概率统计习题选讲〔56〕课件.ppt

1、2022-11-28皖西学院 应用数学学院1概率统计习题选讲概率统计习题选讲续续2022-11-28 皖西学院 应用数学学院25 5二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 P64-65P64-652 2、一口袋装有编号为、一口袋装有编号为1 1，2 2，2 2，3 3的四个球。从中任取的四个球。从中任取一个球，不放回，再取一个球。以一个球，不放回，再取一个球。以X X、Y Y分别表示两次分别表示两次取出的球上的号码，求取出的球上的号码，求(X,Y)(X,Y)的联合分布列，并计算概的联合分布列，并计算概率率P(X=Y).P(X=Y).解：解：X,YX,Y的可能取值都为的可能取值都为1 1，2

2、2，3.3.(1,1)(3,3)0;P XYP XY(1,2)P XY(1)(21)P XP YX121;436(1,3)P XY(1)(31)P XP YX111;4312其他类似可求得其他类似可求得.2022-11-28 皖西学院 应用数学学院3(X,Y)(X,Y)的联合分布列为的联合分布列为XY1 12 23 31 12 23 30 016112161616112160 01.6()P XY(1)(2)(3)P XYP XYP XY2022-11-28 皖西学院 应用数学学院43 3、箱子中装有、箱子中装有1010件产品，其中件产品，其中2 2件次品，每次从箱件次品，每次从箱子中任取一件

3、，取子中任取一件，取2 2次。定义随机变量次。定义随机变量X,YX,Y如下：如下：0,0,1,1,XY第一次取出正品；第二次取出正品；第一次取出次品.第二次取出次品.按照放回抽样和不放回抽样分别写出按照放回抽样和不放回抽样分别写出(X,Y)(X,Y)的联合分布。的联合分布。解：解：X,YX,Y的可能取值都为的可能取值都为0 0，1.1.（1 1）放回抽样：）放回抽样：(0,0)P XY(0)(0)P XP Y880.64;1010(0,1)P XY(0)(1)P XP Y820.16;10102022-11-28 皖西学院 应用数学学院528(1,0)0.16;1010P XY22(1,1)0

4、.04.1010P XY(X,Y)(X,Y)的联合分布列为的联合分布列为XY0 01 10 01 10.160.160.040.040.160.160.640.642022-11-28 皖西学院 应用数学学院6（2 2）不放回抽样：）不放回抽样：(0,0)P XY(0)(00)P XP YX870.6222;109(0,1)P XY(0)(10)P XP YX820.1788;109(1,0)P XY(1)(01)P XP YX280.1788;109(1,1)P XY210.0222;1092022-11-28 皖西学院 应用数学学院76 6、求在、求在D D上服从均匀分布的随机变量上服从均

5、匀分布的随机变量(X,Y)(X,Y)的密度的密度函数和分布函数，其中函数和分布函数，其中D D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线所围成的三角形区域。所围成的三角形区域。21yx120 01 1解：如图所示解：如图所示1111.224DS 4,(,);(,)0,(,).x yDf x yx yD(,)(,)xyF x yf x y dxdy 必须按照必须按照x,y的不同取值分别计算上面的积分。的不同取值分别计算上面的积分。2022-11-28 皖西学院 应用数学学院8120 01 1(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)1,0(,)0;2xyF x y 当或时，0,1(,)1

6、;xyF x y当且时，10,212xyx当且0时，(,)2(21);2yF x yyx0,01xy当且时，(,)2(1);2yF x yy10,212xyx当-且时，1(,)4(.2F x yx2)2022-11-28 皖西学院 应用数学学院9120 01 1yx10,212xyx(3)当且0时，(,)F x y1024yxydydx2(21).2yyx注：因为是均匀分布，也可以利用面积比来计算。注：因为是均匀分布，也可以利用面积比来计算。(,)F x y12y2(21).2yyx1111()()222211122yyyxy2022-11-28 皖西学院 应用数学学院10120 01 1(4

7、)(4)0,01xy当且时，10,212xyx当-且时，(,)F x y(,)F x y(,)x y12y211(1)1221/422.yyyy120 01 1(5)(5)x21x11()(21)221/414(.2xxx2)2022-11-28 皖西学院 应用数学学院11所以，所以，X X的分布函数是的分布函数是10,0;21,0,1;11(,)4(0,21;2212(21),0,21;222(1),0,01.2xyxyF x yxxyxyyxxyxyyxy 2或且)，-且且0且2022-11-28 皖西学院 应用数学学院127 7、写出第、写出第6 6题中题中X,YX,Y的边缘密度。的边缘

