概率论与数理统计条件概率课件.ppt

1、1第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率1.1 随机事件的直观意义及其运算随机事件的直观意义及其运算1.2 概率的直观意义及其计算概率的直观意义及其计算1.3 概率的公理化定义：概率空间概率的公理化定义：概率空间1.4 条件概率条件概率1.5 独立事件，独立试验独立事件，独立试验21.4 条件概率条件概率一、条件概率的定义及性质一、条件概率的定义及性质二、乘法公式二、乘法公式三、全概率公式三、全概率公式四、贝尔斯公式四、贝尔斯公式3引例引例:确诊率问题确诊率问题 某病被医生诊断出的概率为某病被医生诊断出的概率为0.95,无该病无该病误诊有该病的概率为误诊有该病的概率为0.002,如果某地区

2、患该如果某地区患该病的比例为病的比例为0.001,现随机选该地区一人现随机选该地区一人,医生医生诊断患有该病诊断患有该病,求该人确实患有该病的概率求该人确实患有该病的概率.P(B|A)=0.32225 0,则对任意则对任意 有有 P(A|B)对应对应,且且 P(A|B)是是 上的概率，即上的概率，即 P(A|B)满足：满足：BF(1)(3)若若 且且 则则(,)F PAF,F0(|)1P A B(|)1PB ,ikAAik 1,2iAFi 11|iiiiPABPAB (2)7性质性质1.4.1 条件概率条件概率P(A|B)是是 上的概率上的概率 11iiiiABAB ikikABABAA 11

3、11|iiiiiiiiPABP ABPA BP A BP BP B （3）(,)F 证：证：(1)(2),ABB 0|1P ABP A BP B|1P BPBP B8性质性质1.4.1 结论结论概率空间概率空间 1.2.,BFP|0PB1|PBP AP A BPB 注：注：1.3中概率的许多其他性质也都适用于中概率的许多其他性质也都适用于 条件概率。条件概率。9理解条件概率的两种不同的观点理解条件概率的两种不同的观点1 1.(,)(,)BF PF P,AF()BP ABPAP B2 2.11(,)(,)BF PF P 1BB 1:FAB AF1,AF()()()()()BP AP ABPAP

4、BP B10二、乘法公式二、乘法公式证：由条件概率定义：证：由条件概率定义：()(|)()P ABP A B P B ()(|)()P ABP B A P A ()()0,(|)()P ABP BP A BP B()()0,(|)()P ABP AP B AP A11性质性质1.4.3 乘法公式推广到有穷多个事件乘法公式推广到有穷多个事件设设 满足满足 则：则：(1,2,2)iAF in n121()0nP AAA12121312()()(|)(|)nP AAAP AP A AP A AA121(|)nnP AAAA证：证：1121231nAAAAAAAA11212n()()()0P AP A

5、AP AAA右端右端=1231212n1112121()()()()()()()nP AAAP AAP AAAP AP AP AAP AAA12n().P AAA12例例1.4.3 设设100件产品中有件产品中有5件是件是 不不合格品合格品,用下列两种方式抽取用下列两种方式抽取2件件(1)不放回；不放回；(2)放回，放回，求求2件都是合格品的概率件都是合格品的概率.解：解：令令 A=第一次抽得的是合格品第一次抽得的是合格品；B=第二次抽得的是合格品第二次抽得的是合格品.则所求为：则所求为：()P AB(1)不放回抽取时：不放回抽取时：9594(),(|)10099P AP BA()(|)()P

6、 ABP B A P A9 59 40.9 0 1 91 0 09 913例例1.4.3 设设100件产品中有件产品中有5件事不合格品件事不合格品(2)放回抽样：放回抽样：9595(),()(|)100100P AP BP B A()()(|)P ABP A P B A95950.9025100100两事件之间有某种两事件之间有某种“独立性独立性”.14例例1.4.4 配对问题配对问题 某人写了某人写了n封信，将其放入信封中封信，将其放入信封中,并在并在其中每一个信封上分别任意地写上其中每一个信封上分别任意地写上n个收信个收信人中的一个地址人中的一个地址(不重复不重复).).求：求：0q()r

7、p rn(1)(1)没有一个信封上所写的地址正确的概率没有一个信封上所写的地址正确的概率(2)(2)恰有恰有r个信封上所写的地址正确的概率个信封上所写的地址正确的概率解：设解：设 表示表示“在第在第i个信封上所写的地址正确信封上所写的地址正确”(1)(1)所求事件为：所求事件为：iA11nniiii 011()niiqPA15例例1.4.4 配对问题配对问题 由于事件由于事件 是相容的，需要用性质是相容的，需要用性质1.3.5(多除多除少补原理少补原理)和性质和性质1.4.3(乘法公式乘法公式).iAijk，依题意：依题意：有有1()iP An11(2)!()()(|)1!ijijinP AA

