概率论与数理统计应用-参数估计-课件.pptx

1、授课教师：李林杉副教授概率论与数理统计应用概率论与数理统计应用第第7章章 参数估计参数估计7.2 估计量的评选标准估计量的评选标准由前面的学习知道，对于同一个参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，对不同的样本值也会得到不同的估计值，原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么?估计量的评选标准估计量的评选标准教学内容一、无偏性估计量的评选标准估计量的评选标准二、有效性三、相合性一、无偏性一、无偏性估计量的评选标准估计量的评选标准估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值，我们希望估计值在未知参数的真值

2、附近，即希望估计量的均值等于未知参数的真值.无偏估计的实际意义:无系统误差.E()作为用 来估计 的系统误差.E(),则称 是 的无偏估计量.定义1若估计量 的数学期望 E()存在,且对于任意 有 i n 1Xi X 是 2的有偏估计量.(2)因为 E(S )估计量的评选标准估计量的评选标准一、无偏性一、无偏性例 设总体X 存在均值 与方差 2 0 ,证明：（1）样本均值X 是总体均值 的无偏估计量；（2）样本方差S 2是总体方差 2的无偏估计量；（3）样本二阶中心矩证明 (1)因为 E(X)2 21 n 2所以 =X 是 的无偏估计量；所以 2=S2 是 2 的无偏估计量.i n 1Xi X

3、 是 2的有偏估计量.S 1 E n1 2E n1 2 2估计量的评选标准估计量的评选标准一、无偏性一、无偏性n1nS 2n n n1S n 22Xi Xnn1 i11 n 2（3）样本二阶中心矩E(S2)2n ,故样本二阶中心矩是 2 的有偏估计量.所以一般都是取样本均值 X 作为总体均值的估计量，取样本方差 S2作为总体方差的估计量.估计量的评选标准估计量的评选标准二、有效性二、有效性同一个参数的无偏估计有多个,在容量相同的情况下,怎样选择呢？认为取值密集于参数真值附近的估计量较为理想.方差可用来度量随机变量取值与其数学期望的偏离程度,所以无偏估计应以方差小者为好.),X n),2(X1,

4、X2,X n)都是 的无偏估计量，若有D(1)D(2，则有1比2更有效.定义2 设1(X1,X2,X1 2,2 1 3 为 的无偏估计量，哪个更有效？XX 解 D(1 1 2)D(X XD(X1 2)D(XD(2 1 3 1 2 DX DX)D(X X )，所以估计量 1 1 2更有效.X X估计量的评选标准估计量的评选标准二、有效性二、有效性2 13 34 19 9591 5 1 256 6 36 36131813 518 9因为2 13 3例已知 1 2 1 1 53 3 6 6X设总体X 服从正态分布N(,1)，其中 为未知参数，X1,X2,X3 为其样本，nlim P 1估计量的评选标

5、准估计量的评选标准三、相合性三、相合性我们不仅希望一个估计量是无偏的，并且具有较小的方差，还希望当样本容量n增大时,估计量能充分地接近于未知参数的真值,因此就引出相合性（一致性）的评价标准.定义3 设 是 的估计量,若对于任意的,当n 时,依概率收敛于,即 0,有则称 与是相合（一致）估计量.分析 limPS 0 PS PS E(S )D(S )2从而 limPS 估计量的评选标准估计量的评选标准三、相合性三、相合性例设总体X 服从正态分布N(,2)，1,X2,XXn 为其样本，试证样本方差 S 2 是 2 的相合估计量.E(S 2)2,22nD(S 2)2 4n1证明 由切比雪夫不等式知，对

6、任意的 0，22n 1,因此样本方差 S 2是 2的相合估计量.D(X)2 1 P X E(X)2 2 2 2222 4 (n1)谢谢大家！谢谢大家！授课教师：李林杉副教授概率论与数理统计应用概率论与数理统计应用第第7章章 参数估计参数估计7.3.1 区间估计区间估计教学内容一、问题的提出二、置信区间区间估计区间估计三、正态总体均值的区间估计 i 1 Xi.区间估计区间估计一、问题的提出一、问题的提出例 为了调查我校学生的月消费水平，随机访问了25名在校学生，统计得月平均消费额x 12002解1 nn的矩估计量和极大似然估计量都是X 的估计值都是 x 1200估计值与真值的误差？（精度）点估计

7、可信程度有多大？（可信度）区间估计区间估计二、置信区间二、置信区间定义 设总体X 的分布函数F(x,)含有一个未知参数.X1,X2,对于给定值(01),若能确定两个统计量,Xn 为总体的样本，(X1,X2,Xn),(X1,X2,Xn)满足：P 1则称随机区间,是 的置信度为1 的置信区间,置信下限,置信上限,置信度1 称为置信水平.二、置信区间二、置信区间区间估计区间估计大，也就是估计的可信程度高.1、要求参数 以很大的可能被包含在区间,内，即概率P 要尽可能注意：对参数 的估计，就是设法要找到两个只依赖于样本的界限（构造统计）,，也就找到了置信区间.P 12、要求区间长度 尽可能短，即估计的

8、精度高.寻找置信区间时尽可能满足以下两点：二、置信区间二、置信区间区间估计区间估计评价置信区间好坏的要素：精度、可信度.精度：用区间长度刻画，长度愈小精度愈高.在样本容量确定的情况下，置信水平与精度成反比奈曼原则:(1934年提出)在保证置信水平的条件下,尽可能提高估计的精度可信度：用置信水平1表示，置信水平越大，可信程度越高.奈曼（1894-1981）X /n区间估计区间估计三、正态总体均值的区间估计三、正态总体均值的区间估计设 X1,X2,Xn 是来自正态总体 N(,2)的样本,其中 2 已知,未知,目标：P 1（2）1 1 （1）寻找未知参数 的一个良好的估计量X.N(0,1)含有未知参

