最大似然估计课件.ppt

1、1第十四讲第十四讲 参数估计参数估计 本次课结束第五章并讲授第六章点估计本次课结束第五章并讲授第六章点估计 下次课讲授区间估计并结束第六章，讲下次课讲授区间估计并结束第六章，讲授第七章假设检验第一节授第七章假设检验第一节 下次上课时交作业：下次上课时交作业：P61P62 重点：点估计重点：点估计 难点：点估计的计算难点：点估计的计算2服从正服从正 态分布态分布,nN2 niiXnX111.样本均值样本均值即即 nNX2,2.统计量统计量 .1,0 NnXu 3.统计量统计量 .1 ntnSXt五、单个正态总体统计量的分布五、单个正态总体统计量的分布 定理定理:,2 NX设总体设总体 则：则：4

2、.4.统计量统计量 nXnii212221 或或独立且：独立且：与样本方差与样本方差样本均值样本均值1)1(.522222 nSnSX )1(12122 nXXnii标准变量的分布标准变量的分布样本均值的样本均值的平方的和的分布平方的和的分布样本的标准变量样本的标准变量第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识3 ,2 NX设总体设总体抽取容量为抽取容量为9的样本，求样本均值的样本，求样本均值 与总体与总体 之差的绝对值小于之差的绝对值小于2的概率，如果的概率，如果X（1）若已知）若已知=4;（2）若）若未知未知,但已知样本方差的观测值但已知样本方差的观测值.

3、45.182 s例题例题13-5-113-5-1 2 XP 94294XP 5.1|uP 5.15.1 8664.0 解解O xftx t（1）),1,0(94NXu 第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识480.0210.01 89/45.18tXt （2）2 XP 9/45.1829/45.18|XP 397.11 tP)397.1|(|tP 397.121 tP397.1)8(10.0 t查表得：查表得：（1）;12801612 iiXP，求求已已知知 ,2,2 NX设总体设总体 抽取容量为抽取容量为16的样本的样本 .1001612 iiXXP，求

4、求未未知知（2）例题例题13-5-213-5-2第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识5(2),15212)116(2161222222 iiXXS解解 16122221)16(21iiX (1)1612128iiXP 161222212821iiXP)32(21 P)32(121 P99.001.01 1612100iiXXP 161222210021iiXXP)25(22 P)25(122 P95.005.01 0.32)16(201.0 0.25)15(205.0 0.250.32x xf2 O01.02 05.02 第十三讲：中心极限定理数理统计基

5、本知识第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识6从总体从总体X 中抽取容量为中抽取容量为 的样本的样本 1n1,21nXXX从总体从总体Y 中抽取容量为中抽取容量为 的样本的样本2n2,21nYYY假设所有的试验都是独立的，所以样本假设所有的试验都是独立的，所以样本 1,2,1niXi 及及 都是相互独立的都是相互独立的.2,2,1njYj 样本均值：样本均值：,1111 niiXnX 2121njjYnY样本方差：样本方差：11212111niiXXnS 21222211njjYYnS第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识定理定理6 6 ,211 NX设总

6、体设总体 ,222 NY则则 .1,022212121NnnYXU 7.,22212121 nnNYX.,1211 nNX 证：证：.,2222 nNY.标标准准化化即即得得结结论论将将YX 第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识推论推论 ,21 NX设总体设总体 22,NY则则 .1,0112121NnnYXU 212111nnSYXTw ,221nnt定理定理7 7 ,211 NX设总体设总体 ,222 NY则则其中其中 2)1()1(21222211 nnSnSnSw8 .1,0 22212121NnnYXU 证证：)2()1()1(21222222

7、1122212 nnSnSn 独立，独立，与与又又2221SS )2(112212121212 nntSnnYXnnUw );1()1(),1()1(2222222212221121 nSnnSn 独立，独立，与与21SX独立，独立，与与22SY统计量统计量U U与与 也是独立的。也是独立的。2 第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识9定理定理8 8 ),(2122212221112121nnFnYnXFnjjnii ,211 NX设总体设总体 ,222 NY则则 ),(11212121211nXnii 证：证：)(12212222222nYnjj 独立，

