65区间估计(阅读)课件.ppt

1、第五节第五节 区间估计区间估计四、大样本置信区间四、大样本置信区间五、两个正态总体下的置信区间五、两个正态总体下的置信区间一、置信区间的定义一、置信区间的定义二、置信区间的求法二、置信区间的求法三、单个正态总体参数的置信区间三、单个正态总体参数的置信区间一、一、区间估计的定义区间估计的定义满足满足 定义定义1:设设是是 一个待估参数，其参数空间为一个待估参数，其参数空间为。对给。对给定的定的 (0 1)若由样本若由样本 x1,x2,xn 确定的两个统计量确定的两个统计量1(,)LLnxx 1(,)UUnxx 1LUP则称区间则称区间 是是的置信水平的置信水平(置信度置信度)为为 的的(双侧双侧

2、)置信区间置信区间.,LU分别称为分别称为(双侧双侧)置信下限置信下限和和置信上限置信上限.LU和 注注1:对参数对参数作区间估计，就是要设法找出两个作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量)一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把估计在区间估计在区间 内内.LU和,LU 1 注注2:要求要求以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间,LU内，即概率内，即概率 要尽可能大要尽可能大.也就也就是要求估计尽量可靠是要求估计尽量可靠.()LUP 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高.即要求区间长度即要求区间长度 尽可能短尽可能短.LU可靠度与

3、精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度的条件下尽可能提高精度.注注3:置信水平置信水平 的频率解释的频率解释:在大数次的区间在大数次的区间估计的观测值中估计的观测值中,至少有至少有100()%次包含.(参见参见P316P316页，例页，例6.5.1)6.5.1)1 1 上述定义在实际中常用的都是等式上述定义在实际中常用的都是等式:定义定义2:沿用定义沿用定义1的记号的记号,若若对给定的对给定的 (0 1),对任意的对任意的,有有()1LUP 则称则称 是是的的1-的的同等置信区间同等置信区间.,LU有时在实际中常用的还有单侧置信区间有

4、时在实际中常用的还有单侧置信区间:()1LP 1(,)LLnxx 定义定义3:设设 是统计量是统计量,若若对给定的对给定的(0 1)对任意的对任意的,有有则称则称 是是的置信水平为的置信水平为1-的的(单侧)置信下限置信下限.若等号对一切若等号对一切 成立成立,则称则称 为为的的1-的的(单侧)同等置信下限同等置信下限.LL 定义定义4:设设 是统计量是统计量,若若对给定的对给定的(01),对对任意的任意的,有有1(,)UUnxx()1UP 则称则称 是是的置信水平为的置信水平为1-的的(单侧)置信上限置信上限.若等号对一若等号对一切切 成立成立,则称则称 为为的的1-的的(单侧)同等置信上限

5、同等置信上限.UU 在求同等置信区间时最常用的方法是枢轴量法在求同等置信区间时最常用的方法是枢轴量法.步骤如下步骤如下:二、置信区间的求法二、置信区间的求法 枢轴量法枢轴量法1、设法构造一个样本和设法构造一个样本和的函数的函数G=G(x1,.xn,),使得使得G的分布为的分布为已知（即不依赖于未知参数）已知（即不依赖于未知参数）.称称G为为枢轴量枢轴量.2、适当地选择两个常数适当地选择两个常数c、d,使对给定的使对给定的(0 1),有有()1,P cGd 3、将将 进行不等式变形化为进行不等式变形化为 ,则有则有cGdLU()1LUP 最后的最后的 就是就是的的1-的的同等置信区间同等置信区间

6、.,LU N(0,1)选选 的点估计为的点估计为 ,x求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间.例如例如:设设x1,xn是取自是取自 的样本，的样本，,2已知),(2 N 1xGn取枢轴量1、明确问题、明确问题,是求哪个参数的是求哪个参数的置信区间置信区间?置信水平是多少？置信水平是多少？2、寻找未知、寻找未知参数的一个良参数的一个良好估计好估计.解：解：3、寻找一个待估参数和、寻找一个待估参数和样本的函数，要求其样本的函数，要求其分布为已知分布为已知.三、单个正态总体的置信区间三、单个正态总体的置信区间4、对于给定的置信水平、对于给定的置信水平,根据根据G的分布，确定一个区间

