[数学]数学归纳法课件.ppt

1、数学归纳法数学归纳法重点难点重点难点重点：理解并熟练运用数学归纳法重点：理解并熟练运用数学归纳法难点：难点：数学归纳法的证明思路数学归纳法的证明思路初始值初始值n0的确定的确定教材回扣夯实双基教材回扣夯实双基基础梳理基础梳理1归纳法归纳法归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，如果我们考察了某类对象中的一部分，如果我们考察了某类对象中的一部分，由这一部分具有某种特征而得出该类对由这一部分具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论，为象中的全体都具有这种特征的结论，为不完全归纳法不完全归纳法由不完全归纳法得出的结论不一定都由不完全归纳法得出的结论不一定都是

2、正确的是正确的,其正确性还需进一步证明；其正确性还需进一步证明；如果我们考察了某类对象中的每一个如果我们考察了某类对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的对象，而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳法，由完全归纳法得结论为完全归纳法，由完全归纳法得出的结论一定是正确的，数学归纳法出的结论一定是正确的，数学归纳法是一种完全归纳法是一种完全归纳法2数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数一般地，证明一个与正整数n有关的命有关的命题，可按下列步骤进行：题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：验证当归纳奠基：验证当n取第一个值取第一个值n0时时结论成立；结论成立；(2)归纳递推：假设当归纳递

3、推：假设当nk(kN*，且，且kn0)时结论成立推出时结论成立推出nk1时结时结论也成立论也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从对从n0开始的所有自然数开始的所有自然数n(nn0)都成都成立，这种证明方法叫做数学归纳法立，这种证明方法叫做数学归纳法3归纳、猜想与证明归纳、猜想与证明从观察一些特殊的简单的问题入手，从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明后从理论上证明(或否定或否定)这种猜想，这这种猜想，这个过程叫做个过程叫

4、做“归纳归纳猜想猜想证明证明”课前热身课前热身Ank1时等式成立时等式成立Bnk2时等式成立时等式成立Cn2k2时等式成立时等式成立 Dn2(k2)时等式成立时等式成立答案：答案：B2用数学归纳法证明用数学归纳法证明“12222n22n31”，在验证，在验证n1时，时，左边计算所得的式子为左边计算所得的式子为()A1 B12C1222 D122223答案：答案：DA1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案：答案：C4凸凸k边形内角和为边形内角和为f(k)，则凸，则凸k1边边形 的 内 角 和 为形 的 内 角 和 为 f(k 1)f(k)_.答案：答案：考点探究讲练互动考点探究讲练互动考点考点

5、1用数学归纳法证明恒等式用数学归纳法证明恒等式用数学归纳法证明恒等式的关键是在用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明证明nk1时命题成立，时命题成立，要从要从nk1时待证的目标恒等式的一时待证的目标恒等式的一端端“拼凑拼凑”出归纳假设的恒等式的一出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可同时，还端，再运用归纳假设即可同时，还要注意待证的目标恒等式的另一端的要注意待证的目标恒等式的另一端的变化，即用变化，即用“k1”替换恒等式中的替换恒等式中的所有所有“n”【思路分析思路分析】按数学归纳法的步骤按数学归纳法的步骤进行证明即可进行证明即可(2)假设假设nk时，结论成立，即时，结论成立，即f(1)f

6、(2)f(k1)kf(k)1，那么，当那么，当nk1时，时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k【失误分析失误分析】数学归纳法证明问题数学归纳法证明问题的关键除用上述归纳假设外，还要注的关键除用上述归纳假设外，还要注意由意由nk到到nk1项数的变化情况，项数的变化情况，有时不一定就增加一项，有时不一定就增加一项，考点考点2用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明与用数学归纳法证明与n有关的不等式一有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要