8、独立，与与又又jiYX独立，独立，与与2221 ),(2122212221112122212121nnFnYnXnnFnjjnii 第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识定理定理9 9 则则 ,211 NX设总体设总体 ,222 NY10 ),1(1122121121 nSn 证：证：独立，独立，与与又又2221SS )1(1222222222 nSn 独立，独立，与与2221 )1,1()1()1(2122222121222121 nnFssnnF P2第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识)1,1(21222221

9、21 nnFSSF的的样样本本，求求与与容容量量为为中中分分别别抽抽取取与与，从从总总体体，设设810)2,10()5,20(2122 nnYXNYNX);6()1(YXP).23()2(2221 SSP例题例题13-5-113-5-111 31063106 YXPYXP9896.0)31.2()31.2(1)31.2(UPUP第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识解解 .1,031082105102022NYXYXU （1）（2）)7,9(25222221FSSF 23 2221SSP 222222212/15/232/5/SSP95.005.01)68

10、.3(1)68.3(FPFP12例：例：若总体若总体X X的分布函数为的分布函数为F F(x x,)，而，而未知，如何利用总体未知，如何利用总体 ,21nXXX样本样本对对进行估计进行估计。是是未未知知参参数数。两两个个参参数数，本本例例、方方差差其其分分布布函函数数含含有有均均值值例例如如：设设总总体体aaNX ),1,(，时时当当aXnXnPnii 11,的的估估计计。可可以以作作为为 aX ,21nXXX 取样本的一个函数取样本的一个函数则则称称未知参数未知参数的估计值，的估计值，是是的点估计量。的点估计量。nXXX,21 定义：定义：如果以它的观测值作为如果以它的观测值作为 而称其观测

11、值而称其观测值 nxxx,21 是是的点估计值。的点估计值。背景：背景：若总体若总体X X的分布类型已知，而未知的仅仅是其中的一个或的分布类型已知，而未知的仅仅是其中的一个或 几个参数，如何对总体分布的参数作出估计。几个参数，如何对总体分布的参数作出估计。参数估计参数估计一、点估计一、点估计1.1.参数估计定义参数估计定义第十四讲第十四讲 参数估计参数估计13 2.2.求点估计值的方法求点估计值的方法矩估计法矩估计法 kkXEX )(为为X X 的的 k k 阶原点矩。阶原点矩。复习矩定义：复习矩定义：设设X X是随机变量，则称是随机变量，则称.1,121 nikiknxnmkkXxxx阶阶矩

12、矩。记记作作：本本次次幂幂的的平平均均值值被被称称为为样样每每一一个个观观测测值值的的的的样样本本观观测测值值，则则为为总总体体样样本本矩矩定定义义：设设值值样本原点距的算术平均样本原点距的算术平均样本矩实际上是所有的样本矩实际上是所有的法法则则这这种种方方法法称称为为矩矩估估计计，个个方方程程：阶阶矩矩，得得出出阶阶矩矩估估计计总总体体的的样样本本的的个个未未知知参参数数，则则可可用用总总体体有有矩矩估估计计方方法法：如如果果一一个个rkvxnmrkkrknikik,2,111 第十四讲第十四讲 参数估计参数估计14.,0,021的的矩矩估估计计值值求求如如果果取取得得样样本本观观测测值值为

13、为是是未未知知参参数数，上上服服从从均均匀匀分分布布，其其中中在在区区间间设设总总体体 nxxxX 例题例题14-1-114-1-1解：因为总体解：因为总体X X的概率密度的概率密度 其它其它,00,1);(xxf2)()(01 dxxXEX)()(111xEXvxnnii ，因此一个方程：，因此一个方程：总体只有一个参数总体只有一个参数 2)(111 XvXnnii),()(1XEX 2 22)()(XEXDXEX 特别提示：特别提示：第十四讲第十四讲 参数估计参数估计15因此解得因此解得的矩估计量的矩估计量 XXnnii221 而而的矩估计值就是的矩估计值就是 xxnnii221 设总体设

