概率与数理统计课件.ppt

1、2.2离散型随机变量离散型随机变量一、离散型随机变量一、离散型随机变量 1、离散型随机变量定义 2、离散型随机变量的概率分布 3、离散型随机变量的分布函数 4、离散型随机变量的分布律的求法二、常见的离散型随机变量的概率分布及分布函数二、常见的离散型随机变量的概率分布及分布函数 1、（0-1）分布（两点分布）2、等可能分布（离散型均匀分布）3、二项分布 4、泊松分布一、离散型随机变量1、离散型随机变量定义定义2、1 若随机变量X的可能取值仅有有限或可列多个，则称此随机变量为离散型随机变量。即：X的可能取值记为xk,则离散型随机变量 X=xk k=1,2,3,在2.1随机变量例1.1例1.4中,X

2、1,X2,X4为离散型随机变量，X3非随机变量。2、离散型随机变量的概率分布 。概率函数或分布律的概率分布式为则称满足条件若的概率为即事件的概率取值为且的所有可能取值为设离散型随机变量、定义)()1.2()3.2(1)2()2.2(0)1(:)1.2(,2,1,221XpppkpxXPxXxXxXkkkkkkkkk的概率分布。为即且，注意到的概率为：则，发生的次数，且重贝努利试验中例如XkPCCPkCkXPPkXAPAXkkkkkkkkkkkkk5,2,1,0,1)8.02.0(8.02.008.02.05,2,1,08.02.0)(2.0)(5550555555图形表达式：或表格或矩阵表达式

3、：）分析表达式：（示方式注：概率分布有三种表)3()2(1,0,121212121kkkkkkkkkkpppxxxpppxxxpxppxXPpXx1x2x3xkpk用图形表示为用表格表示为如上例中0003.050064.040512.032048.024096.013277.005,2,1,08.02.0)(55kkkkkkpxkCkXPP 0pkx3、离散型随机变量的分布函数例2.1 已知离散型随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5试写出X的分布函数F(x)，并绘出图形。解：因X的取值只有1，2，3三个值，为求分布函数F(x)=P(Xx),先将

4、（-，+）依X的取值分成四个区间（-，1），1，2），2，3）3，+），再考虑：(1)当x(-，1)时，X在(-，x内没有可能取值,故 F(x)=P(Xx)=P()=0(2)当x 1,2)时，无论x为何值，X在(-，x上的可能取值仅有X=1，故 F(x)=P(Xx)=P(X1)+P(X=1)+P(1X x)=0+0.2+0=0.2x121x23(3)当x2,3)时，无论x为何值，X在(-，x上的可能取值仅有两值X=1或X=2，故 F(x)=P(Xx)=P(X1)+P(X=1)+P(1X2)+P(X=2)+P(2X x)=0+0.2+0+0.3+0=0.5 (4)当x3,+)时，无论x为何值，X

5、在(-，x上的可能取值仅有三值X=1，X=2或X=3，故 F(x)=P(Xx)=P(X1)+P(X=1)+P(1X2)+P(X=2)+P(2X3)+P(X=3)+P(3X x)=0+0.2+0+0.3+0+0.5+0=1 即得X的分布函数为31325.0212.010)(xxxxxFF(x)图形为xF(x)012310.50.2:)4.2()4.2()()(,2,1),(进行求和的。即的式中和式是对所有满足的分布函数则的概率分布为从上例可看出，若kxxpxXPxFXkxXPpXkxxkxxkkkkk的值。求再分别个区间分为则应将个可能取值取如果随机变量注曲线；的图形为一阶梯形的分布函数：离散型

6、随机变量注处有跳跃，其跳跃值为在的分布函数：离散型随机变量注)(),),),(:1),(,:3)(2);(),2,1()(110)(21121121112132212111xFxxxxkxxxkXxFXxXPpkxXxFXxxppppxxxpppxxxppxxxpxxxFkkkkknnnnnn的分布函数。）（的值；）试求（其分布率如下：为一离散型随机变量，设练习：XqqqpxXk21212110121110212012110)()2(2111xxxxxFq）答：（4、离散型随机变量的分布律的求法（1）利用古典概率、条件概率、独立性等计算方法及其运算法则求出事件X=xk的概率pk=PX=xk,k

