第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件.ppt

1、第十三章计数原理与概率第十三章计数原理与概率第一节分类加法计数原理与分步乘法计数第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理原理备考方向明确备考方向明确知识链条完善知识链条完善高频考点突破高频考点突破备考方向明确备考方向明确复习目标复习目标学法指导学法指导1.1.理解分类加法计数原理和分步乘理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理法计数原理.2.2.能正确区分能正确区分“类类”和和“步步”,并能并能利用两个原理解决一些简单的实际利用两个原理解决一些简单的实际问题问题.运用计数原理解决问题时运用计数原理解决问题时,要明确完要明确完成一件事情可以有不同类的方法还成一件事情可以有不同类的方法还是需要分几步

2、才能完成是需要分几步才能完成,并且要准确并且要准确确定出每一类或每一步的方法数确定出每一类或每一步的方法数;对对于复杂问题可同时应用两个原理于复杂问题可同时应用两个原理.知识链条完善知识链条完善网络构建网络构建一、分类加法计数原理一、分类加法计数原理完成一件事有完成一件事有n n类不同的方案类不同的方案,在第一类方案中有在第一类方案中有m m1 1种不同的方法种不同的方法,在第二类方在第二类方案中有案中有m m2 2种不同的方法种不同的方法,在第在第n n类方案中有类方案中有m mn n种不同的方法种不同的方法,则完成这件事则完成这件事共有共有N=N=种不同的方法种不同的方法.二、分步乘法计数

3、原理二、分步乘法计数原理完成一件事需要分成完成一件事需要分成n n个不同的步骤个不同的步骤,完成第一步有完成第一步有m m1 1种不同的方法种不同的方法,完成第二完成第二步有步有m m2 2种不同的方法种不同的方法,完成第完成第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法,那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=N=种不同的方法种不同的方法.m m1 1+m+m2 2+m+mn nm m1 1m m2 2m mn n拓展空间拓展空间概念的理解概念的理解(1)(1)分类加法计数原理与分类有关分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立各种方法相互独立,用其中的任一种方法都用其中的任一种方法

4、都可以完成这件事可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存各个步骤相互依存,只有各个只有各个步骤都完成了步骤都完成了,这件事才算完成这件事才算完成.(2)(2)有些较复杂的问题往往不是单纯的有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类分类”或或“分步分步”可以解决的可以解决的,而要将而要将“分类分类”和和“分步分步”结合起来运用结合起来运用.(3)(3)两个原理的地位有差别两个原理的地位有差别,分类计数更具有一般性分类计数更具有一般性,故通常是先故通常是先“分类分类”,然后然后再在每一类中再在每一类中“分步分步”,分类时标准要明确分类时标准要明确,做到不重不

5、漏做到不重不漏,适当画出示意图或适当画出示意图或树形图树形图,使问题的分析更直观、清楚使问题的分析更直观、清楚.温故知新温故知新C C1.1.为便民惠民为便民惠民,某通信运营商推出某通信运营商推出“优惠卡活动优惠卡活动”.其内容如下其内容如下:卡号的前七位卡号的前七位是固定的是固定的,后四位从后四位从“0000”0000”到到“9999”9999”共共10 00010 000个号码参与该活动个号码参与该活动,凡卡号凡卡号后四位带有后四位带有“6”6”或或“8”8”的一律作为的一律作为“优惠卡优惠卡”,则则“优惠卡优惠卡”的个数是的个数是()(A)1 980(A)1 980(B)4 096(B)

6、4 096(C)5 904(C)5 904(D)8 020(D)8 020解析解析:卡号后四位不带卡号后四位不带“6 6”和和“8 8”的个数为的个数为8 84 4=4 096,=4 096,故带有故带有“6 6”或或“8 8”的的“优惠卡优惠卡”有有5 9045 904个个.故选故选C.C.2.2.将一个四面体将一个四面体ABCDABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不要求共端点的棱不能涂相同颜色能涂相同颜色,则不同的涂色方案有则不同的涂色方案有()(A)1(A)1种种(B)3(B)3种种(C)6(C)6种种(D)9(D)9种种C CD D3

7、.53.5位同学报名参加两个课外活动小组位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组每位同学限报其中的一个小组,则不同则不同的报名方法共有的报名方法共有()(A)10(A)10种种(B)20(B)20种种 (C)25(C)25种种(D)32(D)32种种解析解析:因为规定每个同学必须报名因为规定每个同学必须报名,则每人只有则每人只有2 2个选择个选择.报名方法有报名方法有2 22 2 2 22 22=322=32种种.故选故选D.D.4.4.所有两位数中所有两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有个位数字比十位数字大的两位数共有()(A)45(A)45个个(B)36(B)36个

8、个(C)30(C)30个个(D)50(D)50个个5.5.三个人踢毽子三个人踢毽子,互相传递互相传递,每人每次只能踢一下每人每次只能踢一下.由甲开始踢由甲开始踢,经过经过3 3次传递后次传递后,毽子又被踢回给甲毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有则不同的传递方式共有()(A)5(A)5种种(B)2(B)2种种(C)3(C)3种种(D)4(D)4种种B BB B解析解析:根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有6 66 66=2166=216种种.6.66.6名同学争夺名同学争夺3 3项冠军项冠军,获得冠军的可能性有获得冠军的可能性有种种.答案答案:2162