14、总体X服从正态分布服从正态分布 ,其中其中及及 是未知参数。是未知参数。如果取得样本观测值为如果取得样本观测值为 ,求参数求参数及及 的矩估计值。的矩估计值。2,Nnxxx,21例题例题14-1-214-1-2,)()(1 XEX解：解：222 22)()(XEXDXEX;1211XXnnii 阶矩：阶矩：阶与阶与它们分别等于样本它们分别等于样本.11222niiXn 21221 niiXn2121XXnnii第十四讲第十四讲 参数估计参数估计16.)(.22 阶阶中中心心矩矩的的矩矩估估计计值值就就是是样样本本二二总总体体方方差差XD .与与方方差差存存在在都都成成立立，只只要要它它的的均均

15、值值以以上上结结论论对对任任何何总总体体X;)(.1xXE的的矩矩估估计计值值是是样样本本均均值值总总体体均均值值 注注,2 得得 及及 的矩估计值为的矩估计值为,x 21221xxnnii 3.3.求点估计值的方法求点估计值的方法最大似然法最大似然法的的。的的等等式式关关系系来来估估计计参参数数就就是是利利用用这这种种最最大大可可能能我我们们发发生生的的可可能能性性最最大大，则则若若个个，其其中中根根据据其其分分布布的的结结果果有有出出现现一一次次随随机机试试验验中中，可可能能最最大大似似然然法法的的思思想想：在在).,(),(max),(,APCBAPACBAPCBA 第十四讲第十四讲 参

16、数估计参数估计17是是，其其中中的的概概率率为为）定定义义：设设离离散散总总体体（);(1xpxX 为似然函数为似然函数即即),(),(),(),(,),()(2122111 nnnniixpxpxpxXxXxXPxpL 称称：是是一一组组样样本本观观测测值值，则则未未知知参参数数，nxxx,21为最大似然估计值。为最大似然估计值。称称)(max)(LL 的最大似然函数的最大似然函数类似可定义连续总体类似可定义连续总体X称称：是是一一组组样样本本观观测测值值，则则未未知知参参数数，nxxx,21为为似似然然函函数数即即),(),(),(),(,),()(2122111 nnnniixfxfxf

17、xXxXxXfxfL 是是，其其中中的的概概率率密密度度为为）定定义义：设设总总体体（);(2xfxX 为为最最大大似似然然估估计计值值。称称)(max)(LL 第十四讲第十四讲 参数估计参数估计18（3 3）求似然函数）求似然函数L L()的最大值的最大值.0)()(max ddLL满满足足：假假定定不不需需检检验验，即即确确定定最最大大值值。这这里里我我们们为为零零的的点点来来可可通通过过求求驻驻点点，即即导导数数在在微微积积分分中中我我们们知知道道，是是离离散散变变量量样样本本观观测测值值对对应应，尤尤其其似似然然函函数数时时一一定定注注意意和和以以，求求观观测测值值的的似似然然函函数数

18、，所所注注意意：似似然然函函数数是是样样本本0)(ln)(maxlnln LLzzzz满满足足：因因此此在在同同一一点点取取得得最最大大值值，和和是是递递增增的的，容容易易证证明明的的对对数数我我们们还还知知道道：一一个个变变量量第十四讲第十四讲 参数估计参数估计19设总体设总体X服从泊松分布服从泊松分布 P(),其中其中为未知参数。如果取得为未知参数。如果取得样本观测值为样本观测值为 ，求参数，求参数 的矩（最大似然）估计值。的矩（最大似然）估计值。nxxx,21例题例题14-1-314-1-3得得的矩估计值为的矩估计值为x niiXn11（1）令令,)(XE（2）.!exxXPx .!11

19、 nniixexnii exniixi1!似然函数似然函数 L ln1 niix)(ln L niix1!ln n 0 nxnii 11 dLd)(ln令令得得 的极大似然估计值为的极大似然估计值为x niixn11 第十四讲第十四讲 参数估计参数估计20设总体设总体X服从指数分布，概率密度为服从指数分布，概率密度为 0.x ,00;x ,;当当当当xexf ,21nxxx求参数求参数 的矩（最大似然）估计值的矩（最大似然）估计值.其中其中 为未知参数。如果取得样本观测值为为未知参数。如果取得样本观测值为 例题例题14-1-414-1-4 niixne1 (2)似然函数似然函数 nixie1