7、求比较它们二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式，往往要先对的大小对第二类形式，往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，再猜出从某个免出现判断失误，再猜出从某个n值开值开始都成立的结论，最后用数学归纳法始都成立的结论，最后用数学归纳法证明证明【规律方法规律方法】用数学归纳法证明用数学归纳法证明不等式，推导不等式，推导nk1也成立时，证明也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法，分析不等式的常用方法，如比较法，分析法，综合法均要灵活运用，在证明过法，综合法均要灵活运用，在证明过程中，常利用不等式的传递性对式子程中，常利用不等式的传递

8、性对式子放缩放缩考点考点3归纳、猜想与证明归纳、猜想与证明“归纳归纳猜想猜想证明证明”的模式，的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的问题中有着广泛的应用正整数有关的问题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式其关键是归纳、猜想出公式 在数列在数列a n与与bn中，中，a11，b14，数列，数列an的前

9、的前n项和项和Sn满足满足nSn1(n3)Sn0,2an1为为bn与与bn1的等比的等比中项，中项，nN*.(1)求求a2，b2的值；的值；(2)求数列求数列an与与bn的通项公式的通项公式【思路分析思路分析】求求an与与bn的通项公的通项公式，先求式，先求an和和bn的前几项，猜想出的前几项，猜想出an和和bn，最后给出证明，最后给出证明再证再证bn(n1)2，nN*，当当n1时，时，b14，等式成立等式成立假设假设nk时，等式成立，时，等式成立，即即bk(k1)2，那么那么nk1时，时，【方法指导方法指导】“归纳归纳猜想猜想证明证明”的模式，是不完全归纳法与数的模式，是不完全归纳法与数学归

10、纳法综合应用的解题模式，这种学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性这种思维方式是推明结论的正确性这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式动数学研究和发展的重要方式考点考点4用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题 平面上有平面上有n个圆，其中任何两圆都相个圆，其中任何两圆都相交，任何三圆不相交于同一点，求证：交，任何三圆不相交于同一点，求证：这这n个圆把平面分成的区域数为个圆把平面分成的

11、区域数为f(n)n2n2.【思路分析思路分析】关键是关键是nk到到nk1的过渡，要想搞清的过渡，要想搞清f(k1)比比f(k)多出平多出平面区域的块数，就要先弄清第面区域的块数，就要先弄清第k1个个圆被原来的圆被原来的k个圆分成了多少段，每一个圆分成了多少段，每一段把它所在的原平面区域一分为二，段把它所在的原平面区域一分为二，为此先求出第为此先求出第k1个圆与原来的个圆与原来的k个圆个圆的交点个数即可的交点个数即可【证明证明】(1)当当n1时，一个圆把平时，一个圆把平面分成两个部分，面分成两个部分，又又f(1)12122，所以，所以n1时，时，命题成立命题成立(2)假设假设nk时命题成立，即平

12、面内满足时命题成立，即平面内满足条件的条件的k个圆把平面分成个圆把平面分成f(k)k2k2个部分个部分则则nk1时，第时，第k1个圆与前个圆与前k个圆中个圆中的每一个各有两个交点，又无三圆相交的每一个各有两个交点，又无三圆相交于同一点，故共得于同一点，故共得2k个交点，这个交点，这2k个交个交点把第点把第k1个圆分成个圆分成2k条圆弧，条圆弧，每条圆弧把原来所在的区域一分为二，每条圆弧把原来所在的区域一分为二，所以平面的区域增加所以平面的区域增加2k个，即个，即f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，所以当所以当nk1时命题也成立时命题也成立由由(1)(2)可知，对一切正整数可

13、知，对一切正整数n，命题都，命题都成立成立方法技巧方法技巧1在数学归纳法中，归纳奠基和归纳在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中，递推缺一不可在较复杂的式子中，注意由注意由nk到到nk1时，式子中项数时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项同的变化，应仔细分析，观察通项同时还应注意，不用假设的证法不是数时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法学归纳法2对于证明等式问题，在证对于证明等式问题，在证nk1等式也成立时，应及时把结论和推导过等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不于整