7、=1,2,求法步骤为：第一步：先确定X的全部可能取值xk,k=1,2,；第二步：具体求出事件X=xk的概率，即pk。例2.2 设有甲、乙两势均力敌的排球队，在每一局比赛中各队取胜的概率都是1/2，求两个队在一场排球比赛中所打局数的概率分布及分布函数(先胜三局者取胜)。8383821)4()3(1)5(XPXPXP1()()1,2,3,4,52kkkkP AP BkAB,且每个 与 间都是相互独立的。1234123412341234123413424(4)()13628P XP AA A AA A A AAA A ABB B BB B B BBB B B 345,kkXXkA B解：设比赛所打的

8、局数为。按现行排球比赛规则，的取值只可能是，或。如果在第 局比赛中甲队、乙队得胜的事件分别记为由题意知123123123123123123(3)()()()2()()()()()()8P XP A A AB B BP A A AP B B BP A P AP AP B P BP B则即所求概率分布如下表：X 3 4 5Pk 2/8 3/8 3/851548/5438/230)(:xxxxxFX的分布函数为（2）利用分布函数F(x)求概率分布求法步骤为：第一步：F(x)的各间断点xk的取值为X的可能取值；第二步：由pk=PX=xk=F(xk)-F(xk-0)求出事件X=xk的概率。的概率分布。试

9、求为设随机变量的分布函数例XxxxxxF31318.0114.010)(3.22.04.04.03112.08.01)03()3()3(4.04.08.0)01()1()1(4.004.0)01()1()1(2311)(1321kpXFFXPpFFXPpFFXPpXxF即所求为）（的可能取值；，即为，的间断点为）解：（即可求出分布列。或方程求出足的方程组，解出这些所满的可能取值出所满足的关系式，或列建立随机变量取值概率且即由质求分布律）利用分布律的基本性（,)(10321kkkkkkkxpxxxXxXPppp例2.4 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从

10、这批产品中随机地抽取一个作质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它的概率分布。7/17/27/43217174722721213,2,1,0212213222132131222223212321kipXppppppppppippXPXPppXPXPpXX即所求为故且由概率分布性质知：，依题意有，则一个产品的检验等级数解：设（4）利用熟知分布求分布律（见后）熟知的离散型分布如下表分布类型分布律参数(0-1)分布0p1二项分布0p1几何分布0p11,0,)1(1kppkXPkknkppCkXPknkkn,2,1,0)1(,2,1)1(1kppkXPk分布类型分布律参数超几何分布r=minn

11、,m负二项分布r1,0p0等可能分布rkCCCkXPnNknMNkM,2,1,0,1,)1(11rrkppCkXPrkrrk,2,1,0!kkekXPknkXP1例2.5 一批产品有20个，其中有5个次品。从这批产品中随机抽出4个，试求4个中次品数的分布律。0010.040310.03;2167.024696.01;2817.004,3,2,1,0,4,5,2043210442001545420115354202152542031515420415054204155CCCXPCCCXPCCCXPCCCXPCCCXPkCCCkXPnMNXXXkk即由上表查得服从超几何分布，显然，的可能取值为个产

12、品中次品个数，则抽出的解：设的分布律。）的值；（）试求（且的分布函数为、设离散型随机变量的分布律。试求抽取次数到正品为止，件正品放回去，直到取取一件产品后，总以一中每次件次品，如果随机地从件正品，、一批产品包括练习：XbaXPxbaxaxaxxFXX2,1,212221321110)(231013、一批产品包括7件正品，3件次品，有放回地抽取，每次一件，直到取到正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，试求抽取粗疏X的概率分布。,2,1,3.07.03213161211;65,612219764;2197723;169332;131011:1kkXPpXbaXPXPXPXPkk、几何分布、答案二

13、、常见的离散型随机变量的概率分布及分布函数1、（0-1）分布（两点分布）设随机变量X的可能取值仅为0或1，其概率分布为 PX=k=pk(1-p)1-k k=0,1 (0p1)(2.5)或 则称X服从参数为p的（0-1）分布。其分布函数为：Xpk011-pp)6.2(1110100)(xxpxxF。记正面出现的事件为抛掷硬币一次；记超过负荷事件为是否超负荷检查某车间电力消耗量；记合格品的事件为检查一件产品是否合格；记女婴出现的事件为记对新生婴儿进行性别登例结果。来描述这个随机试验的量。）分布的随机变定义一个服从（则总可在即元素，其样本空间只包含两个对于一个随机试验，若应用模型：AAAAAeAee

