湘教版高中数学选修21课件32空间向量的坐标.pptx

1、灿若寒星整理制作灿若寒星整理制作3.2 空间向量的坐标空间向量的坐标3.2 空间向量的坐标空间向量的坐标提提 问问:我们知道我们知道,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,平面上任平面上任意一点的位置都有唯一的坐标来表示意一点的位置都有唯一的坐标来表示.那空间中任意一点的位置怎样用坐标来那空间中任意一点的位置怎样用坐标来表示表示?墙墙墙墙地面地面下图是一个房间的示意图下图是一个房间的示意图,我们来探我们来探讨表示电灯位置的方法讨表示电灯位置的方法.z z134x x4y y15O(4,5,3)一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系oxyz从空间某一个定点从空间某一个定点引三条互相垂直且有相引三条

2、互相垂直且有相同单位长度的数轴，这同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐样就建立了空间直角坐标系标系xyz点点叫做坐标原点叫做坐标原点，x轴轴、y轴轴、z轴叫做轴叫做坐标轴坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为平面，分别称为xoy平面平面、yoz平面平面、和和Zox平面平面oxyz在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,让让右手拇指指向右手拇指指向x x轴的正方向，轴的正方向，食指指向食指指向y y轴的正方向，若中轴的正方向，若中指指向指指向z z轴的正方向，则称这轴的正方向，则称这个坐标系为个坐标系为右手直角坐标系右手直角坐标系说明说明:我们一

3、般建立的坐标系我们一般建立的坐标系 都是右手直角坐标系都是右手直角坐标系.空间直角坐标系的画法空间直角坐标系的画法:oxyz1.1.X X轴与轴与y y轴、轴、x x轴与轴与z z轴均成轴均成1351350 0,而而z z轴垂直于轴垂直于y y轴轴1351350 01351350 02.2.y y轴和轴和z z轴的单位长度相同，轴的单位长度相同，x x轴上的单位长度为轴上的单位长度为y y轴（或轴（或z z轴）的单位长度的一半轴）的单位长度的一半有了空间直角坐标系，那空间中的有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点任意一点怎样来表示它的坐标呢？怎样来表示它的坐标呢？oxyzabc(a,b,c)经

4、过经过A A点作三个平面点作三个平面分别分别垂直垂直于于x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴，轴，它们与它们与x x轴、轴、y y轴和轴和z z轴分别轴分别交于三点，三点在相应的交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标坐标轴上的坐标a,b,ca,b,c组成组成的有序实数对（的有序实数对（a,b,c)a,b,c)叫做叫做点点的坐标的坐标记为记为：（：（a,b,c)在空间直角坐标系中，作出点（在空间直角坐标系中，作出点（,）.例例分析：分析：oxyz从原点出发沿从原点出发沿x轴轴正方向移动个单位正方向移动个单位11沿与沿与y轴平行的方向轴平行的方向向右移动个单位向右移动个单位22沿与沿与z轴平行的方向

5、轴平行的方向向上移动个单位向上移动个单位（,）2例例如图，已知长方体如图，已知长方体ABCD-ABCD的边长为的边长为AB=12,AD=8,AA=5.以这个长方体的顶点为坐标以这个长方体的顶点为坐标原点，射线原点，射线AB,AD,AA分别为分别为x轴、轴、y轴和轴和z轴的正半轴的正半轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标求长方体各个顶点的坐标xyzAOABBCCDD在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,x x轴上的点、轴上的点、xoyxoy坐标平面内的点的坐标各有什么坐标平面内的点的坐标各有什么特点？特点？),(zyxM xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0

6、,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC)0,0,0(Ox轴上的点横轴上的点横坐标就是与坐标就是与x x轴交轴交点的坐标，纵坐标点的坐标，纵坐标和竖坐标都是和竖坐标都是xoy坐标平面坐标平面内的点的竖坐标为内的点的竖坐标为，横坐标与纵坐，横坐标与纵坐标分别是点向两轴标分别是点向两轴作垂线交点的坐标作垂线交点的坐标。，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba共线向量定理共线向量定理:复习：共面向量定理共面向量定理:0/aa b babb 对空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数，使。有向量的一组基底。）叫做表示这一平面内所、（。

7、，使，一对实数，有且只有任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij问题：问题：p 我们知道，平面内的任意一个向量我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个都可以用两个不共线的向量不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,a b xyzOijkQPp.OPOQzk.OQxiy j.OPO