8、P A P AAn nn(3)!()!ijknP AAAn11!niiPAn()=16例例1.4.4 配对问题配对问题(多除少补原理多除少补原理)11()1niiSP A221(2)!()!ijni j nnSP AACn 331(3)!()!ijkni j k nnSP AAACn 1!nSn则至少有一个信封地址正确的概率：则至少有一个信封地址正确的概率：12341()1(1)nniniPASSSS 231(2)!(3)!11+(-1)!nnnnnCCnnn001(1)1()!knnikiqPAk 10.37en17 而其余的而其余的n-r个信封地址均不正确的概率为：个信封地址均不正确的概率

9、为：例例1.4.4 配对问题配对问题 恰有恰有r个写对个写对 (2)在指定的在指定的r个信封上所写的地址正确个信封上所写的地址正确这一事件的概率为：这一事件的概率为：由于由于r个信封有个信封有 种选法，故所求概率为：种选法，故所求概率为：()!1!(1)(1)nrnn nnr0(1)!knrkkrnC001(1)1(1)(1)(1)!kkn rn rrrnkkpCn nn rkrk 11!ern(1)中中n n-r18样本空间的划分样本空间的划分2A3AnA三、全概率公式三、全概率公式1A1nA(,)F P(1,2,),iAin,(),ijAAij 1niiA 12,nA AA,定义定义1.4

10、.2 设设 为概率空间为概率空间,如果如果 且且 则称则称 为为 的一个有穷剖分的一个有穷剖分.19定理定理1.4.1 全概率公式全概率公式设设 为概率空间，为概率空间，为为 的的一个有穷剖分一个有穷剖分,且且 则对任则对任一事件一事件 有：有：(,)F P12,nA AA,()0(1,2,).iP Ain,BF1()(|)().niiiP BP B A P A 称为称为全概率公式全概率公式.证：证：11()()nniiiiBBBABAikAA()ik()()ikBABA()ik11()()(|)()nniiiiiP BP BAP B A P A 有穷可加性乘法公式20说明说明 全概率公式的主

11、要用处在于它可以将一个全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件分解为若干个简单事件的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的可加性求出最终结果结果.B1A2A3A1nAnA化整为零化整为零各个击破各个击破1()(|)().niiiP BP B A P A 21定理定理1.4.1 全概率公式全概率公式设设 为概率空间，为概率空间，为为 的一个的一个可列无穷剖分可列无穷剖分,且且 则对任一事则对任一事件件 有全概率公式：有全概率公式：(,)F P12,nA AA,()0(1,2,).iP Ain,BF1()

12、(|)().iiiP BP B A P A注注1：注注2：()(|)()(|)()P BP B A P AP B A P A注注3：设：设 为有穷或可列无穷个互不相容为有穷或可列无穷个互不相容事件，事件，且且 若若 则有则有 12,AA()0(1,2,),iP Ain,()(|)().iiiP BP BA P ABF,iiAB 22解：解：令令 A=第一次抽到的是不合格产品第一次抽到的是不合格产品 B=第二次抽到的是不合格产品第二次抽到的是不合格产品全概率公式全概率公式例例1.4.5 （抓阄问题（抓阄问题/抽奖问题）抽奖问题）设设1000件产品中有件产品中有200件事不合格品件事不合格品 依次

13、不放回抽取依次不放回抽取2 2件产品，求第二次抽到不件产品，求第二次抽到不合格品的概率合格品的概率.()(|)()(|)()P BP B A P AP B A P A2001()10005P A 4()1()5P AP A 199(|)999P BA 200(|)999P B A 199120041()999599955P B 23定理定理1.4.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 设设 为概率空间，为概率空间，为为 的一个有穷剖分且的一个有穷剖分且 则对任意则对任意 且且 有：有：(,)F P(1,2,)iAF in()0(1,2,),iP AinBF()0P B 1(|)()(|)(|)()iiin

14、jjjP B A P AP ABP B A P A(1,2,).in称为称为贝叶斯公式贝叶斯公式24定理定理1.4.2 贝叶斯公式贝叶斯公式1(|)()(|)(|)()iiinjjjP B A P AP A BP B A P A(1,2,).in证：证：由条件概率及全概率公式得：由条件概率及全概率公式得：1()(|)()(|).()(|)()iiiinjjjP ABP B A P AP A BP BP B A P A25例例1.4.6 校正枪支？校正枪支？设设8支枪中有支枪中有3支未经试射校正支未经试射校正,5支已校正支已校正.射枪手用校正的枪射击时射枪手用校正的枪射击时,中靶概率为中靶概率为