20、L.1 niix lnn)(ln L解解X niiXn111（1）1)(XE令令得得 的矩估计值为的矩估计值为x1 第十四讲第十四讲 参数估计参数估计01 niixn 令令 dLd ln21.41,432,43)21(32)1(210)(,216811221 XExnnii且且：)(11XExnnii ：样样本本矩矩均均值值等等于于总总体体矩矩解：（解：（1）矩估计：）矩估计：第十四讲第十四讲 参数估计参数估计得得 的最大似然估计值为的最大似然估计值为x1 niixn1 是是未未知知参参数数（其其中中)210 14-1-5.（02,7分）分）设总体设总体X的概率分布为：的概率分布为：利用总体利

21、用总体X的如下样本：的如下样本：3,1,3,0,3,1,2,3,求求 的矩估计值和的矩估计值和最大似然估计值。最大似然估计值。)21()1(2321022 PX22第十四讲第十四讲 参数估计参数估计23)34,21,1201()21()1(4)21()1(4),()(4264222812个个个个个个，个个 iixpL)21ln(4)1ln(2ln64ln)(ln L幂幂指指函函数数取取对对数数0)21)(1(62824218126)(ln2 求最大值求最大值dLd niixpL1),()(再再求求最最大大值值函函数数写写出出样样本本观观测测值值的的似似然然 （2）最大似然估计：）最大似然估计：

22、不合题意）不合题意）,2112137(12137 12137 的的最最大大似似然然估估计计所所以以.第十四讲第十四讲 参数估计参数估计24 二、衡量点估计量好坏的标准二、衡量点估计量好坏的标准(1)(1)无偏性无偏性 为为的的。则称则称 ,)(.,21 EXXXn若若的的估估计计量量设设参参数数定义定义 时时所所产产生生的的误误差差的的代代替替参参数数的的无无偏偏估估计计量量用用参参数数 .0,即即不不含含有有系系统统误误差差数数学学期期望望为为),(,2121nnxxxxxx 则则称称如如果果样样本本观观测测值值为为.的的无无偏偏估估计计值值是是)(11 niiXEn证证 nn 1.niiX

23、nE11)(XEx 样本均值样本均值 是总体均值是总体均值的无偏估计值的无偏估计值 结论结论1 第十四讲第十四讲 参数估计参数估计25 是是的无偏估计值，的无偏估计值，x.x 证证)(2SE niiXnXnE12211 )()(11212XnEXEnnii22 2 iiXEXD )(2iXE ni,2,1)(2XE 2)(XEXD 22 n niiXDn121221 nn n2 niiXnD11 XD 222211 nnnn2 )(2SE22S 结论结论2 2 的无偏估计的无偏估计是总体方差是总体方差样本方差样本方差22 S第十四讲第十四讲 参数估计参数估计26例例14-2-1 测得自动车床加

24、工的测得自动车床加工的1010个零件的尺寸与规定尺寸的偏差个零件的尺寸与规定尺寸的偏差(mm)(mm)如下：如下：+2+2，+1+1，-2-2，+3+3，+2+2，+4+4，-2-2，+5+5，+3+3，+4+4，求零件尺寸偏差总体的均值及方差的无偏估计值求零件尺寸偏差总体的均值及方差的无偏估计值.，mm2101101 iixx .mm78.5912101222 iixxs 解：根据无偏估计的两个重要结论：解：根据无偏估计的两个重要结论：（2 2）有效性）有效性.,2121的的优优劣劣较较的的无无偏偏估估计计值值，如如何何比比都都是是如如果果 问题：问题：第十四讲第十四讲 参数估计参数估计27

