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x22，x1x26.12116422xyyx221221)()(|yyxxMN弦长35)244(454)(4521221xxxx221221)2121()(xxxx练习：课本48页7