7、的分布，确定一个区间,使得使得G取值于该区间的概率为置信水平取值于该区间的概率为置信水平.对给定的置信水平对给定的置信水平1-，查正态分布表得查正态分布表得12,u121xnuP 使使 5、变形可得、变形可得未知参数的置未知参数的置信区间信区间.-2-1120.10.20.30.421u21u12121P xuxunn 变形为变形为1212,xuxunn也可简记也可简记为为12xun 于是所求于是所求的置信度为的置信度为1-的的置信区间为置信区间为这个这个区间区间比前面一个要长一些比前面一个要长一些.1.75,2.33xnxn()pxx33.275.1得到均值得到均值的置信水平为的置信水平为1

8、-=0.95=0.95的的置信区间为置信区间为()p xx96.196.195.01.96,1.96xnxn比如，由比如，由P(-1.96G1.96)=0.95由由 P(-1.75G2.33)=0.95 给定样本，给定置信水平给定样本，给定置信水平，置信区间不是唯一的置信区间不是唯一的.对同一个参数，我们可以对同一个参数，我们可以构造许多置信区间构造许多置信区间.上上例中例中，取置信水平为取置信水平为1-=0.95 N(0,1)xGn由标准正态分布表由标准正态分布表,满足满足P(cG 50),则则 p 的置信度为的置信度为 1 的置信区间的置信区间12,nx xx21(1)xxxun 近似为若

9、若2 2 未知未知,则则 EX 的置信区间可取为的置信区间可取为21Sxun(4)12(,)mx xx为取自总体为取自总体 N(1 12)的样本的样本,12(,)ny yy为取自总体为取自总体 N(2 22)的样本的样本,置信度为置信度为 1 ,以下分别讨论以下分别讨论两均值差两均值差和和两方差比两方差比的置信区间的置信区间.22,;,xyx Sy S分别表示两样本的均值与方差分别表示两样本的均值与方差.五、两个正态总体的置信区间五、两个正态总体的置信区间例例4 某传媒公司欲调查电视台某综艺节目的收视率某传媒公司欲调查电视台某综艺节目的收视率p,为为使得使得p的置信度为的置信度为1-的置信区间

10、的长度不超过的置信区间的长度不超过d0,应调应调查多少用户查多少用户?(P323)例例3 自一大批产品中抽取自一大批产品中抽取100个样品个样品,其中有其中有60个一级品个一级品,求这批产品的一级品率求这批产品的一级品率 p 的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间.21的置信区间为的置信区间为(1)2221,已知时已知时,222121()x yumn12 的置信区间的置信区间(一一)2221,22212,(2)未知未知,但但21的置信区间为2111()(2)xys tm nmn(5)(3)未知未知,但但 已知已知,的置信区间为的置信区间为2221,222112211()(2)txys

11、 tm nmn(6)(7)222(1)(1)2xymSnSsmn记222(1)(1)/2xytmSnSsmn记当当m,n并不是很大时并不是很大时,可采用如下的近似方法可采用如下的近似方法:令令s02=sx2/m+sy2/n,取枢轴量取枢轴量此时此时T 既非既非N(0,1)也非也非t分布分布,但研究表明它与自由但研究表明它与自由度为度为l 的的t分布很接近分布很接近,其中其中(5)一般情况下的近似置信区间一般情况下的近似置信区间201()()xys tl(9)120()()/Tx ys404422(1)(1)yxslSSmmnn若若l 不是整数不是整数,可近似取整可近似取整,于于是近似为是近似为

