大学精品课件：06第六章振动和波.ppt

1、第六章 振动与波,振动是一种十分普遍的运动形式。其主要特征是物理量随时间作周期性变化。 波是振动在空间的传播，同时也是能量的传播。 尽管产生各类振动、波动具体机制不同，但可以分析研究它们的共同特征、波动方程和普遍性质。 本章主要研究机械振动和机械波，但其中的很多规律都适用于其他波。,第一节 简谐振动,振动: 一个物理量随时间 t 作周期性变化,“周期性”是这种运动形式的典型特征,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。,简谐振动:,物理量按余弦函数的规律随时间变化,一个复杂的周期性运动可以分解成若干个简谐振动的合成,一、简谐振动(Harmonic vibration)的运动方程,弹簧振子

2、(spring oscillator)的例子,一根轻弹簧连接一个质点，置于光滑水平面上。k 为劲度系数(coefficient of stiffness),小幅振动满足胡克定律：,物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡位置，称为线性回复力。,由牛顿第二定律：,令,微分方程的解,即： 或：,这样的运动规律符合简谐函数形式，叫做简谐振动(simple harimonic vibration ) 。,简谐振动的运动方程,A 振幅(amplitude),离开平衡位置的最大位移,三个重要的特征量, 角频率 （或称圆频率）(angular frequency),在 2 秒时间内完成全振动的次数,

3、 初相 (initial phase),反映初始时刻振动系统的运动状态,频率 ： 1 秒内完成全振动的次数，单位：Hz。 周期 T ： 完成一次全振动所经历的时间, 单位 s。,频率与周期(frequency & period),振动曲线,振动的相位(phase),称为振动的 相位，t = 0 时刻的相位为初相,用“相位”描述物体的运动状态。 用“相位”来比较两个同频率简谐振动的“步调”,相位差。,1） 存在一一对应的关系;,2）相位在 内变化，质点无相同的运动状态；,相差 为整数 质点运动状态全同.（周期性）,速度和加速度,以上两式表明，速度和加速度随时间的变化也满足简谐运动的规律， 但与位

4、移有相位差：速度超前位移/2，加速度与位移反相,物体作简谐振动的动力学方程,简谐振动的运动方程与初始条件,A ， 决定于系统的初始条件( t=0 ),在02内为多值函数，注意取舍！,解析法：,取,旋转矢量图法,旋转矢量的模为A， t =0 时，旋转矢量与 x 轴的夹角为，旋转矢量的角速度为 。,矢量端点在 x 轴上的投影点作简谐振动！,旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态,简谐振动的运动方程与初始条件,利用旋转矢量很容易求出简谐振动的位相和初位相,例4. 已知位相求状态,且向 负向运动。,，且向 正向运动。,例5. 已知状态求位相（特别是初位相）,或,如：,o,o,注意四个特殊状态的

5、值！,例6. 已知简谐振动 ， 当 时位 移为 且向 负向运动。 求（1）振动方 程。 （2） 且向 正向运动时的速度、加速 度及从这一位置回到平衡位置的最小时间。,解（1）,由旋转矢量 得,（2）先求 由旋转矢量法,（半个周期）,o,由旋转矢量法,（用解析法也可求出！）,例题 质点沿 x 轴作简谐振动，振幅为 12 cm，周期为 2 s 。当 t = 0时, 位移为 6 cm ，且向 x 轴正方向运动。求：1. 振动表达式。2. t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度。3. 质点从 x = - 6 cm 向 x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。,解,1. 设位移表达式为

6、,已知 A = 0.12 m , T = 2 s,初始条件,t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 0,m,振动表达式为,由初始条件用解析法求初相 ,由 v0 0 决定取舍,m,由初始条件用旋转矢量法求初相 ,当 t = 0 时, 位移为 6 cm ，且向 x 轴正方向运动,A,A/2,2. t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度,3. 质点从 x = - 6 cm 向 x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。,x = - 6 cm,向 x 轴负方向运动,第一次回到平衡位置,所需要的时间,例题 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在 x1 =

