应力与应变间的关系课件.ppt

1、9-6 应力与应变间的关系应力与应变间的关系（1）符号规定）符号规定xyzo上面上面右侧面右侧面前面前面图图 9-14xxyxzyyxyzzzxzy x y z x y y z z x x y z x y y z z x 一、各向同性材料的广义一、各向同性材料的广义 胡克定律胡克定律：拉应力为正拉应力为正 压应力为负。压应力为负。xyzo上面上面右侧面右侧面前面前面图图 9-14xxyxzyyxyzzzxzy 若正面若正面(外法线与坐标轴正向外法线与坐标轴正向一致的平面一致的平面)上剪应力矢的指上剪应力矢的指向与坐标轴正向一致向与坐标轴正向一致,或负面或负面(外法线与坐标轴负向一致的外法线与坐

2、标轴负向一致的平面平面)上剪应力矢的指向与坐上剪应力矢的指向与坐标轴负向一致，则该剪应力标轴负向一致，则该剪应力为正为正,反之为负。反之为负。:以伸长为正以伸长为正,缩短为负。缩短为负。:使直角减小者为正使直角减小者为正,增大者为负。增大者为负。xyzo上面上面右侧面右侧面前面前面图图 9-14xxyxzyyxyzzzxzyxyyzzx分别对应着直角分别对应着直角 xoy，yoz，zox 的变化。的变化。在在 x y z 分别单独存在时分别单独存在时,x 方向的方向的线应变线应变 x 依次为依次为Exx（2）各向同性材料的广义胡克定律）各向同性材料的广义胡克定律Eyx Ezx xyZxxxyZ

3、yyxyZzz在在 x y z同时存在时同时存在时,x方向的线应变方向的线应变 x为为 )(1zyxxE )(1)(1yxzzxzyyEE 在在 x y z同时存在时同时存在时,y,z方向的线应变为方向的线应变为剪应变剪应变 xy,yz ,zx与剪应力与剪应力 xy,yz ,zx之间的关系为之间的关系为 在线弹性范围内在线弹性范围内,小变形条件下小变形条件下,各向同性材料。各向同性材料。GGGzxzxyzyzxyxy （4）特例特例:平面应力状态下平面应力状态下线应变与剪应变线应变与剪应变(假设假设 Z Z=0)=0)(1yxxE )(1xyyE )(yxzE Gxyxy（5）广义胡克定律用广

4、义胡克定律用主应力主应力和和主应变主应变表示为表示为)(13211 E)(11322 E)(12133 E（6）平面应力状态下）平面应力状态下,设设 3=0,则则)1(2vEG )(1211 E)(1122 E)(213 E假设单元体的各边的边假设单元体的各边的边长均为长均为a0 yx代入代入)(1yxxE )(1xyyE 有有Gxyxy 0 yx以平面剪切状态为例验证以平面剪切状态为例验证：)1(2vEG yxyxyyxyxx有有Gxyxy 0 yxyxyxyyxyxxx4502sin22cos22xyyxyx 2xyx 在纯剪切应力状态下，沿在纯剪切应力状态下，沿与与x轴成轴成450和和-

5、450角两角两方向上分别有主应力方向上分别有主应力 1和和 3。130231 xyyxyxyyxyxxx450130231 xyxyxyE 122xyx xyEEx 1)(1311剪应力与剪应变的关系为剪应力与剪应变的关系为Gxyxy 所以有所以有)1(2 EG例题例题9-6 已知一受力构件自由表面上的两各主应变数值为已知一受力构件自由表面上的两各主应变数值为10160,102406361 。构件材料为。构件材料为Q235钢，其弹钢，其弹性模量性模量E=210GPa，泊松比，泊松比=0.3。求该点处的主应力值，。求该点处的主应力值，并求该点处另一并求该点处另一主应变主应变 2的的数值和方向。数

6、值和方向。解；解；32321,1 1与与一一对应。一一对应。由于构件自由表面，所以主应力由于构件自由表面，所以主应力 2=0。该点为平面应力状态。该点为平面应力状态。)(1311 E)(1133 EMPaE3.44)(13121 MPaE3.20)(11323 MPaE3.44)(13121 MPaE3.20)(11323 该点处另一该点处另一主应变主应变 2的的数值为数值为103.34)(6312 E 2是缩短的主应变，其方向必与是缩短的主应变，其方向必与 1和和 3垂直，即沿构件的垂直，即沿构件的外法线方向。外法线方向。三、三、各向同性材料的体积应变各向同性材料的体积应变（2）各向同性材料

7、在空间各向同性材料在空间 应力状态下应力状态下(图图9-17)的的 体积应变体积应变（1）概念）概念:构件每单位体积构件每单位体积 的体积变化的体积变化,称为体积称为体积 应变用应变用 表示。表示。1 2 3a1a2a3)1()1()1(332211 aaaV公式推导公式推导设单元体的三对平面为主平面设单元体的三对平面为主平面,其三个边长为其三个边长为a1,a2,a3变形后的变形后的边长分别为边长分别为 a1(1+,a2(1+2 ,a3(1+3 ,因此变形后单元体因此变形后单元体的体积为的体积为 1 2 3a1a2a3321321321321321321321332211 )1()1()1()