12、T t(l)21的置信区间为因此2221,(4)未知未知,n,m 50,的置信区间为的置信区间为212221()yxSSxyumn(8)例例5 5 为比较两个小麦品种的产量为比较两个小麦品种的产量,选择选择18块条件块条件相似的试验田相似的试验田,采用相同的耕种方法采用相同的耕种方法,结果甲种的结果甲种的8块试验田的单位面积产量和乙种的块试验田的单位面积产量和乙种的10块试验田的块试验田的单位面积产量分别为单位面积产量分别为甲种甲种 628 583 510 554 612 523 530 615 假设两品种单位面积产量都服从正态分布假设两品种单位面积产量都服从正态分布,试求这两个试求这两个品种

13、平均单位面积产量差的置信区间品种平均单位面积产量差的置信区间.(取取=0.05)(P326)=0.05)(P326)乙种乙种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426(二二)方差比方差比2221的置信区间的置信区间(1,2 未知未知)为为222212211,(1,1)(1,1)xxyySSFmnF mnSS(10)例例6 6 某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱.现分别现分别 从两条流水线上抽取了容量分别为从两条流水线上抽取了容量分别为13与与17的两个相互独的两个相互独立的样本立的样本1213,x xx1217,y yy

14、与已知222210.6,9.5,2.4,4.7xyxgygsgsg假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布,其均值分别为其均值分别为 1与与 2 若不知它们的方差是否相同若不知它们的方差是否相同,求它们的求它们的方差比的置信方差比的置信度为度为0.950.95的置信区间的置信区间.(1)若它们的方差相同若它们的方差相同,22221求均值差求均值差21的置信度为的置信度为0.95 的置信区间的置信区间;解：解：0.05，查表得0.975(28)2.0484,1.9272wts计算得所求置信区间为211120354525545()()(.,.

15、)xys tm nmn (1)因为两总体未知方差相同，(2)查表得查表得0.9750.0250.97511(12,16)2.89,(12,16)(16,12)3.15FFF故所求的置信区间为故所求的置信区间为2222097500251101767 160851111.,(.,.)(,)(,)xxyySSS FmnS Fmn222210.6,9.5,2.4,4.7,13,17xyxgygsgsgmn21 所以 的置信区间为21112()()xys tm nmn 2221方差比方差比 的置信区间为的置信区间为2222221111111,(,)(,)xxyySSS FmnS F mn六、单侧置信区间

16、六、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限人们关心的只是参数在一个方向的界限.例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了，过短就有问题了.这时这时,可将置信上限取为可将置信上限取为+，而只着眼于置信下，而只着眼于置信下限限，这样求得的置信区间叫，这样求得的置信区间叫单侧置信区间单侧置信区间.1LP 1(,)LLnxx 定义定义3:设设 是统计量是统计量,若若对给定的对给定的(0 1)对任意的对任意

17、的,有有则称则称 是是的置信水平为的置信水平为1-的的(单侧单侧)置信下限置信下限.若等号对一切若等号对一切 成立成立,则称则称 为为的的1-的的(单侧单侧)同等置信下限同等置信下限.LL 定义定义4:设设 是统计量是统计量,若若对给定的对给定的(01),对对任意的任意的,有有1(,)UUnxx 1UP 则称则称 是是的置信水平为的置信水平为1-的的(单侧单侧)置信上限置信上限.若等号对一若等号对一切切 成立成立,则称则称 为为的的1-的的(单侧单侧)同等置信上限同等置信上限.UU设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值求灯泡寿命均值的置信水的置信水平为平为0.950.95

18、的单侧置信下限的单侧置信下限.例例7 7 从一批灯泡中随机抽取从一批灯泡中随机抽取5 5只作寿命试验，测得寿命只作寿命试验，测得寿命X X（单位：小时）如下：（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280(1)xt nsn方差方差 未知未知,2 解：解：的点估计取为样本均值的点估计取为样本均值 ,x 对给定的置信水平对给定的置信水平 确定分位点确定分位点1(1)tn 1111()xPtnsn 使使即即1(1)1sPxtnn 由样本值得由样本值得1065小时小时.即即的置信水平为的置信水平为1-的的单侧置信下限单侧置信下限为为1(1)sx tnn 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限是的单侧置信下限是1060,99.75xs查表得0.95(4)2.1318t