14、XXSAAS,)4(,)3(,)2(,)1(:)7.2(10)(10,。的概率分布及分布函数试求取得正品取得次品为设随机变量任取一件件次品。现从中件合格品，件产品，其中有设例XXX10,5951006.2111005.000)(,)10(,95.0100951,05.010050:xxxxFXXPXP其分布函数为分布服从可见此由题意知解函数。次数的概率分布与分布标，试求一次射击击中目率为设一射手击中目标的概练习：3.011103.000)(1,07.03.0)(:1xxxxFkkXPkk答2、等可能分布（离散型均匀分布）如果随机变量X可以取n个不同的值x1,x2,xn,且取每个xk值的概率相等

15、，即 PX=xk=1/n k=1,2,n (2.8)则称X服从等可能分布或离散型均匀分布，其分布参数为n，可记为XU(n)。其分布函数为)9.2(1,2,11/0)(11nkxxxxxnkxxxFnkk可能分布。此即等古典概型特点知则由在一古典概型中，若记应用模型：,2,1,1,2,1,)(nknxXPnkxeXkkk服从等可能分布。即此且，的可能值为为朝上的点数，则记随机变量。一次，观察朝上的点数抛掷一质地均匀的色子例XkkXPXX,6,2,1,616217.23、二项分布 如果随机变量X取值为0，1，2，n的概率为则称X服从参数为n,p的二项分布，记为XB(n,p)。其分布函数为应用模型：

16、n重贝努利概型中事件A发生的次数X即服从B(n,p)。)10.2(,1,0)1(nkppCkXPknkkn)11.2()1()(00 xkknkknxkppCkXPxF例如：例如：（4）n个新生婴儿中男婴的个数的分布；（3）n台同型号机床，在一小时内，每台机床出故障的概率相同，则n台机床在同一小时内出故障的台数的分布；（5）某射手向同一目标射击n次，n次射击中击中靶心的次数的分布。（2）检查n只产品，其中次品个数X的分布；（1）n次投掷一枚硬币，其中正面出现次数X的分布；之特例。即两点分布为二项分布时，化为两点分布中参数：当二项分布注数部分）。的整为不超过处达到极大值。（其中）（不是整数若是整

17、数若在的分布律：二项分布注的展开式的通项。恰为二项式即为二项分布故称因为注),1(1),(3)1()1(12.2)1()1()1()1(,1)1(),(2)1()1(,),(,1)1()1(:100pBnpnBpnpnpnpnpnpnpnkkXPpnBppppCkXPpnBppppCnknkknnknknkkn例2.8 按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件中一级品的只数为X，试求（1）X的概率分布及分布函数；（2）P(2.5X3.8),P(X3.4)。解：本例为不放回抽样。但由于这些元件的总数很大

18、，且抽查的数量相对于元件的总数来说又很小，因而可以当作有放回抽样来处理.故可以认为 XB(10,0.2).10,2,1,08.02.010)(10kkkXPkk具体数值如下表：X01234pk0.10740.26840.3020.20130.0881X56789pk0.02640.00550.00080.00010值表查得，即：可由二项分布函数其分布函数0108.02.010)(xkkkkxFx(-,0)0,1)1,2)2,3)3,4)F(x)00.10740.37580.67780.8791x4,5)5,6)6,7)7,8)8,+)F(x)0.96720.99360.99910.9991其概

19、率分布图形如下：PX=kk01 2 3 4 5 6 7 8 9 10其分布函数图形为10.37580.107401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xF(x)显然有 P(2.5X3.8)=F(3.8)-F(2.5)=0.8791-0.6778=0.2013 P(X3.4)=1-P(X3.4)=1-F(3.4)=1-0.8791=0.1209 一般地，当n不大于10时，F(x)的值可由二项分布函数值表查出，若n较大时，通常采用Poisson分布函数或正态分布函数作近似计算。例例2.9 设某种疾病在鸭子中传染的概率为0.25。（1）求在正常情况下（未注射防疫血清时）50只鸭子和39只鸭子中，