7、A/2 处，向 x 轴负方向运动时，另一个质点 2 在 x2 = 0 处，向x 轴正方向运动。求这两质点振动的相位差。,解,质点 1 的振动超前质点 2 的振动,x,解：,或,或,（1）位相差反映了两振动达到同一状态有时间差,讨论：,x,运动学特征, 简谐振动的动力学,1. 特征,p,N,F,由,微分方程特征,x可代表任意物理量,m,以弹簧振子为例得出普遍结论：,判别简谐振动的依据：,1、运动表达式为 ，其中 A 、 和 是常数。,2、作用力的形式为 ，k 为常系数。,例子：单摆(simple pendulum),在小幅振动时：,角振幅,（2）,初角位移,振动方程,例子：复摆(complex

8、pendulum),令, （或T ） 决定于振动系统的动力学性质，叫做系统的固有角频率（或固有周期 ）,前述的弹簧振子例子：,再回顾三个重要的特征量 ， A ， ,A ， 决定于系统的初始条件( t=0 ),在02内为多值函数，注意取舍！,二、简谐振动的能量,振子动能,振子势能,振子的总能量为常量！,t,x,1、简谐振动系统的机械能守恒。 2、简谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比。,势能和动能的平均值,简谐振动系统的势能和动能的平均值，皆等于总能量的一半。,第二节 简谐振动的合成,一、同方向简谐振动的合成,P 点的运动就是两个同方向振动的合成,1、两个同方向、同频率简谐振动的合成,若两个 x

9、 方向的简谐振动的角频率都是 ,同方向、同频率简谐振动的合成仍是简谐振动：,合振动的振幅与初相,相互加强与相互减弱,1、若两振动 同相,2、若两振动 反相,合振幅最大,合振幅最小,例题 两个同方向的简谐振动曲线（ 如图所示） 1、求合振动的振幅。2、求合振动的振动表达式。,两个简谐振动同方向，同频率 =2/T ，反相,合振动振幅：,合振动初相：,x,解,合振动的振动表达式：,2、两个同方向、不同频率简谐振动的合成,因为振动频率不同，参与合成的两个振动的相位差不再恒定，因此，合成的旋转矢量的长度和转动角速度也将不断改变，合成后的运动不再是简谐振动，如图所示。,教材P.79还给出了上述两个简谐振动

10、在另外两种不同初相位差情况下的合成运动曲线与初相位差还有关系！,现考虑两个频率非常接近、振幅相等、初相位相同的振动合成问题：,因为频率差很小，所以上述表达式可看成振幅随时间缓慢变化的近似谐振动拍现象。,拍(beat)、拍频(beat frequency),拍振动曲线,拍：振动的振幅作周期性变化的现象,拍频：振动的振幅变化的频率。,二、 相互垂直简谐振动的合成,两个频率相同的简谐振动在相互垂直的两个方向上：,求两者的合振动：消去t 得到,上式为椭圆方程，注意上式与两者的相位差有关。,同频率不同相位差的合运动轨迹,两个相互垂直的简谐振动的频率成简单整数比，此时的合振动具有稳定封闭的轨迹图形：李萨如

11、图形,李萨如图形(Lissajous Figure),第三节 振动的分解、频谱,一、非简谐周期振动的傅里叶分解、不连续谱,非简谐振动任意的周期振动,，以=2/T为其振动角频率，例如方波 u(t) , 称为基频。,周期振动的傅里叶分解,上述傅里叶级数中的系数b0、b1、c1等是常量，代表了相应的简谐振动在合振动 x(t) 中所占的比重。,例如，前述方波，就可以分解为以下的傅里叶级数：,即该方波分解成了基频、倍频3、 5等无穷多个简谐振动的合成。,方波的频谱不连续谱,方波 基频和三倍频3 参与合成时的波形,二、一段有限波列的分解、连续谱,x(t) 可以是一段有限长度的波列，也可以是非周期性的运动，

12、都可以对它们进行傅里叶分析。此时的傅里叶分解的频率可以从零到无限大的任意连续值。,G() 叫做 x(t) 的傅里叶变换。 x(t)叫做G()的傅里叶逆变换。,频谱的概念,第四节 简单的非理想振动,阻尼振动（damped vibration）,阻尼振动曲线,系统受周期性外力的作用,受迫振动(Force Vibration),共振：当策动力的频率等于振动系统的本征频率时，振幅 A 取极大值，产生共振。,共振(Resonance),一、机械波(mechanical wave )的产生和传播,两个条件：波源(wave source)（振动）、 弹性介质(elastic medium),第五节 简谐波,

