《线段的垂直平分线的性质和判定》课件(2套).ppt

1、13131 1轴对称轴对称131.2线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质(2课时课时)掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3到

2、点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PAPB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PAPB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明学生证明完后教师板书证明过程供学生对照已知：MNAB，垂足为点C，ACBC，点P是直线MN上任意一点求证：PAPB.证明：在APC和BPC中，PCPC(公共边)，PCB

3、PCA(垂直定义)，ACBC(已知)，APC BPC(SAS)PAPB(全等三角形的对应边相等)因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果那么”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果那么”的形式，逆命题就容易写出鼓励学生找出原命题的条件和结论原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”此时，逆命题就很容易写出来“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直

4、平分线上”写出逆命题后，就想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明请同学们自行在练习册上完成学生给出了如下的四种证法已知：线段AB，点P是平面内一点，且PAPB.求证：P点在AB的垂直平分线上证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，PAPB，PCPC，RtPAC RtPBC(HL)ACBC，即P点在AB的垂直平分线上证法二取AB的中点C，过P，C作直线PAPB，PCPC，ACCB，APC BPC(SSS)PCAPCB(全等三角形的对应角相等)又PCAPCB180，PCAPCB90，即PCAB，P点在AB的垂直平分线上证法三过P点作APB的平分线PAPB，12，PCPC，APC

5、BPC(SAS)ACBC，PCAPCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)又PCAPCB180，PCAPCB90，P点在AB的垂直平分线上证法四过P作线段AB的垂直平分线PC.ACCB，PCAPCB90，P在AB的垂直平分线上四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂”师生共析：如图(1)，PDAB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂

6、直平分线的判定要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知：直线AB和AB外一点C.(如下图)求作：AB的垂线，使它经过点C.师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？请与同伴进行交流生：从作法的第(2)(3)步可知CDCE，DFEF，C，F都在AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)CF就是线段AB的垂直平分线(两点确

7、定一条直线)师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点三、课堂练习教材第62页练习第1，2题四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线五、布置作业1教材习题13.1第6题2补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PAPB，POAB，则必有AOBO，为什么？(2)如左下图，ABC中，AC16 cm，DE为AB的垂直平分线，BCE的周长为26 cm.求BC的长(3)有A，B，C三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求

8、学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等知识点1：线段的垂直平分线的性质1如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知线段PA5，则线段PB的长度为()A6 B5 C4 D3B2如图，ABC中，AB5，AC6，BC4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则BDC的周长是()A8 B9 C10 D11C3(习题6变式)如图，ABC的周长为30 cm，把ABC的边AC对

9、折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，若ABD的周长是22 cm，则AE的长为()A2 cm B3 cm C4 cm D5 cmC4如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上，且AC16 cm，则点B到点M的距离为_8cm5如图，ADBC，BDCD，点C在AE的垂直平分线上若AB5 cm，BD3 cm，求BE的长解：BDCD，BC2BD6 cm，又ADBC，ABAC5 cm.点C在AE的垂直平分线上，CEAC5 cm，BEBCCE11 cm知识点2：线段的垂直平分线的判定6如图，ACAD，BCBD，则有()AAB垂直平分CDBCD垂直平分ABCAB与

10、CD互相垂直平分DCD平分ACB7在锐角ABC内有一点P，满足PAPBPC，则点P是ABC()A三边垂直平分线的交点B三条角平分线的交点C三条高的交点D三边中线的交点 AA8如图，点D在三角形ABC的BC边上，且BCBDAD，则点D在_的垂直平分线上AC9如图，ABAC，DBDC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由解：连接BC，ABAC，DBDC，A，D都在线段BC的垂直平分线上，即AD垂直平分BC，BECE10如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是()AABAD BCA平分BCDCABBD DBEC DECC11如图，MON内有一点P，

11、PP1，PP2分别被OM，ON垂直平分，P1P2与OM，ON分别交于点A，B.若P1P210 cm，则PAB的周长为()A6 cm B8 cm C10 cm D12 cmC12如图，BD垂直平分线段AC，AEBC，垂足为E，交BD于P点，PE3 cm，则P点到直线AB的距离是_cm.313如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长解：DE垂直平分BC，BDCD，ACD的周长ADACCDABAC14 cm，又ABAC2 cm，可得AB8 cm，AC6 cm14如图，在RtABC中，C90，AB2AC，AD为BAC的平分线求证