20、受到感染的最大可能只数；（2）设对17只鸭子注射甲种血清后，其中仍有一只受到感染；对23只鸭子注射乙种血清后，其中仍有两只受到感染。试问这两种血清是否有效？0(1)50,0.25(1)51 0.2512.75501239,0.25(1)40 0.2510399 10npnpnpnpk时，非整数，故只鸭子中受到感染的最大可能只数为 只。当时，为整数，故只鸭子中最大可能受到感染的只数有两个值或。,0.25(,0.25)nXnXB n解：显然在本例中，只鸭子中受感染的鸭子只数 为随机变量，服从参数为的二项分布，即否则,就接受原假设.即在原假设成立的前提下,若推出矛盾,就拒绝假设,A.假设检验介绍本例

21、即是要求根据检验结果判断接受还是拒绝统计假设:XB(17,0.25)接受该假设意味着认为注射血清无效;拒绝假设,意味着认为注射血清有效.:(2)的 解 法B.思路分析接受还是拒绝该假设,使用的方法是反证法.:17.kkC.具体做法:记A只中至少有 只受感染22在条件XB(17,0.25)下,计算P(A),当P(A)很小时,就拒绝原假设(理由:小概率事件在一次观察中不可能发生)否则,就接受原假设.(P所 以 应 该 有:P(一 只 受 感 染)两 只 受 感 染)所 以 有 一 只 受 感 染 应 该 理 解 为1?理由:如果两只受感染都拒绝假设(即有效),一只受感染更被拒绝:17.kkC.具体

22、做法:记A只中至少有 只受感染22在条件XB(17,0.25)下,计算P(A),当P(A)很小时,就拒绝原假设(理由:小概率事件在一次观察中不可能发生)D.讨论本例(2)的做法中为什么将试验结果:17只中有一只受感染理解为 1?2,()P A另外 通常取.1,0.05作为衡量很小的标准.22322221231723(2)()(0)(1)(2)232323(10.25)(0.25)(10.25)(0.25)(10.25)0.0492012(2)(1),P XP AP XP XP XPP在只鸭子中，至多两只受感染的概率为由于在假定血清无效的前提下，对应的试验结果出现的概率很小，所以，可以认为两种血

23、清都有效的。且由于我们还可认为乙种血清的效果稍好一些。17161(2),171717(1)()(10.25)(0.25)(10.25)0.050101P XP A解.假定血清无效 则只鸭子中至多一只受感染为练习：1、某柜台上有4个售货员，预备两个台秤共同使用，若每个售货员在一小时内均有15分钟使用台秤，试求一天10个小时内，平均有多少时间台秤不够用。2、设X服从参数为2，p的二项分布，且PX1=5/9,成功率为p的4重贝努利试验中至少有一次成功的概率是多少？3、若每次射击中靶的概率为0.7，试求射击10炮，击中3炮的概率，至少击中3炮的概率，最可能命中几炮？（答案见后）7)3(9984.0)2

24、(009.0138025.08165)1(1)2(31,95)1(1011123005.0600)3(05.022)25.0,4(41142）、（所求概率）、（分钟）。平均有）（数个售货员中使用台秤个每分钟内）、（答案：pppXPXPXPBX4、泊松(Poisson)分布 )14.2(!)();(0)13.2(,2,1,0!2100 xkkkkexFXXkkekXPX其分布函数为作的泊松分布，记服从参数为为常数，则称其中，取各值的概率为，的可能取值为如果随机变量应用模型：通常用来描述大量独立试验中稀有事件A出现次数。（4）某商店一天内销售的某种商品数；（3）某路段，某时段内交通事故出现的 次数

25、；（5）一本书中某一页上印刷错误个数。（2）一大批产品中的废品数；注1：泊松分布中的参数表示平均值，如X表示单位时间内某电话交换台接到的呼叫次数，即表示在这单位时间内接到呼叫次数的平均数。例如：（1）电话交换台在一段时间内受到的呼唤次数的整数部分）。为不超过处达到极大值（其中为整数非整数在的分布律泊松分布注见下页。从下表可看出近似程度很小时很大即当的近似计算作二项概率可用泊松分布公式较小时发生的概率某事件很大，且在一次试验中当贝努利试验的次数计算二项分布的概率：泊松分布常用于近似注)16.2(1)(:3)()15.2()(!)1(,)13.2(,20kkXPnpkeppCkXPpnpnkknk