13、机械波的传播需有传播振动的介质; 电磁波的传播不需介质。,机械波和电磁波的不同之处,两类波的共同特征,都是振动状态的传播 都是能量传播 都能发生反射、折射、干涉、衍射,质点的振动方向和波动的传播方向垂直，交替出现波峰和波谷。,横波(Transverse Wave),质点的振动方向和波动的传播方向平行，疏密相间。,简谐波(Harmonic Wave),介质中各质点都作简谐振动,纵波(Longitudinal wave),横波，纵波,机械波的传播特征,1、波动是振动状态的传播。介质中各质点在 平衡位置附近振动，并未“随波逐流”。,2、波动是相位的传播。在波的传播方向上， 各质点的振动相位依次落后。

14、,3、波动是能量的传播。,描述波动的重要物理量：周期、波长、波速,波长 ：在同一波线上两个相邻的、相位差为 2的 振动质点之间的距离。波长反映了波动在空 间上的周期性,波的周期 T：波前进一个波长的距离所需的时间。,波的频率 ：周期的倒数,周期和频率反映了波动在时间上的周期性。,波速 u ：振动的传播速度。在一个时间周期T内波向外 传播了一个空间周期，因此波速为：,波速和波长由介质的性质决定， 波的频率与介质的性质无关，由波源决定。,机械波的两个条件:波源与传输介质,波线： 表示波的传播方向的直线,波阵面：振动相位相同的点组成的面,波前 ： 某一时刻最前面的波阵面,波线、波阵面、波前,介质中波

15、前上各点都可以当作独立的波源，发出球面子波（wavelet），在其后的任一时刻，这些子波的包络就形成新的波前。,惠更斯（Huygens）原理,球面波的传播,平面波的传播,二、平面简谐波波方程,平面简谐波：波阵面为平面的简谐波。,设平面简谐波以速度 u 沿 Ox 方向传播。 已知 t=t0 时的波动情况，要给出波线上任意坐标x 处的质点P的位移 y 随时间 t 的变化规律 波方程 y ( x , t )函数形式。,设 O 点的振动表达式为：,振动从 O 点传波到 P 点需时间 ， 所以：t 时刻在 x 处的P点的振动情况与O点处的tt时刻的情况相同，因此P点的运动表达式应该为：,t+t 时刻,沿

16、 x 轴正方向传播的平面简谐波的波方程,也可改用周期T、频率和波长表示：,沿 x 轴负方向传播的平面简谐波的波方程,若已知 x0 点的振动表达式,同样可得在 x 轴正方向传播的平面简谐波的波动方程：,波方程的物理意义,1、体现波动在时间上和空间上都具有周期性,2、分别用 x = x1 、 x = x2 （定值）代入， 得 x1、 x2 点的振动表达式,在波的传播方向上，两定点 x1 和 x2的振动相位依次落后，相位差为:,在波线上，对应一个波长的间距，相位差为 2 .,3、用 t = t1（定值）代入，得 t1 时刻的波形图：,t1,t1+t,波动力学方程的微分形式,平面波的波动力学方程,1、

17、由平面简谐波的波函数对 x 和 t 求偏导数可得这一方程， 但方程的解并不仅限于平面简谐波的波函数。前述的简谐 波的表达式只是它的一个解。,2、任何物理量 y ，不管是力学量、电学量或其他量，只要它 与时间和坐标的关系满足这一方程，则这一物理量就按波 的形式传播。方程中的 u 就是这种波的传播速度。,例. 波形如图,先写 点振动方程,波动方程,制,（1）写出波动方程。,关键确定,由图可知,解：（1）,（2）求 两处质点振动位相差。,解：,位相差,反位相,（3）画 时波形曲线， 此刻 处质点振 动位移、速度、加速度？,位移,振动速度,振动加速度,（4）若图为 波形， 波动方程如何？,方法1：,将