25、2 ),(iXD 如果如果 ),()(21 DD 1 2 则称则称 较较 有效有效.nXXX,211 nXXX,212 设设及及都是都是的无偏估计量，的无偏估计量，的值最小，则称的值最小，则称 是是 的的。)(D如果对于给定的样本容量如果对于给定的样本容量n，定义：定义：更更有有效效。的的方方差差那那个个更更小小那那个个就就考考察察所所以以只只要要的的距距离离更更小小，由由于于哪哪一一个个与与也也就就是是的的附附近近在在中中哪哪一一个个的的取取值值更更稳稳定定看看212121,)(,.,E方法：方法：n2 及及 都是都是的无偏估计量，但是的无偏估计量，但是 XiX例例:)(XD.有有效效较较i

26、XX（3 3）一致性（相合性）一致性（相合性）要求：要求：当样本容量当样本容量 n n 无限增大时，估计量能在某种意义下充分无限增大时，估计量能在某种意义下充分 接近被估计的参数接近被估计的参数.第十四讲第十四讲 参数估计参数估计28,1lim nnP的一致估计值的一致估计值是是则称则称 n有有。即即对对于于任任何何按按概概率率收收敛敛于于时时，如如果果当当,0 nn定义定义 理理）的的一一致致估估计计值值（大大数数定定是是总总体体均均值值：样样本本均均值值结结论论 X1推推论论：存存在在:;,2,1,)(,)(2 niXDXEii 11lim1 niinXnP设设独独立立随随机机变变量量服服

27、从从同同一一分分布布,期期望望及及方方差差nXXX,21 则则对对于于任任何何正正数数 ，有有2S2 样本方差样本方差 是总体方差是总体方差 的一致估计量的一致估计量.结论结论2 2 221XXnn 212211XnXnSnii证证第十四讲第十四讲 参数估计参数估计29 ,22XEXP当当 n时，时，),(22XEXP ,)()(222 XDXEXE又又.22 PSn时时，例题例题14-2-214-2-2具具有有无无偏偏性性。的的估估计计量量，讨讨论论它它是是否否作作为为）如如果果用用（的的分分布布函函数数；）求求最最大大似似然然估估计计值值（；的的分分布布函函数数求求总总体体的的最最大大似似

28、然然估估计计；（求求参参数数其其观观测测值值为为中中抽抽取取简简单单随随机机样样本本从从总总体体是是未未知知参参数数其其中中，的的概概率率密密度度为为设设总总体体 43)(2)1(,0,0,2)(2121)(2xFXxxxXXXXxxexfXnnx 第十四讲第十四讲 参数估计参数估计30)2()2()2)(2(),()(),()(1)(2)(2)(2)(2111121 ninxnxxxniiiniieeeexfLxxfLn 时时，个个观观测测值值的的似似然然函函数数）求求解解：（).,min(,2,1,)(,02)(ln,)(22ln)(ln211niiniixxxxnixLndLdxnL 即

29、即满满足足小小于于所所有有的的又又单单调调递递增增大大值值：幂幂指指函函数数取取对对数数，求求最最第十四讲第十四讲 参数估计参数估计31 xtxxxxdtedttfdttfdttfdttfxFxdttfxF )(22)()()()()(,)()()2(时时，根根据据分分布布函函数数定定义义：)()()(1,1),min(1),min()()()3(21212121xXPxXPxXPxXxXxXPxXXXPxXXXPxPxFnnnn 关关系系定定义义根根据据分分布布函函数数与与概概率率的的 xxexFeetdexxxtxt,01)(1)(2)(2)(2)(2)(2第十四讲第十四讲 参数估计参数估

30、计32 xxnexFxFxfExnn,0,2)(1 1)()()(4)(2是是否否成成立立。看看）考考察察无无偏偏性性，关关键键是是（。的的估估计计量量不不具具备备无无偏偏性性作作为为 zndxnxedxxxfExn212)()(2 xxexFFxFxXPxXPxXPxnnii,0,1)(11)(1)(1)(1)()(2第十四讲第十四讲 参数估计参数估计33三、正态总体参数的区间估计三、正态总体参数的区间估计1.1.背景：背景：概概率率称称为为置置信信称称为为置置信信区区间间，将将，为为此此，将将很很小小）设设即即范范围围内内的的把把握握性性很很大大，在在的的估估计计值值该该式式也也可可以以解

