第5讲-机械能与机械能守恒定律课件.ppt

1、1第第4章章 机械能与机械能守恒定律机械能与机械能守恒定律Law of Conservation of Mechanical energy23 FFr1 恒力的功恒力的功cos|cosAF sFr FrdAF dr4.1 功功 质点的动能定理质点的动能定理物体在恒力的作用下沿着直线运动物体在恒力的作用下沿着直线运动2 元功元功力通常会随着位置发生改变，当位移无限小时，力通常会随着位置发生改变，当位移无限小时，可当作恒力处理可当作恒力处理41 无限分割路径；无限分割路径；2 以直线段代替曲线段；以直线段代替曲线段；3 以恒力的功代替变力的功；以恒力的功代替变力的功；abFdr4 将各段作功代数求

2、和；将各段作功代数求和；在直角坐标系中功的解析式：在直角坐标系中功的解析式：()bxyzaF dx+F dy+F dzA3 变力的功变力的功cos|dAF drFdrcosbabaFdsAdAF dr5静f4 合力作功合力作功12()nAFrFFFr 12nFrFrFr inAAAA2165 功的计算功的计算(1)分析质点受力情况，确定力随位置变化的关系；分析质点受力情况，确定力随位置变化的关系；(2)写出元功的表达式，选定积分变量；写出元功的表达式，选定积分变量；(3)确定积分限进行积分，求出总功。确定积分限进行积分，求出总功。xyzFF iF jF kxyzAF dxF dyF dzdrd

3、xidyjdzk7一抛体质量一抛体质量 m，计算从计算从 a 到到 b 这段路程中重这段路程中重力的功。力的功。解：例题1：drmgab yx抛体在重力场中运动，抛体在重力场中运动，mg是一恒量，是一恒量，但但m 的轨迹是一抛物线，的轨迹是一抛物线，取一元位移取一元位移dr在这一元段内写出元功在这一元段内写出元功 与位移的夹角与位移的夹角时时在变时时在变 mgmg drmg dy cosmg ds dAF dr dy8l建立坐标系；建立坐标系；l在过程区间任选一元位移；在过程区间任选一元位移；l写出元功分析变量关系；写出元功分析变量关系；l积分计算功；积分计算功；l分析结果的物理意义。分析结果

4、的物理意义。计算功的基本程序计算功的基本程序 ()bamg yy bamgdy cosbaFds baAF dr 由此例我们看到，功的计算主要在于由此例我们看到，功的计算主要在于把握对元把握对元功的分析功的分析，不论力是在变还是位移的方向在变，我，不论力是在变还是位移的方向在变，我们只要明确们只要明确在任一元位移中，可视它们是不变的在任一元位移中，可视它们是不变的，因而可写出元功，这叫做因而可写出元功，这叫做微元法微元法。9例例2 质量为质量为2kg的质点在力的质点在力 (SI)的作用的作用下，从静止出发，沿下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功

5、。内该力所作的功。i tF12解：解：1212AF drti dxitdx=tadtvv00JtdttdtttA7299363124303302 vdtt 12tdtmF00203212tdttt10例例3 一个质点沿如图所示的路径运行，一个质点沿如图所示的路径运行，求下列情况下，力求下列情况下，力 (SI)对对该质点所作的功该质点所作的功:(1)沿沿ODC；(2)沿沿OBC。解：解：(42)Fy i42 0 xyFyF(1)OD段：段：y=0,dy=0,DC段：段：x=2,Fy=0 20(42 0)08ODCODDCAF drF drdxJ(2)OB段：段：Fy=0,BC段：段：x=2 20

6、(42 2)00OBCOBBCAF drF drdx 该力作功与路径有关。该力作功与路径有关。ODCBxy(42)Fy i1121kkkAEEE 221mvEk1213bl-b xO()lllfbbbmgAf drf drlx dxl结果表明结果表明,摩擦力作负功！摩擦力作负功！()/flxmgl221 ()()22lbmgmglxxlbllfdr14(2)设末速度为设末速度为v，对链条应用动能定理，对链条应用动能定理2201122GfAAAm vm v222()()glblbvl20102GfvAAm v22()2llGbbmgGxmg lbAdrdxll2222()()1222mg lbm