18、波形倒退 得出 波形，再写方程！,波形,方法2：,解：关键是求o点的初位相,例题 已知 t = 0 时的波形曲线为，波沿 x 正向传播，在 t = 0.5 s 时波形变为曲线。已知波的周期 T 1 s ，试根据图示条件求波动方程和 P 点的振动表达式。 （已知 A = 0.01 m）,解,设坐标原点振动表达式：,根据初始条件，,u,因此O点振动表达式：,所以，可得波动方程：,P点振动表达式：,三、波的能量,机械波传播到弹性介质中某处，该点介质由不动到振动，因而具有动能，同时该点介质将产生形变，因而具有弹性势能。介质由近及远地振动，相应地，能量向外传播。,设有一平面简谐波 ，以波速u在密度为的均

19、匀介质中传播。在介质中取体积为V、质量为m=V的介质元，波传播到此体元时，体元具有动能Ek和势能Ep。,1、波的能量,介质元的总机械能：,介质元的总机械能随时间作周期性变化，表明对任意介质元，都在不断的接受和放出能量 波动传递能量，波是能量传播的一种形式。,可以证明：,平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值。,机械波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方及介质的密度都成正比。,2、能量密度(volume density of energy),能量密度： 单位体积内波的总能量。,能流密度 (energy flux density),在单位时间内通过垂直于波线的单位面积上的波的平均能量，即为能

20、流密度 I，也叫波的强度：,单位时间内通过介质中某面积的能量称为通过该面积的能流。在图中垂直于波速u方向取面积S，单位时间内通过S面的能量，等于体积uS中的能量。则一个周期内通过S的平均能流为 。,它是表征波动中能量传播的一个重要物理量。,例题 试利用能流密度的概念求出球面波的表达式。,解,设在t1时刻球面波到达r1处，即球面波的波前是半 径为r1的球面（面积 ），在t2时刻波前半径是r2 （面积 ） 。设介质本身不吸收能量，则单位时间 内通过S1面的能量，必然通过S2。因此有如下等式：,式中的A1和A2分别表示两球面波的振幅。由上式可得：,即球面波的振幅与离开波源的距离成反比。波动方程可为：

21、,一、波的叠加原理(superposition principle),几列波可以保持各自的特点（ 频率、波长、振幅、振动方向等）同时通过同一介质，即波的传播具有独立性。在叠加区域内，任一质点振动的位移是各列波单独存在时在该点产生的位移的合成。叠加过后原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样。,第六节 波的叠加原理 波的干涉,二、波的干涉(interference),干涉现象:几列波在相遇的叠加区域内，某些点的振动始终加强，而另有一些点的振动始终减弱。,相干条件： 1.波的振动频率相同， 2.振动方向相同， 3.振动相位相同或有恒定的相位差。,能产生干涉现象的两列波叫做相干波（coheren

22、t wave）,设有两相干波源S1、S2，振动方程为：,两波在P点相遇，在P点的振动分别为：,两振动在P点的合成后的方程为：,其中：,注意到A的大小与 有关！,对于初相相同的相干波源 ，上述条件可简化为：,其中为波程差,从波程差=r1-r2角度考虑波的干涉：,当两个初相相同的相干波源发出的波叠加时： 波程差等于波长整数倍的各点，合振动振幅最大，干涉加强；波程差等于半波长奇数倍的各点，合振动振幅最小，干涉减弱。,波的干涉是波的重要特征，在光学、声学、现代信息工程、近代物理等许多学科中有着重要的应用。,三、驻波(standing wave),频率相同、振动方向相同、振幅相同而传播方向相反的两列波相

23、叠加，形成驻波。驻波是一种特殊的干涉现象。,设两列波的方程为,沿正方向传播：,沿负方向传播：,两列波重叠处的合振动为：,1. 此表达式不表示行波，它表示了各个不同位置处（坐标 x）的点在不同时刻的振动情况。,2. 注意到不同位置处各质点做不等幅但同频率的简谐振动，并且在某些点处的振幅为零，形成波节，在某些点处的振幅最大，形成波腹。,3. 驻波没有能量的定向传播.,合振动驻波的表达式,驻波的波形特征,1. 两个波节（或波幅）的间距为 。,同一段上的各点的振动同相，而隔开一个波节的各点的振动反相。,半波损失（half wave loss）,在介质的分界面处出现波节，必须入射波和反射波在分界面处的相