8、Qzkxiy jzk 由此可知，如果由此可知，如果 是空间两两是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向垂直的向量，那么，对空间任一向量量 ，存在一个有序实数组，存在一个有序实数组 x,y,z使得使得 我们称我们称 为向量为向量 在在 上的分向量。上的分向量。,i j k p.pxiy jzk,xi y j zk,i j k p 探究：探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的，你能得出类似的 结论吗？结论吗？,a b c ,i j k 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。任意不共面的三个向量都可做为

9、空间的一个基底。空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,a b c p.pxaybzc 都叫做都叫做基向量基向量,a b c （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。对于基底对于基底a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,c不共面，不共面，还应明确：还应明确：（2）由于可视由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是们都不是 。

10、00（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。推论：推论：设设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一是不共线的四点，则对空间任一点点P，都存在唯一的有序实数组，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使，使 当且仅当当且仅当x+y+z=1时，时，P、A、B、C四点共面。四点共面。.OPxOAyOBzOC 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为且大小都为1 1，那么这个基底叫做单位正交基底，

11、那么这个基底叫做单位正交基底，常用常用 来表示来表示.,i j k i k j 因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系在空间选定一点在空间选定一点O O和一个单位正交基底和一个单位正交基底 以点以点O O为原点，为原点，分别以分别以 的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴，这样轴，这样就建立了一个空间直角坐标系就建立了一个空间直角坐标系O xyz.x轴、轴、y轴、轴、z 轴，都叫做轴，都叫做叫做叫做坐标轴坐标轴,点点O 叫做叫做原点原点，向量向量 都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通过每两个通过每两个坐标轴的平面叫做坐标轴的平面叫做坐标平面坐标平面.

12、,ij k ,ij k ,ij k 123(,)A a a aa xyzOkij对空间任一向量对空间任一向量 ,由空间向量由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数基本定理，存在唯一的有序实数组组 ,使使a 123(,)a a a123.a a i a j a k 空间直角坐标系空间直角坐标系在空间直角坐标系在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点中，对空间任一点A,对应一对应一个向量个向量 ,于是存在唯一的有序实数组于是存在唯一的有序实数组 x,y,z,使使 (如图如图).OA OAxiy jzk 显然显然,向量向量 的坐标，就是点的坐标，就是点A在此空间直角坐标在此空间直角坐标系中的坐标系中

13、的坐标(x,y,z).OA xyzOA(x,y,z)ijk也就是说也就是说,以以O为起点的有向线段为起点的有向线段(向量向量)的坐标可以和点的坐标建的坐标可以和点的坐标建立起一一对应的关系立起一一对应的关系,从而互相转从而互相转化化.我们说我们说,点点A的坐标为的坐标为(x,y,z),记作记作A(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点A的的横坐标横坐标,y叫做点叫做点A的的纵坐标纵坐标,z叫做点叫做点A的的竖坐标竖坐标.,则则设设111222(,),(,)axy zbxyz ababa a b121212(,)xxyyzz121212(,)xxyyzz111(,)()xyzR 111222(,

14、)(,)xy zxyz 121212x xy yz z 练习练习1:1:已知已知求求),4,1,3(),5,3,2(babaababa,8,(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)ab (2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)ab 88(2,3,5)(16,24,40)a(2,3,5)(3,1,4)29a b 解解:结论：若结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(=(x2 2-x1 1 ,y2 2-y1 1,z2 2-z1 1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于

15、表示这个向量的有向线段的向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标终点的坐标减去起点的坐标.如果知道有向线段的起点和终点的坐标如果知道有向线段的起点和终点的坐标,那么有向线段表示的向量坐标怎样求那么有向线段表示的向量坐标怎样求?空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。进而确定各向量的坐标。3.3.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式已知、已知、，则，

16、则111(,)A xyz222(,)B xyz222212121()()()ABxxyyzz注：此公式的注：此公式的几何意义是表几何意义是表示长方体的对示长方体的对角线的长度。角线的长度。注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab5.5.空间两非零向量垂直的条件空间两非零向量垂直的条件12121 200 aba bx xy yz z思考：当思考：当 及及 时，时，的夹角在什么范围内？的夹角在什么范围内？1cos,0a b,10cos a b与ab练习：练习：2.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：(1)(2,3,3)(1,0,0);ba，(2)(1,1,1)(1,0,1);ab，1.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：(1)(1,1,0),(1,1,1);AB(2)(3,1,5),(0,2,3).CD小结：小结：1、空间向量的坐标运算；、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。