《计算物理(本科)》[第11章]课件.ppt
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- 计算物理本科 第11章 计算 物理 本科 11 课件
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1、合肥工业大学电子科学与应用物理学院第十一章第十一章 蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法11.1 蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗蒙特卡罗(Monte Carlo)方法方法:利用随机数统计地:利用随机数统计地去计算和模拟给定的问题。去计算和模拟给定的问题。q说明:说明:1、也称也称统计模拟法、随机抽样法或统计试验法统计模拟法、随机抽样法或统计试验法。2、Monte Carlo方法的命名方法的命名:世界上著名的赌城摩世界上著名的赌城摩洛哥的洛哥的Monte Carlo。3、方法:方法:先构造一个与物理问题等价的随机过程,先构造一个与物理问题等价的随机过程,当完成大量的随机试验后,结果由多次事件的平
2、当完成大量的随机试验后,结果由多次事件的平均值给出。均值给出。合肥工业大学电子科学与应用物理学院5、求解确定性物理问题求解确定性物理问题:如微分方程、定积分、线:如微分方程、定积分、线性方程等。同其它数值计算方法相比是速度慢。性方程等。同其它数值计算方法相比是速度慢。6、求解复杂物理问题:求解复杂物理问题:如果物理学问题的严格算法如果物理学问题的严格算法不知道,或非常复杂,则蒙特卡罗方法有意想不不知道,或非常复杂,则蒙特卡罗方法有意想不到的成功。特别在分子运动学、输运现象、布朗到的成功。特别在分子运动学、输运现象、布朗运动、放射性衰变等问题中,由于本身有一定的运动、放射性衰变等问题中,由于本身
3、有一定的统计规律性,这种方法很奏效。统计规律性,这种方法很奏效。7、计算机模拟:计算机模拟:蒙特卡罗方法广泛应用于蒙特卡罗方法广泛应用于“计算机计算机模拟模拟”,在计算机上模拟真实过程。,在计算机上模拟真实过程。4、随机数的抽样:随机数的抽样:现都用计算机程序来产生,一般现都用计算机程序来产生,一般不用物理方法抽样。计算机产生的是伪随机数。不用物理方法抽样。计算机产生的是伪随机数。合肥工业大学电子科学与应用物理学院11.2 蒙特卡罗方法的原理蒙特卡罗方法的原理用蒙特卡罗方法寻找某个未知量用蒙特卡罗方法寻找某个未知量x时,利用计算机时,利用计算机产生的随机变量产生的随机变量,得到的期望值,得到的
4、期望值E()x=E()为了估算为了估算的平均值,构造随机变量的平均值,构造随机变量的若干独立的若干独立的实验数序列的实验数序列i|i=1,2,3,n,得,得 niinx11合肥工业大学电子科学与应用物理学院 11.3 伪(赝)随机变量的抽样伪(赝)随机变量的抽样实际上,大多数伪随机变量不满足实际上,大多数伪随机变量不满足0,1均匀分布,均匀分布,而是具有符合分布密度函数为而是具有符合分布密度函数为f(x)的分布。的分布。抽取符合抽取符合f(x)随机数的步骤如下:随机数的步骤如下:(2)从上面随机数总体中抽取一个简单子样,使它)从上面随机数总体中抽取一个简单子样,使它满足分布密度函数满足分布密度
5、函数f(x):1,2,3(1)在)在0,1之间抽取均匀分布的伪随机数序列之间抽取均匀分布的伪随机数序列 :1,2,3 合肥工业大学电子科学与应用物理学院一、离散型分布随机变量的直接抽样法一、离散型分布随机变量的直接抽样法nnPxPxPxPx,.,.,332211随机变量随机变量的概率表的概率表 其中其中xi为离散型随机变量为离散型随机变量的跳跃点的跳跃点,Pi为相应概率。为相应概率。q变换方法变换方法:第一步第一步 构造一个矢量构造一个矢量 ).,.,(321321211nPPPPPPPPPPP合肥工业大学电子科学与应用物理学院.,.3211321jjPPPPPPPP第二步第二步 产生一个产生
6、一个0,1间随机数间随机数,找到区间,找到区间使使恰好落在这个区间内。恰好落在这个区间内。j1i1-j1i iijPPPx当第三步第三步 P取对应的值取对应的值xj,其表达式为,其表达式为 合肥工业大学电子科学与应用物理学院例例1.光子与物质相互作用的抽样问题。光子与物质相互作用的抽样问题。物理过程物理过程:光子与物质作用有康普顿效应、光电光子与物质作用有康普顿效应、光电效应和电子对效应三种类型效应和电子对效应三种类型。其中光电效应和电。其中光电效应和电子对效应为光子吸收过程。子对效应为光子吸收过程。设三种过程的碰撞截面分别设三种过程的碰撞截面分别s、e和和p,则总截面,则总截面T=s+e+p
7、。根据给定的根据给定的0,1之间均匀分布的随机数之间均匀分布的随机数,求应,求应产生那种效应?产生那种效应?合肥工业大学电子科学与应用物理学院 (3)产生)产生0,1间均匀随机数间均匀随机数:若若 s/T,则发生康普顿散射;,则发生康普顿散射;若若s/T(s+e)/T,则发生光电过程;则发生光电过程;若若(s+e)/T,则发生电子对产生过程。,则发生电子对产生过程。(2)构造一个矢量构造一个矢量),(),(321211TpesTesTsPPPPPPP解:(解:(1)随机变量的概率表随机变量的概率表TpTeTspes合肥工业大学电子科学与应用物理学院二、连续型分布随机变量的直接抽样法二、连续型分
