高中数学人教A版必修五《余弦定理》课件.ppt

1、复习回顾正弦定理：CsincBsinbAsina R2 可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。AAS（2）已知两边和一边的对角。SSACsinR2c,BsinR2b,AsinR2a 变形：Csin:Bsin:Asinc:b:a 千岛湖 3.4km3.4km6km6km120120）情景问题岛屿岛屿B岛屿岛屿A岛屿岛屿C?千岛湖 千岛湖 情景问题3.4km3.4km6km6km120120）岛屿岛屿B岛屿岛屿A岛屿岛屿C?3.4km6km120120A AB BC C 在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km，B=120B=120

2、o o，求，求 ACAC用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出 ACAC？）CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2 a2+b2c2 a2+b2 直角三角形中的边直角三角形中的边a a、b b不变，角不变，角C C进行变动进行变动勾股定理仍成立吗？勾股定理仍成立吗？c2=a2+b2学车问答 http:/ 学车问题 开车问题 学车怎么办？驾校大全 http:/ 中国驾校报名 考试 理论学习 地址 介绍英格驾考 http:/ http:/ 学车小游戏大全 c=AcbCBa AB c2=AB 2=AB AB AB=AC+CB AB AB=(AC+CB)(AC

3、+CB)CBAcabAbccbacos2222探探 究究：若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C，BC=a,CA=b,BC=a,CA=b,求求AB AB 边边 c.c.Cabbaccos2222CBAcabBaccabcos2222余弦定理余弦定理Abccbacos2222Cabbaccos2222探探 究究：若若ABCABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C C，BC=a,CA=b,BC=a,CA=b,求求AB AB 边边 c.c.对余弦定理，还有其他证明方法吗?bAacCB证明：以证明：以CB所在的直线为所在的直线为x轴，过轴，过C点点垂直于垂直于CB的直线

4、为的直线为y轴，建立如图所轴，建立如图所示的坐标系，则示的坐标系，则A、B、C三点的坐标三点的坐标分别为：分别为：(cos,sin)A bC bC222222c=a+b-2abcosCc=a+b-2abcosCxy(,0)B a(0,0)C解析法解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222ABCabcD当角当角C为锐角时为锐角时几何法几何法bAacCBD当角当角C为钝角时为钝角时CBAabc 余弦定理作为勾股定理余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。理来证明余弦定理。证明：在三角

5、形证明：在三角形ABC中，已知中，已知AB=c,AC=b和和A,作作CDAB，则，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22(sin)(cos)bAc bA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab 当然，对于钝角三角形来说，证明当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后类似，课后 自己完成。自己完成。D a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC你能用文字说明吗？你能用文字说明吗？CBAabc 三角形任何一边的平方

6、三角形任何一边的平方等于等于其他两边平方的和其他两边平方的和减去减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。积的两倍。CBAabc a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosCb2+c2-a22bc cosA=c2+a2-b22ca cosB=a2+b2-c22ab cosC=变形变形 余弦定理在直角三角余弦定理在直角三角 形中是否仍然成立？形中是否仍然成立？cosC=a2+b2-c2 2abC=90 a2+b2=c2 cosA=b2+c2-a2 2bc cosB=c2+a2-b2 2cacosA=cos B=acbc问

7、题问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广定理是勾股定理的推广.问题问题2：公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美）轮换对称，简洁优美;剖剖 析析 定定 理理（2）每个等式中有同一个三角形中的）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一四个元素，知三求一.（方程思想）（方程思想）已知两边及一边的对角时，已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？理来解这个三角形

8、？如：已知如：已知b=b=4 4,c=,C=,c=,C=6060求边求边a.a.2 22 22 2-c c=a a+b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2-a a=b b+c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2-b b=a a+c c2 2a ac cc co os sB B（3 3）已知）已知a a、b b、c c（三边），可（三边），可以求什么？以求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos2222220cba90A 2220cba90A 2220cba90A 剖剖 析析 定定 理理abcbaC2cos2223.4km3.4