15、0.8，用，用未校正的枪射击时未校正的枪射击时,中靶概率为中靶概率为0.3.假定从假定从8支支枪中任取枪中任取1支射击支射击,结果中靶结果中靶,求所用这支枪为求所用这支枪为已校正的概率已校正的概率.解：设解：设 =“所取的枪是校正过的所取的枪是校正过的”,=“所取的枪是未校正过的所取的枪是未校正过的”,=“射击中靶射击中靶”.1A2AB1(|)P AB所求概率为：所求概率为：26例例1.4.6 校正枪支？校正枪支？由题意：由题意：1253(),()88P AP A12(|)0.8,(|)0.3P BAP BA1111122(|)()(|)(|)()(|)()P B A P AP ABP B A

16、 P AP B A P A 贝尔斯公式由于由于 ，故：，故：21=AA0.82211(|)=(|)=1(|)1 0.820.18P ABP A BP A B 27例例1.4.7 箱中取球箱中取球 设有编号设有编号1、2、3的三个箱子中分别装有的三个箱子中分别装有 个白球和个白球和 个黑球个黑球,今任意取出一箱，再在今任意取出一箱，再在箱中任取一球，结果为白球，求在此事件箱中任取一球，结果为白球，求在此事件“此此球球为白球为白球”(记为记为B)的条件下的条件下,事件事件“此球属于此球属于1箱箱(记为记为 )的条件概率的条件概率 .123,n n n123,m m m1A1(|)P A B解：设解

17、：设 =“此球属于此球属于1箱箱”=“此球属于此球属于2箱箱”=“此球属于此球属于3箱箱”1A2A3A1231()()()03P AP AP A 互不相容互不相容且：且：123,A A A31iiA 28例例1.4.7 箱中取球箱中取球由全概率公式得：由全概率公式得：31()(|)()iiiP BP B A P A由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：312112233103nnnnmnmnm111113(|)()nnmP ABP B3112111221331()()1()()nnmnnmn nmn nm29 令令 =“发出信号为发出信号为 ”B=“收到信号为收到信号为0”例例1.4.8 数字通讯数

18、字通讯 在数字通讯中在数字通讯中,信号由数字信号由数字0和和1的长序列组成的长序列组成,由由于随机干扰于随机干扰,发送信号发送信号0和和1各有可能错误接收为各有可能错误接收为1和和0,现假定发送现假定发送0和和1的概率均为的概率均为0.5,又已知发送又已知发送0时时,接收接收0和和1的概率分别为的概率分别为0.8和和0.2,发发送送1时时,接收接收1和和0的概率分别为的概率分别为0.9和和0.1;求已知收到信号是求已知收到信号是0时时,发出的信号是发出的信号是0(即没有错即没有错误接收误接收)的概率的概率.1iAi(0,1)i 解：解：121()();2P AP A1(|)0.8;P B A2

19、(|)0.1.P B A30由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：例例1.4.8 数字通讯数字通讯1111122(|)()8(|)0.89(|)()(|)()9P B A P AP A BP B A P AP B A P A用性质用性质1.4.1可得：可得：21(|)=1(|)1 0.890.11P ABP A B 31定理定理1.4.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 推论推论 设设 为一概率空间，为一概率空间，都是都是 的一个剖分的一个剖分,对每一对每一 (或或 )有有 (,)F P,(,1,2,),iiAF BF i j()0,()0(,1,2,),iiP AP Bi jjBiA(|)()(|)(,1,

20、2,)(|)()ijjjiijjiP A B P BP BAi jP A B P B或，(,1,2,)i j(|)()(|)(|)()jiiijjiiiP BA P AP A BP BA P A 32例例1.4.9 数字通讯数字通讯如前例如前例1.4.8 计算计算令令 =“发出信号为发出信号为 ”=“收到信号为收到信号为 ”1iA0,1j 1iB0,1i(|)(,1,2)ijP A Bi j解：解：由贝叶斯公式和由贝叶斯公式和1.4.8的解得：的解得：21112211222(|)()2(|)(|)()(|)()11P BA P AP A BP BA P AP BA P A221229(|)1(

21、|)1.1111P ABP AB33条件概率条件概率全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式1.4 条件概率条件概率 小结小结()(|)()P ABP BA P A 乘法定理乘法定理()(|)()P ABP A B P B 1()(|)()niiiP BP BAP A 1(|)()(|)(|)()iiinjjjP B A P AP ABP B AP A (|)P ABP A BP B 34思考思考:确诊率问题确诊率问题 某病被医生诊断出的概率为某病被医生诊断出的概率为0.95,无该病无该病误诊有该病的概率为误诊有该病的概率为0.002,如果某地区患该如果某地区患该病的比例为病的比例为0.001,现随机选该地区一人现随机选该地区一人,医生医生诊断患有该病诊断患有该病,求该人确实患有该病的概率求该人确实患有该病的概率.解解:设设A=“该人诊断患该病该人诊断患该病”,B=“该人患该该人患该病病”,则所求概率为则所求概率为 P(B|A).P(B|A)=0.32225 1/3.