8、密度。()(,)xXfxf x y dy()(,)yYfyf x y dx210144(21),0;20,.xdyxx其他01242(1),01;0,.ydxyy其他120 01 12022-11-28 皖西学院 应用数学学院131313、已知、已知(X,Y)(X,Y)的联合密度为的联合密度为 (1),01,0;(,)0,.kx yxyxf x y其他(1);(2),(3),kX YX Y求常数的边缘密度；是否独立？(,)R Rf x y dxdy100(1)xdxkx ydy124.k 2024(1)12(1),01;()0,.xXx ydyxxxfx其他1224(1)12(1),01;()

9、0,.yYx ydxxyyfy其他2022-11-28 皖西学院 应用数学学院143(10),;,5P YXa bX Y且，求是否独立？(1,0)(0)(10)P YXP XP YX解：解：2(0)25P Xb23()255bb3.25b14.25a不独立不独立 2022-11-28 皖西学院 应用数学学院156 6随机变量函数的分布随机变量函数的分布 P75-76P75-764 4、对圆片直径进行测量，测量值、对圆片直径进行测量，测量值X X服从服从(5,6)(5,6)上的均匀上的均匀分布，求圆面积分布，求圆面积Y Y的概率密度。的概率密度。1,56;()0,.Xxfx其他21.4YX454

10、()5.yXyfx dx415,yy259.4Y解：解：()()YFyP Yy21()4PXy4(5)yPX()()YYfyFy259.4Y2022-11-28 皖西学院 应用数学学院169 9、设二维随机变量、设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布列为的联合分布列为XY1 12 23 31 11414181818182 23 30 00 00 0求下列随机变量的分布列：求下列随机变量的分布列：(1);(2);(3)2;(4).XYXYXXY2022-11-28 皖西学院 应用数学学院17解：解：(X X,Y Y)的联合分布列也可以表示为的联合分布列也可以表示为(1,1)(1,2)(1,

11、3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(,)X YP1418181818140 00 00 01+11+11+21+21+3 1+3 2+12+12+22+22+32+33+13+13+23+23+33+3XYP1418181818140 00 00 0XYP2 23 34 45 5141838146 60 02022-11-28 皖西学院 应用数学学院181010、设随机变量、设随机变量X,YX,Y相互独立，相互独立，11(1,),(1,).44XBYB(1)(2)2ZXYUX

12、求的分布律；的分布律.解：解：X,YX,Y相互独立，且都服从相互独立，且都服从 0 01 1分布分布.XY或P0 01 114349(0)(0,0)(0)(0).16P XYP XYP XP Y6(1)(0,1)(1,0).16P XYP XYP XY1(2)(1,1)(1)(1).16P XYP XYP XP YXY0 0，1 1，2.2.2022-11-28 皖西学院 应用数学学院19ZXY 的分布Z ZP P0 1 20 1 29161166162UX的分布U UP P0 20 23414注：分布相同的随机变量不一定相同。注：分布相同的随机变量不一定相同。2022-11-28 皖西学院

13、应用数学学院201111、设二维随机变量、设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为XY1 2 31 2 31929291929190 00 00 0(1)max(,)2min(,)UX YVX Y求的分布;（）的分布.解：解法同第解：解法同第9 9题题.U UP P1 12 23 31 12 23 3193959V VP P1 12 23 31939592022-11-28 皖西学院 应用数学学院211212、设二维随机变量、设二维随机变量(X,Y)(X,Y)服从服从D D上的均匀分布，其中上的均匀分布，其中D D为直线为直线 0,0,2,2xyxy所围成的正方形区域所围成的正方

14、形区域.求求 的分布。的分布。XY解：解：的可能取值范围是：的可能取值范围是：ZXY22.Z 2 22 22xy2xy xy在这两条平行直线之间，满足在这两条平行直线之间，满足22zxy 2022-11-28 皖西学院 应用数学学院22()()().ZFzP ZzP XYz22.z 2 22 2xyxyzxz()?P XYz(,).f x yxyz在直线上方区域的二重积分.xyzyxzxyz与的位置有关？即与即与z z的取值范围有关的取值范围有关.yz0z 或者用面积比计算或者用面积比计算.2022-11-28 皖西学院 应用数学学院23xzxyzxyzyz 02z当时，20z当时，()P X

15、Yz221(2)1211(2);2 28zz 2 22 2()P XYz221(2)12(2).2 28zz2022-11-28 皖西学院 应用数学学院24所以，有所以，有()ZFz 0,2;z 1,2.z 02;z211(2),8z20;z 21(2),8z()Zfz()ZFz 02;z20;z 1(2),4z1(2),4z0,.其他2022-11-28 皖西学院 应用数学学院25补充题补充题1 1：,0,0;(,)(,)0,.x yexyX Yf x y 其他.2XYZ求的密度函数2xyz2xz()()2ZXYFzP Zz(2)P XYz2200zz xx ydxedy 2212zzeze 0.ZZ 的可能取值为24,0;()0,0.zZzezfzz