24、位相反。,考虑绳子两端固定的驻波：当波从一种介质垂直入射到第二种介质时，如果第二中介质的密度与波速的乘积大于第一中介质的密度与波速的乘积（前者称波密介质，后者称波疏介质），即 ，则分界面处将出现波节，这时入射波与反射波在分界面有的相位突变，从波长的角度考虑有/2的波长差，此现象称半波损失。,第七节 声波和超声波,声波(sound wave)： 频率范围 2020000 Hz内的声振动。 超声波(ultrasonic)： 频率高于此范围。 次声波(infrasound)： 频率低于此范围。,声波是机械振动在弹性介质中传播的纵波。,一、声强和声强级,声强级公式：单位用分贝(decibel, dB)

25、表示：,声强：声波的能流密度。它是单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量。即： 。,人耳是很灵敏的感觉器官，所能感受的声音的强度范围非常大， 数量级相差1012倍。如：1000Hz声音，10-12Wm-2 I 1 Wm-2， 它也无法将这样大范围的声音由弱到强分辨出1012个等级来。 在声学中普遍使用对数标度来量度声强，叫声强级（I. L.）。,I 0=10-12Wm-2，是闻阈的声强，因此闻阈的声强为0dB，而痛阈的声强为120dB.,注意：声强级不能用代数相加。,引起人听觉的声强范围：,当鸣笛的火车开向站台，站台上的观察者听到的笛声变尖，即频率升高；相反，当火车离开站台，听到

26、的笛声频率降低。 波源与观察者之间有相对运动时，观察者接受到的波的频率R与波源的振动频率s不同，这种现象称为多普勒效应。机械波的多普勒效应称为经典多普勒效应。,J.C.Doppler,二、 多普勒效应(Doppler effect),观察者向波源运动时，1 s 内接收到更多的波峰， 即观测到的波的频率增高。,波源向观察者运动时， 观察者更快接收到下一个波峰， 即观测到的频率增高。,利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速、潜艇的速度，还可以用来报警和监测车速。在医学上，利用超声波的多普勒效应对心脏跳动情况进行诊断，做成超声心动、多普勒血流仪等。,机械波的多普勒效应计算公式：,“相互接近”即相向运

27、动时 , vo 、vs 取正号，观察所得频率高于实际频率。,“相互远离”即相背运动时，vo 、vs 取负号，观察所得频率低于实际频率。,天文学上的“红移”就是电磁波的多普勒效应。 分子、原子的发光光谱的多普勒展宽，会使得光谱的单色性变差。,光的多普勒效应,对光波也存在多普勒效应。但是光的传播不依赖弹性介质，而重要的是相对运动速度vr，并应用相对论处理。,当光源和观察者之间的相对运动速度vr，彼此远离时，观察所得频率小于光源频率：,当光源和观察者之间的相对运动速度vr，彼此接近时，观察所得频率大于光源频率：,三、超 声 波,超声波的频率在 2104 Hz 1012 Hz 范围内，不能引起人耳声音

28、有声音的感觉。将压电晶体置于高频电场中，利用其压电伸缩的性质，即可在媒质中产生超声波。超声波具有以下一些特点：,方向性强：超声波频率高、波长短，医用超声波频率可达数百万赫兹，衍射现象不明显，近似直线定向传播。利用这一特性，可进行探测与定位。,强度大：超声波频率高， ，超声波强度大。,穿透本领强：对固体、液体容易穿透，对气体不易穿透。,强反射作用：频率高、波长短，在遇到杂质或不同媒质的界面时会产生显著的反射效果。超声波在遇到人体中的病变组织、钢材中的气泡都能引起明显反射，超声诊断和超声探伤中正是利用这一性质，并由回波所形成的超声影像来探测和定位。,四、次 声 波,次声波的频率低于20 Hz ，和声波相比，大气对次声波的吸收式很小的。 次声波的传播速度和声波相同，随着各种次声波探测器的发展，次声成为研究地球、海洋、大气等大规模运动的有力工具，同时也可应用于军事活动。 1883年苏门答腊和爪哇之间的一次火山爆发产生的次声波，绕地球三周，历时108小时。,