14、除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法；证明几何等式时，一般要运用放缩法；证明几何命题时，关键在于弄清由命题时，关键在于弄清由nk到到nk1的图形变化的图形变化3归纳、猜想、证明属于探索性问归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明由于法证明由于“猜想猜想”是是“证明证明”的的前提和前提和“对象对象”，务必保证猜想的正，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写的书写失误防范失误防范数学归纳法是用来证明与正整数数学归

15、纳法是用来证明与正整数n有关有关的数学命题的一种常用方法，应用时的数学命题的一种常用方法，应用时应注意以下三点：应注意以下三点：(1)验证是基础验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数是要找一个数n0，这个，这个n0就是要证明的就是要证明的命题对象的最小正整数，这个正整数命题对象的最小正整数，这个正整数并不一定都是并不一定都是“1”，因此，因此“找准起点，找准起点，奠基要稳奠基要稳”是正确运用数学归纳法第是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题一个要注意的问题(2)递推乃关键递推乃关键数学归纳法的实质在于递推，所以从数学归纳法的实质在于递推，所以从“

16、k”到到“k1”的过程，必须把归纳假的过程，必须把归纳假设设“nk”作为条件来导出作为条件来导出“nk1”时的命题，在推导过程中，要把归时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次纳假设用上一次或几次(3)寻找递推关系寻找递推关系在第一步验证时，不妨多计算几次，在第一步验证时，不妨多计算几次，并争取正确写出来，这样对发现递推关并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的系是有帮助的探求数列通项公式时要善于观察式子探求数列通项公式时要善于观察式子的变化规律，观察的变化规律，观察n处在哪个位置处在哪个位置在书写在书写f(k1)时，一定要把包含时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是的式

17、子写出来，尤其是f(k)中的最后一中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项要分清楚些项要分清楚命题预测命题预测从近几年的高考试题来看，用数学归纳从近几年的高考试题来看，用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数法证明与正整数有关的不等式以及与数列有关的命题是高考的热点，题型为解列有关的命题是高考的热点，题型为解答题，答题，考向瞭望把脉高考考向瞭望把脉高考主要考查用数学归纳法证明数学命题主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时考查学生分析问题、解的能力，同时考查学生分析问题、解决问题的能力，难度为中、高档决问题的能力，难度为中、高档预测预测2013年广

18、东高考可能会以数列、年广东高考可能会以数列、有关的等式或不等式的证明为主要考有关的等式或不等式的证明为主要考点，重点考查学生运用数学归纳法解点，重点考查学生运用数学归纳法解决问题的能力决问题的能力规范解答规范解答 (本题满分本题满分12分分)(2010高考江苏高考江苏卷卷)已知已知ABC的三边长都是有理数的三边长都是有理数求证：求证：(1)cosA是有理数；是有理数；(2)对任意正整数对任意正整数n，cosnA是有理数是有理数当当n1时，由时，由(1)知知cosA是有理数，是有理数，从而有从而有sinAsinA1cos2A也是有理也是有理数数.4分分假设当假设当nk(k1)时，时，coskA和

19、和sinAsinkA都是有理数都是有理数当当nk1时，时，由由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，由由和归纳假设，知和归纳假设，知cos(k1)A与与sinAsin(k1)A都是有理数都是有理数即当即当nk1时，结论成立时，结论成立.11分分综合综合、可知，对任意正整数可知，对任意正整数n，cosnA是有理数是有理数.12分分【名师点评名师点评】本题有一定难度，考本题有一定难度，考生做的极不理想，错误原因归纳为：生做的极不理想，错误原因归纳为：(1)对于有理数概念不清，从而不知如对于有理数概念不清，从而不知如何证明；何证明；(2)由由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA说明有理数，只说明说明有理数，只说明cosA，coskA是有理数而是有理数而sinAsinkA未提；有未提；有的从的从sin2kAcos2kA1说明都是错误说明都是错误的的