9、数，并且它的分布是已知的，与未知参数无关枢轴量.X /n 求的置信水平为1 的置信区间.条件：2已知,的区间估计Pz/2 z/2 1.即 PX z/2 X z/2 1.X z/2,X 这样的置信区间常写成 X z/2.区间估计区间估计三、正态总体均值的区间估计三、正态总体均值的区间估计 X /n （3）n n n nz/2.于是得的一个置信水平为 1 的置信区间n nz/2.其置信区间的长度为 21置信水平与精度成反比/n得置信区间 X z/2.解 2 为已知,的区间估计X 选择枢轴量 N(0,1)n已知 12,n 25,1 0.95,0.05,x 1200查正态分布表z/2 z0.025 1

10、.96从而得到 的一个置信水平为95%的置信区间（1195.30，1204.70）.思路“明确问题的条件”“选择枢轴量”“得置信区间”区间估计区间估计三、正态总体均值的区间估计三、正态总体均值的区间估计例 为了调查我校学生的月消费水平，随机访问了25名在校学生，统计得月平均消费额x 12002的置信水平为95%的置信区间.置信区间 X /2 .z 三、正态总体均值的区间估计三、正态总体均值的区间估计区间估计区间估计 置信区间的含义：1、若在样本容量相同的情况下,反复抽样100次,每组样本值确定一个区间,在这100n 个区间中,包含着 的约占10095%95 个,不包 的约占1005%5 个.2

11、、对于给定的样本,得到上述区间（1197.65，1202.35）,它是否包含着真值，我们不得而知（也不可能知道），但基于对置信区间的解释，我们说区间包含 的真值的可信程度为95%，而不能说 以95%的概率落在这个区间内.谢谢大家！谢谢大家！授课教师：李林杉副教授概率论与数理统计应用概率论与数理统计应用第第7章章 参数估计参数估计7.3.2 区间估计区间估计教学内容一、正态总体均值的区间估计二、正态总体方差的区间估计区间估计区间估计三、区间估计总结得置信区间 X z/2.区间估计区间估计一、正态总体均值的区间估计一、正态总体均值的区间估计设 X1,X2,Xn 是来自正态总体 N(,2)的样本,其

12、中 2 已知,未知,N(0,1),X /n选择枢轴量 nz/2,n置信区间的长度2 X /n 1求的置信水平为1 的置信区间.条件：2已知,的区间估计得置信区间 X t/2(n1).区间估计区间估计一、正态总体均值的区间估计一、正态总体均值的区间估计 S n 设 X1,X2,Xn 是来自正态总体 N(,2)的样本,其中 2,未知,Sn置信区间的长度2t/2(n1).t/2(n)t/2(n)1求的置信水平为1 的置信区间.X N(0,1)选择枢轴量 t(n1),nPt/2(n1)t/2(n1)1.S/n X X t/2(n1)得置信区间 ,思路 “明确问题的条件”“选择枢轴量”“得置信区间”解

13、2 未已知,的区间估计,选择枢轴量 t(n1),S/n S n 已知 S 6,n 25,0.05,x 1200,查t 分布表t/2(n1)t0.025(24)2.0639,从而得到 的一个置信水平为95%的置信区间（1197.52，1202.47）.区间估计区间估计一、正态总体均值的区间估计一、正态总体均值的区间估计例 为了调查我校学生的月消费水平，随机访问了25名在校学生，统计得月平均消费额x 12002估计我校学生的月平均消费额 的置信水平为95%的置信区间.区间估计区间估计二、正态总体方差的区间估计二、正态总体方差的区间估计设 X1,X 2,X n 是来自正态总体 N(,2)的样本,X,

14、S 2 分别是样本均值和目标：P 2 1.2(n1)S 2 2它的分布是已知的且与未知参数无关枢轴量.样本方差，求 2 的置信水平为1 的置信区间.2F分布，习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).区间估计区间估计二、正态总体方差的区间估计二、正态总体方差的区间估计21 2 (n1)S 2 2 2 2 (n1)S2 (n1)S2 ,.进一步可得:,.2 2 /2 1/2(n1)得置信区间 2 ,2 ,区间估计区间估计二、正态总体方差的区间估计二、正态总体方差的区间估计例 某车间生产的滚珠直径X 服从正态分布 N(,2),现从某天生产的产品中抽取6个，测得直径分别为（单位：mm ）14.6

15、 ,15.1 ,14.9 ,14.8 ,15.2 ,15.1 ,2“得置信区间”思路 “明确问题的条件”“选择枢轴量”解 未知,2的区间估计,选择枢轴量(n1)S 22 2(n1),(n1)S 2 (n1)S 2 (n1)2(n1)0.05,已知 n 6,1 0.95,区间估计区间估计二、正态总体方差的区间估计二、正态总体方差的区间估计 (n1)S 2 (n1)S 2 (n1)查表220.025(5)12.8,2 21 2(n1)0.975(5)0.831,21 nnS 0.051,n1(1)2 已知,X (2)X 未知,z/2.t/2(n1).2nSn区间估计区间估计三、区间估计总结三、区间估计总结1、正态总体均值的区间估计2、正态总体方差的区间估计（未知）(n1)S2 (n1)S2 2谢谢大家！谢谢大家！