9、16解析解析:第第1 1步步,1=1+0,1=0+1,1=1+0,1=0+1,共共2 2种组合方式种组合方式;第第2 2步步,9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,9=9+0,9=9+0,共共1010种组合方式种组合方式;第第3 3步步,4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共共5 5种组合方式种组合方式;第第4 4步步,2=0+2,2=1+1,2=2+0,2=0+2,2=1+1,2=2+0,共共3 3种组合方式种组合方式.根据分步乘法计数原理根据分步乘法

10、计数原理,值为值为1 9421 942的的“简单的简单的”有序对的个数是有序对的个数是2 210105 53=300.3=300.7.7.若若m,nm,n均为非负整数均为非负整数,在做在做m+nm+n的加法时各位均不进位的加法时各位均不进位(例如例如:134+3 802=:134+3 802=3 936),3 936),则称则称(m,n)(m,n)为为“简单的简单的”有序对有序对,而而m+nm+n称为有序对称为有序对(m,n)(m,n)的值的值,那么值那么值为为1 9421 942的的“简单的简单的”有序对的个数是有序对的个数是.答案答案:300300高频考点突破高频考点突破考点一分类加法计数

11、原理的应用考点一分类加法计数原理的应用 如图如图,一条电路从一条电路从A A处到处到B B处接通时处接通时,可有可有条不同的线路条不同的线路.解析解析:根据图形可知根据图形可知,电路从电路从A A处到处到B B处接通时可以有处接通时可以有3+1+23+1+22=82=8条不同的线路条不同的线路.答案答案:8 8 例例11反思归纳反思归纳 运用分类加法计数原理的关键是分类标准恰当运用分类加法计数原理的关键是分类标准恰当;分类时应注分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,且只能属于某一类且只能属于某一类(即即标准明确标准明确,不重不漏不重不漏

12、).).迁移训练迁移训练1.1.某校高三年级某校高三年级5 5个班进行拔河比赛个班进行拔河比赛,每每2 2个班都要比赛一场个班都要比赛一场.到现在为止到现在为止,(1),(1)班已经比了班已经比了4 4场场,(2),(2)班已经比了班已经比了3 3场场,(3),(3)班已经比了班已经比了2 2场场,(4),(4)班已经比了班已经比了1 1场场,则则(5)(5)班已经比了班已经比了()(A)1(A)1场场(B)2(B)2场场(C)3(C)3场场(D)4(D)4场场解析解析:设分别代表设分别代表(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)班班,比了比了4 4场场,则和则和均比了均比

13、了1 1场场;由于只比了由于只比了1 1场场,则一定是和比的则一定是和比的;比了比了3 3场场,是和是和比的比的;比了比了2 2场场,是和比的是和比的.所以此时比了所以此时比了2 2场场,是和比的是和比的.5.5个班的比赛情况可以用如图表示个班的比赛情况可以用如图表示.故选故选B.B.B B2.2.满足满足a,b-1,0,1,2,a,b-1,0,1,2,且关于且关于x x的方程的方程ax2+2x+b=0ax2+2x+b=0有实数解的有序数对有实数解的有序数对(a,b)(a,b)的个数为的个数为()(A)14(A)14(B)13(B)13(C)12(C)12(D)10(D)10解析解析:当当a=

14、0a=0时时,b=-1,0,1,2,b=-1,0,1,2,有有4 4种可能种可能.当当a0a0时时,则则=4-4ab0,ab1,=4-4ab0,ab1,()()若若a=-1a=-1时时,b=-1,0,1,2,b=-1,0,1,2有有4 4种可能种可能;()()若若a=1a=1时时,b=-1,0,1,b=-1,0,1有有3 3种可能种可能;()()若若a=2a=2时时,b=-1,0,b=-1,0,有有2 2种可能种可能.所以有序数对所以有序数对(a,b)(a,b)共有共有4+4+3+2=134+4+3+2=13个个.故选故选B.B.B B考点二分步乘法计数原理的应用考点二分步乘法计数原理的应用

15、例例22 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不在下列情况下各有多少种不同的报名方法同的报名方法?(?(不一定六名同学都能参加不一定六名同学都能参加)(1)(1)每人恰好参加一项每人恰好参加一项,每项人数不限每项人数不限;解解:(1)(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有各有3 3种不同选法种不同选法,由分步由分步乘法计数原理乘法计数原理,知共有报名方法知共有报名方法3 36 6=729(=729(种种).).(2)(2)每项限报一人每项限报一人,且每人至多参加一项且每人至多参加一项;(3)(

16、3)每项限报一人每项限报一人,但每人参加的项目不限但每人参加的项目不限.解解:(2)(2)每项限报一人每项限报一人,且每人至多参加一项且每人至多参加一项,因此可由项目选人因此可由项目选人,第一个项目第一个项目有有6 6种选法种选法,第二个项目有第二个项目有5 5种选法种选法,第三个项目只有第三个项目只有4 4种选法种选法,由分步乘法计数由分步乘法计数原理原理,得共有报名方法得共有报名方法6 65 54=120(4=120(种种).).(3)(3)由于每人参加的项目不限由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛赛,由分步乘法计数原理