12、：点D在线段AB的垂直平分线上证明：过D作DEAB于E，由AAS可证ACD AED，ACAE.AB2ACBEAE，BEAEAC，DE是线段AB的垂直平分线，即点D在线段AB的垂直平分线上15如图，在ABC中，BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PNAB于点N，PMAC于点M.求证：BNCM.证明：连接PB，PC，由角平分线的性质证PNPM，由线段垂直平分线的性质证PBPC，从而由HL证RtPNB RtPMC，BNCM16如图，在ABC中，BC，点D，E，F分别在三边上，且BECD，BDCF，G为EF的中点求证：DG垂直平分EF.证明：连接DE，DF，由SAS证BED C

13、DF，DEDF，又GEGF，GDGD，GED GFD(SSS)，EGDFGD90，即DGEF，DG垂直平分EF方法技能：1利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等，应用时要注意：一是点必须在垂直平分线上，二是距离指的是点到线段两端点的距离2利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关系易错提示：对线段垂直平分线的判定理解不透而出错ABL活动一活动一 在在106国道某段的同侧，有两个工厂国道某段的同侧，有两个工厂A、B，为了，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的所医院，使得两个工厂到医

14、院的距离相等，问医院的院址应选在何处？院址应选在何处？AB线段的垂直平分线线段的垂直平分线PA=PBP1P1A=P1B命题命题：线段垂直平分线上的：线段垂直平分线上的点与点与这条线段两个端这条线段两个端点点的距离相等。的距离相等。PMNC动手操作动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：量一量：PA、PB的长，你能发现什么？的长，你能发现什么？由此你能得到什么规律？由此你能得到什么规律？命题：线段垂直平分线上的命题：线段垂直平分线上的点与点与这条线段两个端这条线段两个端点点的距离相等。的距离相等。线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABPlCPA=PB

15、 直线直线lAB,垂足为垂足为C,且且AC=CB.已知：如图，已知：如图，点点P在在l上上.求证：求证：证明：lAB,PCA=PCB=90.在 PAC和 PBC中，AC=BC PCA=PCB PC=PC PAC PBC.PA=PB.性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。距离相等。线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABPMNCPA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线上的点与这线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等 例1：如图，在ABC中，已知AC=27，DE垂

16、直平分AB，交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，求BC的长.解：DE垂直平分AB，AE=BEBE+EC+BC=50，AE+EC+BC=50，即AC+BC=50又AC=27，BC=23ABPC性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的点的距离相等。距离相等。PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上?逆命题：与逆命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段段的垂直平分线上。的垂直平分线上。二、逆定理：与二、逆定理：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段两个端点距离相

17、等的点，在这条 线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的距离相等。点的距离相等。PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上与线段两个端点距离相等的点，与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点与这线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等任何图形都是由点组成的。因任何图形都是由点组成的。因此我们可以把图形看成点的集此我们可以把图形看成点的集合。由上述定理和逆

18、定理，线合。由上述定理和逆定理，线段的垂直平分线可以看作符合段的垂直平分线可以看作符合什么条件的点组成的图形？什么条件的点组成的图形？三、三、线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是与线线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合段两个端点距离相等的所有点的集合解：是解：是.AB=AC，点点A 在线段在线段BC 的垂直平分线上的垂直平分线上MB=MC，点点M 在线段在线段BC 的垂直平分线上，的垂直平分线上，直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直的垂直 平分线平分线例例2 2如图，如图，AB=AC，MB=MC直线直线AM 是线段是线段

19、 BC 的垂直平分线吗的垂直平分线吗？并说明理由？并说明理由.A B C D M 在106国道某段的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？本节课你有哪些收获？本节课你有哪些收获？1.这节课你学到了哪些知识？这节课你学到了哪些知识？2.你觉得这些知识在具体的题目中如何运用？你觉得这些知识在具体的题目中如何运用？3.你还有哪些困惑？你还有哪些困惑？作业 教材习题13.1第6、9题目标检测设计目标检测设计1判断下列语句的对错（1）如图直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF （）（2）如图线段MN被直线AB垂直平分，则ME=NE（）（3）如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线（）?C?A?B?M?N?E?F?M?N?A?B?E目标检测设计目标检测设计2在锐角ABC内，一点P满足PA=PB=PC，则P是ABC（）A、三条角平分线的交点 B、三条中线的交点 C、三条高的交点 D、三条边的垂直平分线的交点目标检测设计目标检测设计3已知，D是直角ABC斜边AC的中点，ED垂直AC于点D，EAB:EAC=2:3，求 ACB的度数。