8、1(aaaaaaaaaaaaaaaaaaVVV)(21321 E表达式表达式：xy 3102*可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应力不引起各向同性材料的体积改变。力不引起各向同性材料的体积改变。)(13211 E)(11322 E)(12133 E)(21zyxE *在任意形式的应力状态下在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意积应变与通过该点的任意三个相互垂直三个相互垂直的平面上的正的平面上的正应力之和成正比应力之和成正比,而与剪应力无关。而与剪应力无关。在最一般的空间应力状态下，材

9、料的体积应变只在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变与三个线应变x，y，z有关。仿照上述推导有有关。仿照上述推导有例题例题9-7 边长边长 a=0.1m 的铜立方块的铜立方块,无间隙地放入体积较无间隙地放入体积较大大,变形可略去不计的钢凹槽中变形可略去不计的钢凹槽中,如图如图 a 所示。所示。已知铜的弹性模量已知铜的弹性模量 E=100GPa,泊松比泊松比 =0.34,当受到当受到P=300kN 的均布压力作用时的均布压力作用时,求该铜块的主应力求该铜块的主应力.体积体积应变以及最大剪应力。应变以及最大剪应力。(a)aaaPMPa301.01030023 APy 解：铜块横截面

10、上的压应力为解：铜块横截面上的压应力为(a)aaaP铜块受力如图铜块受力如图 b 所示所示Zyx z x y（b)01 )(zyxxE01 )(zyzzE解得解得15.5MPa )30(0.34-10.34)0.34(1 1)1(22yzx铜块的主应力为铜块的主应力为MPaMPa ,.30515321体积应变和最大剪应力分别为体积应变和最大剪应力分别为10432195.1)(21EMPa2572131.)(max 例题例题9-8 壁厚壁厚 t=10mm,外径外径 D=60mm 的薄壁圆筒的薄壁圆筒,在表面上在表面上 k 点点处与其轴线成处与其轴线成 45 和和135 角即角即 x,y 两方向分

11、别贴上应变片两方向分别贴上应变片,然后在然后在圆筒两端作用矩为圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶的扭转力偶,如图如图 a 所示已知圆筒材料的所示已知圆筒材料的弹性常数为弹性常数为 E=200GPa 和和 =0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内若该圆筒的变形在弹性范围内,且且 max=10MPa,试求试求k点处的线应变点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。以及变形后的筒壁厚度。Dtymk450900 x450900Dtxymkmaxmaxxyk0MPa80MPa80max3max1 zxy 可求得可求得解解:从圆筒表面从圆筒表面 k 点处取出单元体点处取出单元体,其各面上的应力分量如图其各面

12、上的应力分量如图 b所示所示 1 3k点处的线应变点处的线应变 x ,y 为为)(102.5E)(1 )(1)(14maxmaxmax压应变 EEyxx)(102.54拉应变 xy圆筒表面上圆筒表面上k点处沿径向点处沿径向(z轴轴)的应变为的应变为0)()(maxmax EEyxz同理可得圆筒中任一点同理可得圆筒中任一点(该点到圆筒横截面中心的距离为该点到圆筒横截面中心的距离为)处的径处的径向应变为向应变为因此因此,该圆筒变形后的厚度并无变化该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为仍然为 t=10mm.0)(EzalP1P2P2bhzb=50mmh=100mm 补充题补充题 1 已知矩形外伸梁受力已

13、知矩形外伸梁受力P1，P2作用。弹性模量作用。弹性模量 E=200GPa，泊松比，泊松比 =0.3,P1=100KN，P2=100KN。求：（求：（1）A点处的主应变点处的主应变 1，2，3（2）A点处的线应变点处的线应变 x，y，zAxyzalP1P2P2bhzb=50mmh=100mmAxyz解：梁为拉伸与弯曲的组合变形。解：梁为拉伸与弯曲的组合变形。A点有拉伸引起的正应力点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的剪应力和弯曲引起的剪应力KNAPA202 （拉伸）（拉伸）MPaAQA3023 （负）（负）alP1P2P2bhzb=50mmh=100mmAxyzKNA20（拉伸）（拉伸）MPaA30（

14、负）（负）A20 x30 xA20 x30 x求：（求：（1）A点处的主应变点处的主应变 1，2，3)(2111 E)(1221 E)(213 E设设 3=0maxmin 2222xxx)(41.4-21.44411.02 4213.?)(3111E?)(312E?)(1331E求：（求：（2）A点处的线应变点处的线应变 x，y，z)(yxxE 1)(xyyE 1)(yxzE 设设 z=0A20 x30 xxyz20 x0 zyExx xyE xzE 0.50.50.254hP补充题补充题 2 简支梁由简支梁由18号工字钢制成。其上作用有力号工字钢制成。其上作用有力P=15KN，已知，已知 E

15、=200GPa,v=0.3。求：求：A 点沿点沿 00，450，900 方向的线应变方向的线应变00450900A004509000.50.50.254hPA00450900)(yxxE 1)(xyyE 1)(yxzE 设设 z=0解：解：2502.PMA2PQA zA4hMPayIMAzAA850.868.*dISQzzAAA(-)yA,Iz,d 查表得出查表得出SzA*为图示面积对中性轴的静矩为图示面积对中性轴的静矩0.50.50.254hPA00450900)(yxxE 1)(xyyE 1)(yxzE 设设 z=0A850.A868.A8500.A0900 yE0000 09000E MPaxxx29490902200450.sincos MPaxxx34327027022001350.sincos 13500.50.50.254hPA00450900)(yxxE 1)(xyyE 1)(yxzE 设设 z=0A850.A868.AMPaxxx29490902200450.sincos MPaxxx34327027022001350.sincos 135010536161354545000 )(E