17、由分步乘法计数原理,得共有不同的报名方法得共有不同的报名方法6 63 3=216(=216(种种).).反思归纳反思归纳 利用分步乘法计数原理解决问题利用分步乘法计数原理解决问题(1)(1)要按事件发生的过程合理分步要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的即分步是有先后顺序的;(2)(2)分步要做到分步要做到“步骤完整步骤完整”,即只有完成了所有步骤即只有完成了所有步骤,才完成任务才完成任务;(3)(3)对完成各步的方法数要准确确定对完成各步的方法数要准确确定.迁移训练迁移训练已知集合已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)(a,bM)M=-3,-2,-1,0,1,2,P

18、(a,b)(a,bM)表示平面上的点表示平面上的点,则则:(1)P(1)P可表示平面上可表示平面上个不同的点个不同的点.(2)P(2)P可表示平面上可表示平面上个第二象限的点个第二象限的点.解析解析:(1)(1)因为因为P(a,b)(a,bM),P(a,b)(a,bM),所以所以a,ba,b都有都有6 6种不同的取法种不同的取法,根据分步乘法计根据分步乘法计数原理得这样的点有数原理得这样的点有6 66=366=36种种.(2)(2)当当a0a0时时,点点(a,b)(a,b)就在第二象限就在第二象限,此时此时a a有有3 3种不同取法种不同取法,b,b有有2 2种不同的种不同的取法取法,所以共有

19、所以共有3 32=62=6种种.答案答案:36366 6考点三两个计数原理的综合应用考点三两个计数原理的综合应用 例例33 用用0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6这这7 7个数字可以组成个数字可以组成个无重复数字的四位偶个无重复数字的四位偶数数.(.(用数字作答用数字作答)思路点拨思路点拨:按首位数字的奇偶性分类按首位数字的奇偶性分类,在每一类中根据特殊位置在每一类中根据特殊位置(末位末位)优先原优先原则进行分步则进行分步.解析解析:当首位数字为奇数时当首位数字为奇数时,首位取法有首位取法有3 3种种,末位取法有末位取法有4 4种种,百位取法有百位取法有5 5种种,十位取法有

20、十位取法有4 4种种,根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理,有有3 34 45 54=2404=240种取法种取法,当首位数当首位数字为偶数时字为偶数时,首位取法有首位取法有3 3种种,末位取法有末位取法有3 3种种,百位取法有百位取法有5 5种种,十位取法有十位取法有4 4种种,根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理,有有3 33 35 54=1804=180种取法种取法,根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理,共可组成共可组成240+180=420240+180=420个无重复数字的四位偶数个无重复数字的四位偶数.答案答案:420420反思归纳反思归纳 (1)(1)应用两个计数原理

21、的难点在于明确分类还是分步应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.(2)(2)分类要做到分类要做到“不重不漏不重不漏”,正确把握分类标准是关键正确把握分类标准是关键.(3)(3)分步要做到分步要做到“步骤完整步骤完整”,步步相连才能将事件完成步步相连才能将事件完成.(4)(4)较复杂的问题可借助图表完成较复杂的问题可借助图表完成.例例44 用用n n种不同颜色为下列两块广告牌着色种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图如图(1)(1)、图、图(2),(2),要求在要求在A,B,A,B,C,DC,D四个区域中相邻四个区域中相邻(有公共边的有公共边的)区域不用同一种颜色区域不用同一种颜色.(1)(

22、1)若若n=6,n=6,为图为图(1)(1)着色时共有多少种不同的方法着色时共有多少种不同的方法?解解:(1)(1)为为A A着色有着色有6 6种方法种方法,为为B B着色有着色有5 5种方法种方法,为为C C着色有着色有4 4种方法种方法,为为D D着色也着色也有有4 4种方法种方法,所以所以,共有着色方法共有着色方法6 65 54 44=480(4=480(种种).).(2)(2)若为图若为图(2)(2)着色时共有着色时共有120120种不同的方法种不同的方法,求求n.n.解解:(2)(2)图图(2)(2)与图与图(1)(1)的区别在于与的区别在于与D D相邻的区域由相邻的区域由2 2块变

23、成了块变成了3 3块块,同理同理,不同不同的着色方法种数是的着色方法种数是n(n-1)(n-2)(n-3).n(n-1)(n-2)(n-3).因为因为n(n-1)(n-2)(n-3)=120,n(n-1)(n-2)(n-3)=120,又又120480,120480,所以可分别将所以可分别将n=4,5n=4,5代入得代入得n=5n=5时上式成立时上式成立.所以所以n=5.n=5.反思归纳反思归纳 涂色问题的实质是分类与分步的综合运用涂色问题的实质是分类与分步的综合运用,一般是整体分步一般是整体分步,分步过程中若出现某一步需要分情况说明时分步过程中若出现某一步需要分情况说明时,还要进行分类还要进行分类.