第三章-二维随机变量课件.ppt

1、第一节第一节 二维随机变量二维随机变量)(eX 图示图示 )(eY S一一.定义定义 ，是是一一个个随随机机试试验验设设E,eS 它它的的样样本本空空间间是是上上的的随随机机变变量量，是是定定义义在在和和设设SeYYeXX)()(),(YX由由它它们们构构成成的的一一个个向向量量叫做二维随机向量叫做二维随机向量 或二维随机变量或二维随机变量.e二、（联合）分布函数二、（联合）分布函数 1、定义、定义，是二维随机变量是二维随机变量设设),(YX,yx数数二元函数二元函数:),(yxF,yYxXP ，的分布函数的分布函数称为二维随机变量称为二维随机变量),(YX或称为或称为随机随机对于任意实对于任

2、意实.的联合分布函数的联合分布函数和和变量变量YXxoy),(yx yYxX ,方方的的无无穷穷矩矩形形域域为为顶顶点点而而位位于于该该点点左左下下),(yx内的概率内的概率.),(yxF2、几何意义：、几何意义：表示表示(,)X Y落在以落在以,2121yyyxxxP ).,(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF 3、性质、性质,),(1的不减函数的不减函数和和是变量是变量yxyxF,1),(02 yxF且且,0),(yF,0),(xF,0),(F.1),(F.也右连续也右连续关于关于y，右连续右连续关于关于xyxF),(03三、边缘分布函数三、边缘分布函数(,),X

3、Y),(xF,YxXP(),()XYFx FyX和和Y的分布函数的分布函数也称为也称为(,)X Y关于关于X和和Y的边缘分布函数。的边缘分布函数。且且 xXP()XFx )(yYPyFY ,yYXP ),(yF 第二节第二节 离散型的二维随机变量离散型的二维随机变量及其分布律及其分布律 1.定义定义 或可列多对或可列多对,是是则称则称),(YX全部可能取到的全部可能取到的值只有有限对值只有有限对如果如果),(YX.离散型的二维随机变量。离散型的二维随机变量。2.分布律（联合分布律）分布律（联合分布律）,2,1,ji,ijjipyYxXP YX12 jyyy12ixxx 11121 jppp21

4、222 jppp12 iiijppp3.分布律的性质：分布律的性质：,0 ijp（1）,111 ijijp（2）例例1:3只黑球，只黑球，2只红球，只红球，2只白球，从中任取只白球，从中任取4只，只，X：取到的黑球的只数：取到的黑球的只数Y：取到的红球的只数：取到的红球的只数求求X和和Y的联合分布律。的联合分布律。例例2四四个个整整数数中中等等可可能能在在设设随随机机变变量量4,3,2,1X中等可能中等可能在在另一个随机变量另一个随机变量XY1地取一个值地取一个值,地取一整数值地取一整数值.),(的分布律的分布律试求试求YX:,的取值情况是的取值情况是jYiX 解解 易知易知 ,4,3,2,1

5、 i取不大取不大j.的正整数的正整数于于i且且 ,jYiXP P Xi P Yj Xi1 1,4 i,4,3,2,1 i.ij 4、边缘分布律：、边缘分布律：在离散型在离散型),(YX中，中，X和和Y的分布律称为的分布律称为边缘分布律。边缘分布律。且且 1jijp,1,2,iijP XxP Xx Yyj 1ijip ,1,2,jijP YyP Xx Yy i 一一.连续性的二维随机变量连续性的二维随机变量 第三节第三节 连续型的二维随机变量连续型的二维随机变量及其概率密度函数及其概率密度函数 ,dd),(),(vuvufyxFyx ,),(量量是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变则称则称Y

6、X.的联合概率密度的联合概率密度和和称为随机变量称为随机变量YX或或 ),(),(yxFYX的分布函数的分布函数对于对于1、定义、定义使使如果存在非负函数如果存在非负函数yxf),(,),(的概率密度的概率密度YX),(称为称为yxf2.性质性质 .0),(1 yxfyxyxfdd),(2 .dd),(),(GyxyxfGYXP,3平平面面上上的的区区域域是是设设xOyG,),(),(4连连续续在在若若yxyxf.1则有则有.),(),(2yxfyxyxF 具具有有概概率率密密度度设设二二维维随随机机变变量量),(YX),(yxf(3).P YX 求求概概率率例例2 (2)Ae,0,0,xyx

7、y.,0其其他他);,()2(yxF求分布函数求分布函数（1）求常数）求常数A。(4)2.P XY 求求概概率率3、边缘概率密度、边缘概率密度),(YX若若是连续型的二维随机变量，是连续型的二维随机变量，设其概率设其概率),(yxf密密度度为为则则X和和Y也为连续型随机变量，也为连续型随机变量，其概率密度其概率密度(),()XYfxfy称为称为),(YXX和和关于关于Y关于关于的边缘概率密度，的边缘概率密度，且且()(,)d,Xfxf x yy ()(,)d.Yfyf x yx )(xFX(,)F x (,)d d,xf x yyx 证：即证证：即证)(xFX()d,xXfxx 例：设例：设(