31、解释释成成希希望望即即就就是是还还小小，用用数数学学式式子子表表示示比比正正数数误误差差的的误误差差很很小小，与与真真值值估估计计值值估估计计它它。我我们们总总是是希希望望未未知知，需需要要用用样样本本中中参参数数已已知知一一个个正正态态总总体体，其其 1)(1)()(.,PP第十四讲第十四讲 参数估计参数估计34三、正态总体参数的区间估计三、正态总体参数的区间估计 称称置置信信上上限限。叫叫置置信信下下限限，区区间间。上上的的置置信信在在置置信信水水平平为为参参数数，为为置置信信水水平平，称称，则则称称果果确确定定的的两两个个统统计计量量，如如是是由由样样本本和和定定义义：设设2111112

32、122111)(11)(,2.PXXXXXXnn计计量量或或密密度度为为对对称称形形状状的的统统这这种种方方法法特特别别适适合合分分布布与与置置信信概概率率：的的概概率率来来确确定定置置信信区区间间）和和误误差差即即（的的误误差差并并利利用用它它与与真真值值（个个样样本本的的参参数数经经常常地地，我我们们只只选选用用一一 1)()(,),21PPXXXn第十四讲第十四讲 参数估计参数估计35 置信区间表示估计结果的精确性，置信区间表示估计结果的精确性，而置信水平则表示这而置信水平则表示这一结果的可靠性。一结果的可靠性。数数的置信区间，称为参数的置信区间，称为参数的的区间估计区间估计。对于已给的

33、置信水平对于已给的置信水平1-1-，根据样本观测值来确定未知参根据样本观测值来确定未知参 uxdxeuuP2221nXu0 ,2 N，0 (1)(1)设总体设总体X X 已知已知 求参数求参数的置信区间。的置信区间。1,0 N样本函数样本函数则对于给定的则对于给定的，引进临界值，引进临界值 u x 10，N uOx3.3.正态总体均值正态总体均值的区间估计的区间估计(已给置信水平已给置信水平1-1-)对于给定的对于给定的,u数数 可通过查附录表可通过查附录表2 2求得求得.第十四讲第十四讲 参数估计参数估计36例如，当例如，当=0.05=0.05 时，有时，有05.0uuP05.01uuP05

34、.01u,05.0 .95.005.0 u即即 .645.105.0 u查表得查表得)()(uuPu 提提示示：由由标标准准正正态态定定义义注意注意 当自由度当自由度k k 时，时，t t 分布趋于标准正态分布分布趋于标准正态分布N N(0,1),(0,1),所以对于给定的所以对于给定的有有 tu.645.105.005.0 tu因此，查因此，查 t t 分布表可得分布表可得，取取代代算算，常常用用一一般般情情况况下下，为为减减少少运运 ut)(第十四讲第十四讲 参数估计参数估计37如如图图）即即：，由由正正态态分分布布定定义义令令：的的对对称称的的置置信信区区间间求求相相同同置置信信概概率率

35、可可考考虑虑正正态态分分布布的的样样本本函函数数标标准准是是服服从从关关于于均均值值对对称称的的注注意意()()(1),1,0(22 uxdxeuuPuuPNuu)()(22 uuPuuP ）：）：对称性一个优点（如图对称性一个优点（如图 x 2 2 2 u2 uOx 1u)()()(,12222 uuPuuPuuuP 注注意意到到：为为了了使使置置信信概概率率为为第十四讲第十四讲 参数估计参数估计38 1221)()()(21)(1)(1)(2222222uuPuuPuuuPuuPuuPuuP），即（即（为为因此，对称的置信区间因此，对称的置信区间2222,uuuuu )1,0(),(002