9、km6km6km120120）A AB BC C 在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km，B=120B=120o o，求，求 ACAC解决实际问题解决实际问题解：由余弦定理得解：由余弦定理得答：岛屿答：岛屿A A与岛屿与岛屿C C的距离为的距离为8.24 km.8.24 km.BBCABBCABACcos222296.67120cos4.3624.3622o24.8AC剖剖 析析 定定 理理（4）能否把式子 转化为角的关系式？Abccbacos2222 分析分析：ARasin2:得得RCcBbAa2sinsinsin:由由正正弦弦定定理理BR

10、bsin2 CRcsin2:cos2222并并化化简简得得代代入入Abccba ACBCBAcossinsin2sinsinsin222 202000:sin 70sin 50sin70 sin50.练练习习 求求的的值值2020000:sin 70sin 502sin70 sin50 cos60 解解 原原式式20sin 60 34（1）已知三边）已知三边 求三个角求三个角 SSS2 22 22 2b b+c ca ac c o o s s A A=-2 2 b b c c2 22 22 2a a+c cb bc c o o s s B B=-2 2 a a c c2 22 22 2a a+

11、b bc cc c o o s s C C=-2 2 a a b b问题问题3：余弦定理在解三角形中的作用余弦定理在解三角形中的作用是什么？是什么？（2）已知两边和它）已知两边和它们的夹角，求第三边们的夹角，求第三边和其他两个角和其他两个角.SAS2 22 22 2-c c=a a+b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2-a a=b b+c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2-b b=a a+c c2 2a ac cc co os sB B剖剖 析析 定定 理理.cos.13,2,2.1BcbaABC求中，已知在例.150,2,33.2b

12、BcaABC求中，已知在例）为（则中，已知在AcbcbaABC,222323.32.6.3.或DCBA练习1.C._,10,13,13度数为的最大角的则中，若在ABCcbaABC练习2.120练习3.,)(abcbacbaABCcba）满足：（的三边长，且分别是、已知.）等于（则C150.120.90.60.DCBA C 余弦定理在解三角形余弦定理在解三角形 中能解决哪些问题？中能解决哪些问题？角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理2 2、在、在ABCABC中中,若若a=4a=4、b=5b=5、c=6c=6，判断，判断ABCABC的形状的形

13、状.A AD DC CB B)30300 0)45450 03 3、如图所示，已知、如图所示，已知BD=3BD=3，DC=5DC=5，B=30B=300 0，ADC=45ADC=450 0，求，求ACAC的长。的长。例题讲解1 1、在、在ABCABC中中,若若a a1010，b b1212，c c9 9，解这个三角形。解这个三角形。1、已知、已知ABC的三边为的三边为 、2、1，求它的最大内角。，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1 则最大内角为A由余弦定理 cosA=12+22-()2221=-12 A=120若已知三边的比是若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？

14、又怎么求？2、已知已知ABC中中AB=2、AC=3、A=，求，求BC的长。的长。解：由余弦定理可知解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9-223 =7BC=3、以2、3、X为三条边，构成一个锐角三角形，求X的范围。思考：思考：（1）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,判定三判定三角形角形ABC的形状的形状分析：三角形分析：三角形ABC的形状是由大边的形状是由大边b所对的大角所对的大角B决决定的。定的。222(,)90 180cBba（2）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,求求三角形三角形ABC的面积的

15、面积分析：三角形的面积公式分析：三角形的面积公式 S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出只需先求出cosC(cosA或或cosB),然后求出然后求出 sinC(sinA或或 sinB）代入面积公式即可。）代入面积公式即可。1212122.2.余弦定理余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222222 22 22 2b b+c c-a ac co os sA A=，2 2b bc c2 22 22 2c c+a a-b bc co os sB B=，2 2c ca a2 22 22 2a a+b b-c cc co os

16、sC C=2 2a ab b3.3.由余弦定理知由余弦定理知1.1.证明定理证明定理:课堂小结课堂小结22290Aacb22290Aacb22290Aacb向量法、解析法、几何法课后作业：课后作业：1.在在ABC中中,已知已知b4,c10,B30o,解这个三角形。解这个三角形。2.设设x、x1、x2是钝角三角形的三边是钝角三角形的三边长，求实数长，求实数x的取值范围的取值范围.3.在在ABC中中,A60o,a1,bc2,判判断断ABC的形状的形状.4.三角形的两边分别为三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所它们所夹的角的余弦为方程夹的角的余弦为方程5x27x60的根，的根，求这个三角形的面积求这个三角形的面积.