8、,)X Y的概率密度为的概率密度为,0(,)0,yexyf x y 其其它它求边缘概率密度。求边缘概率密度。练：设练：设(,)X Y的概率密度为的概率密度为21,0,0(,)40,xyexyf x y 其其它它求边缘概率密度。求边缘概率密度。二、两类常用的连续型二维随机变量二、两类常用的连续型二维随机变量1、均匀分布：、均匀分布：设设D是是xoy平面上的有界区域平面上的有界区域,其面积为其面积为S,若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为 .,0,),(,1),(其他其他DyxSyxf则称则称(X,Y)在在D上服从均匀分布上服从均匀分布.2、二维正态分布：、二维正态分布：记记为为分分布布的的二二

9、维维正正态态服服从从参参数数为为则则称称.,),(2121YX).,(),(222121NYX若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为221121),(yxf )()(2)()1(212222212121212eyyxx 三、相互独立的随机变量三、相互独立的随机变量两个事件两个事件A、B独立独立()()()P ABP A P B 1、定义、定义:若若),()(),(yFxFyxFYX.是相互独立的是相互独立的和和则称随机变量则称随机变量YX 函数函数.的分布函数及边缘分布的分布函数及边缘分布分别是分别是及及设设)(),(),(yFxFyxFYX),(YX2、离散型：、离散型：设设(X,Y)是离散

10、型，是离散型，(,)ijx y,ijijP Xx YyP Xx P Yy 相互独立相互独立和和YX3、连续型：、连续型：设设(X,Y)是连续型，是连续型，(,)()()XYf x yfx fy 相相互互独独立立和和YX4、对于二维正态随机变量、对于二维正态随机变量(X,Y)，相相互互独独立立和和YX0 几乎处处几乎处处成立成立YX12a16262601和和YX例：设例：设具有联合分布律：具有联合分布律：和和YX判断判断是否相互独立？是否相互独立？例：例：和和YX相互独立，且相互独立，且设设121233XP344599YP和和YX求求的联合分布律。的联合分布律。具具有有概概率率密密度度设设二二维

11、维随随机机变变量量),(YX),(yxf例例 (2)2e,0,0,xyxy .,0其其他他和和YX问问是否相互独立？是否相互独立？具具有有概概率率密密度度设设二二维维随随机机变变量量),(YX),(yxf练：练：()1()e,0,0,2xyxyxy .,0其其他他和和YX问问是否相互独立？是否相互独立？5、推广：、推广：,),(221121nnnxXxXxXPxxxF 的分布函数或随的分布函数或随维随机变量维随机变量称为称为),(21nXXXn.,21的的联联合合分分布布函函数数机机变变量量nXXX.,21是是相相互互独独立立的的则则称称nXXX),()()(),(212121nXXXnxFx

12、FxFxxxFn（1）若若).,(),(212211nmyyyFxxxF),(2121nmyyyxxxF（2）若）若是是相相互互和和则则称称随随机机变变量量),(),(11nmYYXX独立的独立的.（3）若）若12,nXXX相互独立，相互独立，12,nfff是是连续函数，则连续函数，则1122(),(),()nnfXfXfX也相互独立。也相互独立。,是连续函数是连续函数又若又若gh相相互互和和设设),(),(2121nmYYYXXX（4 4）独立独立,(),(121YgXXXhm和和则则.),2相相互互独独立立nYY 第四节第四节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布和的分布和的分

13、布极值分布（最大值分布、最小值分布）极值分布（最大值分布、最小值分布）一、一、Z=X+Y的分布的分布1、（、（X,Y）为离散型：）为离散型：YX112 52012 和和YX例：设例：设具有联合分布律：具有联合分布律：220620320320120求求X+Y的分布律。的分布律。2、（、（X，Y）为连续型：）为连续型：若（若（X，Y）的概率密度为）的概率密度为(,),f x yZXY则则的概率密度为的概率密度为()(,)d,Zfzf zy yy 或或 ()(,)d.Zfzf x zxx 相互独立，相互独立，和和又若又若YX()()()d,ZXYfzfzy fyy 则则()()()d.ZXYfzfx

14、 fzxx 或或 )(zFZzZP ,dd),(yxyxfzyx xyOzyx .dd),(yxyxfyz 证证 令令,yux )(zFZyuyyufzdd),(.dd),(uyyyufz 例例 .变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机和和设设YX且都服从且都服从(0,1),N分分布布,e21)(22xXxf ,e21)(22yYyf .的概率密度的概率密度求求YXZ 解解 ()()()dZXYfzfx fzxx xxzxdee212)(222 ,dee212242xzxz 22,22ztx令令得得 )(zfZ22t-4211eed22zt 242e2 2z .e2142z.)2,0

15、(分分布布服服从从即即NZ定理定理 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组合的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布.221212(,).XYN 则则Y).,(222N),(,211NXYX相相互互独独立立且且设设（1）222121212(,).nnnXXXN 则则2(,),1,2,iiiXN in 若若（2）且相互独立，且相互独立，二、极值分布：二、极值分布：（了解）（了解）).()(yFxFYX和和分分布布函函数数分分别别为为,变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设YX,min,maxYXNYXM 及及现现求求.的分布函数的分布函数()MFz,zYzXP zMP P Xz P Yz()().XYFz Fz()NFzzNP ,1zYzXP 1zNP 1P XzP Yz 11()1().XYFzFz