26、kn kn=10 n=20 n=40 n=100P=0.1 p=0.05 p=0.025 p=0.01=np=100.349 0.358 0.369 0.3660.36810.385 0.377 0.372 0.370 0.36820.194 0.189 0.186 0.1850.18430.057 0.060 0.060 0.0610.06140.011 0.013 0.014 0.0150.015大于4 0.004 0.003 0.005 0.0030.004knkknppCkXP)1(!kekXPk例2.10 某电话交换台在一般情况下，一小时内平均接到电话60次，已知电话呼唤次数X服从泊

27、松分布，试求在一般情况下，30秒内接到电话次数不超过一次的概率。9098.05.1!15.0!05.01,2,1,0!5.05.030360060)(5.05.015.005.0eeeXPkkekXPXk于是故接到电话次数的平均数单位时间内电话交换台而解：已知例2.11 设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台，试比较两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。故有此处而依题意时维修的概率为台中发生故障而不能及维修”，则知台中发生故障不能

28、及时人维护的“第表示事件数”，以同一时刻发生故障的台台中为“第一人维护的）按第一种方法，记解：（,2.0),01.0,20()2()()(8020)4,3,2,1(20114321npBXXPAPAAAAPiiAXi修的概率为发生故障而不能及时维台中故的台数”，此时有台中同一时刻发生故障记“）按第二种方法，以（故80,8.0),01.0,80(8020175231.0)(0175231.02.11!12.01)99.0)(01.0(120)99.0(0201)99.0()01.0(20)2(43212.02.01192020220npBYYAAAAPeekXPkkk的目的。地使用人力、物力资源

29、之中，以求达到更有效的探讨于国民经济的某些问题个例子表明概率方法用反而提高了。这低但工作效率不仅没有降台维护平均每人务重了在后一种情况中尽管任容易看出查泊松分布表得,),27(,00908.04!8.0!8.01)(1)99.0()01.0(80)2(48.0308.03080480YPekekkYPkYPkkkkkkkk例2.12（寿命保险问题）设在保险公司里有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在每年一月一日付12元保险费，而死亡时家属可到保险公司领取赔付费2000元。试问：（1）“一年内保险公司亏本”（记为A）的概率是多

30、少？（2）“一年内保险公司获利不少于10000，20000元”（分别记为B1,B2）的概率是多少？解：每年保险公司收入为2500*12=30000元，设X为2500人在一年中死亡的人数，则保险公司应赔付2000X元，若A发生，则有 2500X30000得 X15（人）即若一年中死亡人数超过15人，则公司亏本（此处不计3万元所得利息）。000069.0!5!51)998.0()002.0(25001)998.0()002.0(2500)15()()(),002.0,2500(165150515025002500162500kkkkkkkkkkekekkkXPPAPBX保险公司亏本故以上。元的概率

31、在即保险公司获利不少于人一年中死亡人数不超过元获利不少于故即发生意味着%9810000986305.0013695.01!51!5)998.0()002.0(2500)10()10()10000()(,10,10000200030000)2(1151005100250011kkkkkkkekekkXPPPBPXXB。元的概率约为即保险公司获利不少于同理62.020000615961.0384039.01!51!5)998.0()002.0(2500)5()(655055025002kkkkkkkekekkXPBP为整数。因台台或最可能台数为向总机要外线的分机的式知由故很小很大的台数，则依题意台

32、分机中向总机要外线解：设9,98,)2016(9265.0!911903.0300,03.0,300300,1,097.003.0)03.0,300(300149300300kkkkkkeBXPBXPnppnkCkXPBXX例2.13 一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%，试求每台分机向总机要外线时能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数。刷错误的最可能个数。印个的概率，以及各页中超过中各页的印刷错误都不合订本服从泊松分布，计算该假定每页上印刷错误数印刷错误，页，平均每页上有两个、一个合订本共。试求服从泊松分布，且已知、设随机变量练习：410024,211XPXPXPX。或最可能错误个数为、，、答案21,9473.04,220902.032421:2XPeXP2.2:310;2.3:1;作业综合练习二:15