7、g lbmvllxl-x xO解得：解得：15三三 质点系的动能定理质点系的动能定理设一系统有设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：功分别为：A1,A2,An,使各个质点由初动能使各个质点由初动能Ek10,Ek20,Ekn0,变成末动能，变成末动能，Ek1,Ek2,Ekn.11102220110kkkknnnAEEAEEAEE0111nnnikikiiiiAEE+ijFijFjiFi外外Fj外外iiiAAA外内111+nnniiiiiiAAA外内16一对内力做功之和一对内力做功之和与参照系的选择无关，与参照系的选择无关，且一般不为且一般不为0！我

8、们可以把参照系选在其中一个质点上如我们可以把参照系选在其中一个质点上如m1，内，内力为力为m1对对m2 的引力，只要考察的引力，只要考察m2 对对m1 的相对位的相对位移。移。21210sAfdr內內则则rrr 2121 m1 m2r1r2174.2 保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能一一 万有引力、重力、弹性力的功万有引力、重力、弹性力的功1 万有引力作功万有引力作功2cos()cosdAF dlFFmMFGdlddlrrdr-211barrbamMAGdrGMmrrrrarbrfMa mbrdldrdl18重力作功重力作功只与质点的起始和终了位置有关，只与质点的起始和终了位置有关，

9、与质点与质点所经过的路径无关。所经过的路径无关。dldxidyj dAmg dlmgjdxidyjmgdy 211221 yymgdymgAmgyygym y oyy1y2dlx2 重力作功重力作功mg19弹性力作功弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，只与质点的起始和终了位置有关，与质点所经过的路径无关。与质点所经过的路径无关。3 弹性力作功弹性力作功Fkxi=-dAF dxkxi dxikxdx 2122121122xxAkxkxdxkxoxx1dxFx2x20 物体沿任意闭合路径运行一周物体沿任意闭合路径运行一周,保守力对它所作的功保守力对它所作的功为零为零.保守力的判据保守力的判据二

10、二 保守力与非保守力保守力与非保守力 保守力作功保守力作功保守力：保守力：作功只与初始和终了位置有关而与路径无作功只与初始和终了位置有关而与路径无关的力关的力.万有引力、重力、弹性力万有引力、重力、弹性力非保守力：非保守力：作功与路径有关的力作功与路径有关的力.摩擦力摩擦力LacbbdaAF dlF dlF dl0lAF dlabdc21()gbaAmg yy()2212kbaAk xx()11GabAGmMrr 保守力做功改变的能量仅决定于系统相对位置保守力做功改变的能量仅决定于系统相对位置的改变。的改变。看到它们的特征了吗看到它们的特征了吗?作功的结果是使系统的能量改变作功的结果是使系统的

11、能量改变()AE r保保三三 力学系统的势能力学系统的势能1 势能势能22保守力的功与势能增量的关系：保守力的功与势能增量的关系：则：则：定义：定义：用用表示表示pEmgyEp rMmGEp 212pEkx重力势能重力势能引力势能引力势能弹性势能弹性势能由系统位置状态决定的能量称为势能，由系统位置状态决定的能量称为势能，pE ppAFdr21保保保保ppEE 21保守力做功等于势能增量的负值保守力做功等于势能增量的负值势能函数势能函数232 势能的性质势能的性质 l势能属于相互作用的系统共有势能属于相互作用的系统共有 (一对内力做功的结果一对内力做功的结果)(动能则属于质点自身动能则属于质点自

12、身)l势能是相对的，势能差是绝对的势能是相对的，势能差是绝对的势能的值与势能的值与势能零点势能零点的选择有关的选择有关l势能是系统状态的函数势能是系统状态的函数l存在保守力时存在保守力时,才能引入相关势能才能引入相关势能.重力势能：零点可以任意选择，一般选地面；重力势能：零点可以任意选择，一般选地面；引力势能：零点选在无穷远点；引力势能：零点选在无穷远点；弹性势能：零点选在弹簧的平衡位置。弹性势能：零点选在弹簧的平衡位置。24势能的完整定义势能的完整定义 引力势能引力势能 弹性势能弹性势能()()pb EbpaEaFdr0保保mMGr pGrmMEGdrr 2kx212pkxEkxdx 0 重