36、00NnXunXuNX为为样样本本函函数数，显显然然变变量量选选取取标标准准的的正正态态总总体体对对于于已已知知方方差差 代代入入，将将即即：的的置置信信区区间间为为其其置置信信概概率率为为nXuuuuPuu/1)(),(102222 第十四讲第十四讲 参数估计参数估计39 1)()/()/(20200202202unXunXPnuXnuPunXuP），置置信信区区间间为为：（为为置置信信度度的的置置信信概概率率为为的的以以均均值值由由此此得得出出，正正态态总总体体20202020201)(1),(unXunXunXunXPNX 的的置置信信区区间间，求求参参数数未未知知设设总总体体 ,)2(

37、2NX)1(00 ntnSXtnSXS 已已知知。，得得到到样样本本函函数数取取代代，可可用用未未知知第十四讲第十四讲 参数估计参数估计40 xf2 2)1(2 nt)1(2 ntOx 1t区间区间的置信的置信为置信概率的为置信概率的时以时以知方差知方差推导过程，不难求出未推导过程，不难求出未变量的变量的一样，因此仿照以上一样，因此仿照以上变量相比形式上变量相比形式上变量与变量与而且而且分布关于原点对称，分布关于原点对称，由于由于 1uutt )1(),1(22ntnt ,1)1(2 nttP使得使得即即,1)1(2 ntnSXP 1)1(2ntnSXP第十四讲第十四讲 参数估计参数估计41上

38、式表明，对应于置信水平上式表明，对应于置信水平1 1-，总体均值，总体均值的置信区间为的置信区间为 )1()1(22 ntnSXntnSX 这批零件直径的均值这批零件直径的均值对应于置信水平对应于置信水平0.95 0.95 及及 0.99 0.99 的置信的置信区间。区间。例例14-3-114-3-1 从一批零件中，抽取从一批零件中，抽取9 9个零件，测得其直径个零件，测得其直径(毫米毫米)为为 19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.9，20.2，20.3。2,N设零件直径服从正态分布设零件直径服从正态分布 ,且已知且已知=0.21(=0.21(毫米毫米),),求求

39、对于置信水平对于置信水平1 1-=0.950.95，解解则则=0.05=0.05，查附录表查附录表4 4得得 025.02uu 025.0t96.1 求置信区间，第一步要考察总体分布是否正态，方差是否已求置信区间，第一步要考察总体分布是否正态，方差是否已知？如本例总体正态，方差已知，此时根据置信度求知？如本例总体正态，方差已知，此时根据置信度求2 u第十四讲第十四讲 参数估计参数估计42020200)(,/，并并列列出出，所所需需的的，求求出出置置信信区区间间第第二二步步，根根据据nXunXunXnXu 01.20,96.1,39,0.2120 xun经计算经计算 ），置置信信区区间间：（第第

40、三三步步：代代入入公公式式求求出出2020 unXunX 由由,14.096.1921.020 un得置信区间为得置信区间为 20.01-0.14 20.01+0.1419.8720.15即即第十四讲第十四讲 参数估计参数估计43由由.18.058.2921.020 un所以，置信区间为所以，置信区间为:19.8320.1919.8320.19（毫米）（毫米）.同理，如果置信水平同理，如果置信水平1 1-=0.99=0.99，则则=0.01=0.01，005.0005.02tuu 查附录表查附录表4 4得得 ,58.2 例例14-3-2 14-3-2 在上面的例子中，设未知在上面的例子中，设未

41、知，求零件均值，求零件均值对应于置对应于置信水平为信水平为0.950.95的置信区间的置信区间 已给置信水平已给置信水平1 1-=0.95=0.95，则则=0.05=0.05，第一，正态总体，方差未知，则求出样本差第一，正态总体，方差未知，则求出样本差s,s,先求先求2 t解解.31.2025.02 tt 查表得查表得 第十四讲第十四讲 参数估计参数估计44 ,01.20毫毫米米 x ,203.0毫米毫米 s自由度自由度 n n=9=9-1=81=8，求得求得 .16.031.29203.02 tns得置信区间为得置信区间为 19.8520.1719.8520.17（毫米）（毫米）.第二，将置信区间所需要的数据列出第二，将置信区间所需要的数据列出求求出出置置信信区区间间第第三三，代代入入公公式式 )1()1(22ntnSxntnSx 第十四讲第十四讲 参数估计参数估计