人教A版高中数学选修21《231双曲线及其标准方程》课件.pptx

1、第二章2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一双曲线的定义思考若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？如图，曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线.答案梳理梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的

2、差的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 ；(2)关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的 (包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的 .(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是 .线段F1F2的中垂线绝对值这两个定点焦距两条射线一支知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准方程的推导过程是什么？答案(1)建系：以直线F1F2为x轴，

3、F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系.(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F1(c，0)，F2(c，0).(3)列式：由|MF1|MF2|2a，(4)化简：移项，平方后可得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2).(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程；以方程的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(c，0)，(c，0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程叫做双曲线的标准方程.(此步骤可省略)思考2双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？双曲线标准方程中的两个参数a和b，确

4、定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b大小不确定.答案梳理梳理(1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程_ _图形焦点坐标_ _a，b，c的关系式_F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)a2b2c2(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在 上；若y2项的系数为正，那么焦点在 上.(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2By

5、21(AB0).(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2 与椭圆中的b2 相区别.a2c2x轴y轴c2a2题型探究类型一双曲线的定义及应用命题角度命题角度1双曲线中焦点三角形面积问题双曲线中焦点三角形面积问题解答得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，12F PFS引申探究引申探究本例中若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积.解答由双曲线方程知a3，b4，c5，

6、由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100，将代入得|PF1|PF2|32，12F PFS求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；反思与感悟1 2PF FS(2)方法二：1 2PF FS特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特

7、别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系.解答在MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos.|F1F2|24c2，|MF1|2|MF2|2(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|4a22|MF1|MF2|，式化为4c24a22|MF1|MF2|(1cos)，1 2MF FS 当|PF1|PF2|3时，|PF1|PF2|30).判断：若2a2c|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c|F1F2|，b2c2a2，进而求出相应a，b，c.根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.跟踪训练跟踪训练2下列命题

8、是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点F1(1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为双曲线；已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为两条射线；到定点F1(3，0)，F2(3，0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；若点P到定点F1(4，0)，F2(4，0)的距离的差的绝对值等于点M(1，2)到点N(3，1)的距离，则点P的轨迹为双曲线.答案解析 6，故点P的轨迹不存在；点M(1，2)到点N(3，1)的距离为 58，故点P的轨迹是以F1(4，0)，F2(4，0)为焦点的双曲线.类型二待定系数法求双曲线的标准方程

9、解答解答a212，b28.待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0).反思与感悟(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.(4)结论：写出双曲线的标准方程.跟踪训练跟踪训练3根据条件求双曲线的标准方程.(1)c ，经过点A(5，2)，焦点在x轴上；解得a25或a230(舍).解答设双曲线方程为mx2ny21(mn4，则a29，b24)以正负分a，b(如1中，40，90，则a24，b29)a，b，c的关系a2b2c2(a最大)c

10、2a2b2(c最大)解答解答类似的性质如下：其证明过程如下：设P(x，y)，M(m，n)，则N(m，n)，故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.当堂训练23451由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6，即|3|PF2|6，解得|PF2|9(负值舍去)，故选B.答案解析A.11 B.9 C.5 D.3又由|F1F2|10可得PF1F2是直角三角形，答案解析234511 2PF FS3.已知圆C：x2y26x4y80，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为_.令x0，得y24y80，方程无解，即该圆与y轴无交点.令y0，得x26x80，解得x2或x4，

11、则符合条件的双曲线中a2，c4，b2c2a216412，且焦点在x轴上，答案解析234514.已知双曲线2x2y2k(k0)的焦距为6，则k的值为_.234516或6答案解析由题易知，k0.综上，k6或k6.2345123451答案解析规律与方法1.双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，若|MF1|MF2|2a，则点M在右支上；若|MF2|MF1|2a，则点M在左支上.(2)双曲线定义的双向运用：若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线.若动点M在双曲线上，则|MF1|MF2|2a.2.求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解.特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，为简单起见，常标明条件mn0.