8、布随机变量的直接抽样法一个一个对应一个对应一个。如果积分式能求出解析形式的。如果积分式能求出解析形式的反函数,则得到变换公式反函数,则得到变换公式 F F=F F-1-1()11.12)11.12f(x)xa1-b对连续型随机变量对连续型随机变量的值,可直接解连续分布方程的值,可直接解连续分布方程11.11 )()(FaFdxxf其中其中f(x)为在(为在(a,b)区间的归一化分布密度函数。)区间的归一化分布密度函数。合肥工业大学电子科学与应用物理学院例例1.均匀分布:均匀分布:在区间(在区间(a,b)内找出符合均匀分布的随机变量)内找出符合均匀分布的随机变量。其它 0bxa 1)(abxf解
9、法解法2:线性变换,令线性变换,令 aabaAabAbaAA)(;|101010得由aabFabadxabdxxfFaa)()(1)(1)(解法解法1:合肥工业大学电子科学与应用物理学院例例2指数分布:指数分布:指数分布的一般形式为指数分布的一般形式为 f(x)=e-x x 0其中其中0,求符合此分布的随机变量,求符合此分布的随机变量求反函数求反函数 =-1/ln(1-F()其中其中0F 1,由上式得,由上式得 =-1/ln(1-)1|)()()(:00eedxxfdxxfFx解因为因为1-0,1 和和0,1是等价,所以其式等价于是等价,所以其式等价于 =-1/ln合肥工业大学电子科学与应用物
10、理学院 11.4 Monte Carlo方法求圆周率方法求圆周率求求的物理模型如图所示,边长的物理模型如图所示,边长为为1的正方形内切一个圆。于是的正方形内切一个圆。于是正方形和圆的面积分别为正方形和圆的面积分别为 S正正=1,S圆圆=/45.0;22RyxRT正正:计算机掷出的:计算机掷出的随机数总数;随机数总数;T圆圆:随机点:随机点(x,y)落落在圆内的总数。即,在圆内的总数。即,当当 时的随机点总数。时的随机点总数。y0.50.5x若正方形内有若正方形内有T正正个随机点个随机点(x,y)x=1-0.5 ;y=2-0.5其中其中为为0,1之间的随机数。之间的随机数。圆内的随机点数为圆内的
11、随机点数为T圆圆,那么有,那么有 S正正/S圆圆=T正正/T圆圆 得得:=4T正正/T圆圆合肥工业大学电子科学与应用物理学院K=10,M=1000,P=0,i=1j=1j=j+1P=P+1PI=4P/(i*(j-1),printf(PI)i=i+122221,5.0,5.0yxRyx开始开始结束结束R R2 2=0.25=0.25i=Kj=M合肥工业大学电子科学与应用物理学院%用用Monte Carlo方法对圆周率进行计算的方法对圆周率进行计算的Matlab程序,文件名程序,文件名PI_val.m%K=100;M=5000;p=0;for i=1:K for j=1:M X=rand(1,2)
12、;R2=(X(1,1)-0.5)2+(X(1,2)-0.5)2;if R2 1表示裂变数增加,发生链式反应;表示裂变数增加,发生链式反应;f 1表示反应逐渐停止;表示反应逐渐停止;f=1表示处于临界状态,用临界质量表示处于临界状态,用临界质量Mc表示。表示。合肥工业大学电子科学与应用物理学院用计算机模拟具有一定大小及形状的体积内发生的用计算机模拟具有一定大小及形状的体积内发生的大量随机裂变,然后计算放出中子被吸收引起的裂大量随机裂变,然后计算放出中子被吸收引起的裂变数变数Nin,求出相应的,求出相应的f 值。值。为简单起见,考虑铀为简单起见,考虑铀的的几何几何形状为长方形形状为长方形a*a*b
13、,如图所示。,如图所示。蒙特卡罗法研究这种蒙特卡罗法研究这种形状的核材料临界问形状的核材料临界问题:题:ZYX(X0Y0Z0)(X1Y1Z1)Oaab合肥工业大学电子科学与应用物理学院(1)核裂变的随机位置核裂变的随机位置(X0,Y0,Z0)随机点的坐标范围为随机点的坐标范围为-0.5a X0 0.5a;-0.5a Y0 0.5a;-0.5b Z0 0.5b(2)裂变的两个中子出射方向裂变的两个中子出射方向(,)裂变产生的中子出射方向用裂变产生的中子出射方向用和和来描述。从(来描述。从(X0,Y0,Z0)点放出的中子与以此为圆心的单位球上某一)点放出的中子与以此为圆心的单位球上某一面积发生碰撞
14、,它的碰撞几率只与球面上被碰撞的面面积发生碰撞,它的碰撞几率只与球面上被碰撞的面积大小成正比。或者说积大小成正比。或者说碰撞按立体角均匀分布碰撞按立体角均匀分布。一次裂变需要一次裂变需要3个随机数来确定个随机数来确定裂变点的位置裂变点的位置。合肥工业大学电子科学与应用物理学院立体角:立体角:d=sindd=-ddcos按立体角内均匀分布是指按立体角内均匀分布是指:角在角在02之间均匀分布;之间均匀分布;在在之间,以之间,以cos的值的值在在-11之间均匀分布。之间均匀分布。dd(X0,Y0,Z0)ZXY注意:注意:cos均匀分布,不是均匀分布,不是角均匀分布。如果按照角均匀分布。如果按照为为均
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