13、力势能重力势能pghEmgdy 0mgh25pAF drE pF drdE xyzF dxF dyF dz在直角坐标系下在直角坐标系下 比较上式两边比较上式两边dx，dy，dz 的系数的系数pxEFx 矢量运算矢量运算全微分全微分()pppEEEdxdydzxyzpyEFy pzEFz 3 保守力的计算保守力的计算26有时也记为有时也记为 grad 保守力等于相应势能梯度的负值保守力等于相应势能梯度的负值 其中算符其中算符称为称为 梯度算符梯度算符()pijk Exyz()pppEEEFijkxyz pE ijkxyz pFgrad E pxEFx pyEFy pzEFz27解：例题5：一个在

14、某力场中作直线运动的粒子，其势能一个在某力场中作直线运动的粒子，其势能为为 （k，h为常数），为常数），求该粒子受到的作用力。求该粒子受到的作用力。()/2424pExkxhx由保守力与势能函数的关系由保守力与势能函数的关系pxEFx 3kxhx 28一一 功能原理功能原理由质点系的动能定理：由质点系的动能定理：质点系总动能的增量等于质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保外力的功与质点系内保守力的功和质点系内部非保守力的功三者之和。守力的功和质点系内部非保守力的功三者之和。将系统内力作功区分为将系统内力作功区分为保守力功和非保守力功保守力功和非保守力功0kkAAEE內內外外0kkAAAEE

15、內內保保外外內內非非质点系的动能定理质点系的动能定理 0ppAEE內內保保（）因为因为)00ppkkAAEEEE外外內內非非（）(所以所以)00pkpkAAEEEE外外內內非非（）(4.3 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律29系统动能和势能之和为系统的系统动能和势能之和为系统的机械能机械能，用，用E 表示。表示。kpEEE则系统的功能原理还可表示为：则系统的功能原理还可表示为：21AAEE外外內內非非系统机械能的增量等于外力对系统做功及系统内非系统机械能的增量等于外力对系统做功及系统内非保守力做功之和保守力做功之和.30关于功能原理关于功能原理讨论讨论若若 则系统的机械能增加；则

16、系统的机械能增加；0AA外外非非內內 0AA外外非非內內若若 则系统的机械能则系统的机械能减少减少；0AA外外非非內內若若 则系统的机械能则系统的机械能不变。不变。31 孤立的无耗散系统孤立的无耗散系统 若系统受到的外力作功为若系统受到的外力作功为0，且内力作功为且内力作功为0，则系统的机，则系统的机械能守恒。械能守恒。由系统的功能原理：由系统的功能原理：二二 机械能守恒定机械能守恒定律律如果系统中无内非保守力，称此系统为如果系统中无内非保守力，称此系统为无耗散系统无耗散系统如果没有外力作用于系统，称这样的系统为如果没有外力作用于系统，称这样的系统为孤立系统孤立系统)00pkpkAAEEEE外

17、外非非內內（）(00pkpkEEEE 00kpEE机械能守恒机械能守恒32如图，一柔软链条长为如图，一柔软链条长为l,桌面光滑，悬垂长桌面光滑，悬垂长度为度为 b。开始链条静止。求：当链条全部脱。开始链条静止。求：当链条全部脱离桌子时的速度。离桌子时的速度。解：例题6：b(l-b)选链选链桌桌地系统地系统机械能守恒机械能守恒建坐标（重力势能零点在原点）建坐标（重力势能零点在原点）y021()0()222lbmvmgbg 22(1)bvgll得得 33小结小结功与功率功与功率dAF dSdAPF vdt质点的动能定理质点的动能定理22211122Amvmv万有引力、重力、弹性力作万有引力、重力、弹性力作功的特点功的特点势能势能pEmghpMmEGr 212pEkx重力势能重力势能引力势能引力势能弹性势能弹性势能质点系的动能定理质点系的动能定理0111nnnikikiiiiAEE质点系的功能原理质点系的功能原理0AAEE外力非保守内力 机械能守恒定律机械能守恒定律000000nnnnkipikipiiiiiEEEE