《几何图形与一元二次方程》优质课件(三套).ppt(课件中无音视频)
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- 几何图形与一元二次方程 几何图形 一元 二次方程 优质 课件
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1、第二十一章 一元二次方程第3课时 几何图形与一元二次方程学习目标1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.(难点)2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.(重点)导入新课导入新课问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道,使其中两条与AB平行,另外一条与AD平行,其余部分种花草,要使每一块花草的面积都为78m2,那么通道宽应该设计为多少?设通道宽为xm,则由题意列的方程为_.CBDA(30-2x)(20-x)=678问题引入讲授新课讲授新课几何图形与一元二次方程一引例:要设计一本书的封面,封面长27,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果
2、要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?(精确到0.1cm)27cm21cm合作探究 分析:这本书的长宽之比 :正中央的矩形长宽之比 :,上下边衬与左右边衬之比 :.9 79 727cm21cm解:设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为:11(27 9):(21 7)22aa9 79(3):7(3)9:7.aa27cm21cm解:设上下边衬的9xcm,左右边衬宽为7xcm依题意得3(27 18)(21 14)27 21,4xx 解方程得63 3.4x故上下边衬的宽度为:63 391.8,4故左右边衬的宽度为:
3、63 371.4.4方程的哪个根合乎实际意义?为什么?试一试:如果换一种设未知数的方法,是否可以更简单地解决上面的问题?解:设正中央的矩形两边别为9xcm,7xcm.依题意得27cm21cm39727 21,4xx解得 223 33 322xx,(舍去).故上下边衬的宽度为:3 327 927 954 27 321.8.224x 3 321 721 742 21 321.4.224x 故左右边衬的宽度为:例1:如图所示,在ABC中,C=90,AC=6cm,BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动;同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动,且当其中一点到达终点时
4、,另一点也随之停止移动.问点P,Q出发几秒后可使PCQ的面积为9 cm?根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解:若设出发x s后可使PCQ的面积为9cm整理,得解得 x1=x2=3答:点P,Q出发3s后可使PCQ的面积为9cm.92)6(21xx0962 xx 主要集中在几何图形的面积问题,这类问题的面积公式是等量关系.如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;方法点拨220 323220540 xxx2032xx解:设道路的宽为x米例2:如图,在一块宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种
5、上草坪,要使草坪的面积为540,求道路的宽为多少?典例精析还有其他还有其他解法吗?解法吗?2032xx解:设道路的宽为 x 米20-x32-x(32-x)(20-x)=540整理,得x2-52x+100=0解得 x1=2,x2=50当x=50时,32-x=-18,不合题意,舍去.取x=2答:道路的宽为2米.方法二:在宽为在宽为20m,长为长为32m的矩形的矩形地面上修筑同样宽的道路地面上修筑同样宽的道路,余下的部分余下的部分种上草坪种上草坪,要使草坪的面积为要使草坪的面积为540,求求这种方案下的道路的宽为多少?这种方案下的道路的宽为多少?解:设道路的宽为解:设道路的宽为 x 米米(32-x)
6、(20-x)=540可列方程为可列方程为2032xxx20-x 在宽为在宽为20m,长为长为32m的矩形地面上修筑同的矩形地面上修筑同样宽的道路样宽的道路,余下的部分种上草坪余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少?求这种种方案下的道路的宽为多少?解:设道路的宽为解:设道路的宽为 x 米米(32-2x)(20-x)=540可列方程为可列方程为32-2x2032xxxx20322x2x32-2x20-2x 在宽为在宽为20m,长为长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道的矩形地面上修筑同样宽的道路路,余下的部分种上草坪余下的部分种上草坪,要使要使
7、草坪的面积为草坪的面积为540m2,求这种种求这种种方案下的道路的宽为多少?方案下的道路的宽为多少?解:设道路的宽为解:设道路的宽为 x 米米(32-2x)(20-2x)=540可列方程为可列方程为在宽为在宽为20m,长为长为32m的矩形地面上修筑四条道路的矩形地面上修筑四条道路,余余下的部分种上草坪,下的部分种上草坪,如果横、纵小路的宽度比为如果横、纵小路的宽度比为3:2,且使小路所占面积是矩形面积的四分之一且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽求道路的宽为多少?为多少?小路所占面积是矩形小路所占面积是矩形面积的四分之一面积的四分之一 剩余面积是矩形面剩余面积是矩形面积的四分之三积
8、的四分之三解解:设横、竖小路的宽度分别为设横、竖小路的宽度分别为3x、2x,于是可列方程于是可列方程(30-4x)(20-6x)=203020303x2x30-4x20-6x433x2x6x4x30-4x20-6x 我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的性质,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出水渠的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路).方法点拨解:设AB长是x m.(100-4x)x=400 x2-25x+100=0 x1=5,x2=20 x=20,100-4x=2025 x=5(舍去)答:羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.例3:如图:要利用一面墙(墙长
9、为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米?DCBA25米变式:如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80平方米?住房墙住房墙1m解:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m,由题意得 x(25-2x+1)=80化简,得 x2-13x+40=0解得 x1=5,x2=8当x=5时,26-2x=1612 (舍去)当x=8时,26-2x=1012 故所围矩形猪舍的长为10m,
10、宽为8m.则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.1.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是()Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=080cmxxxx50cmB当堂练习当堂练习2.一块长方形铁板,长是宽的2倍,如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形,然后把四边折起来,做成一个没有盖的盒子,盒子的容积是3000 cm3,求铁板的长和宽 解:设铁板的宽为x cm,则有长为2x c
11、m5(2x-10)(x-10)=3000 x2-15x-250=0解得 x1=25 x2=-10(舍去)所以 2x=50答:铁板的长50cm,宽为25cm.3.如图,要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案,其中有两横两竖彩条,横竖彩条的宽度之比为2 3,若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?解:设横向彩条的宽度2xcm,竖彩条的宽度3xcm (20-6x)(30-4x)=400 6x2-65x+50=0舍去)(10,6521xx253,352xx则.cm25,cm35分别是答:每个横竖条的宽度课堂小结课堂小结几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图
12、形面积是等量关系.类 型课本封面问题彩条/小路宽度问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程21.3 21.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程第第2 2课时课时1.1.了解几种特殊图形的面积公式了解几种特殊图形的面积公式.2.2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型,并运用它掌握面积法建立一元二次方程的数学模型,并运用它解决实际问题解决实际问题.1.1.列方程解应用题有哪些步骤列方程解应用题有哪些步骤?对于这些步骤,应通过解各种类型的问题,才能对于这些步骤,应通过解各种类型的问题,才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题深刻体会与真正掌握列方程解应用题.上一节,我们学习了解决上一节,我们
13、学习了解决“平均增长平均增长(下降下降)率问率问题题”,现在,我们要学习解决,现在,我们要学习解决“面积、体积问题面积、体积问题”.2.2.直角三角形的面积公式是什么?一般三角形直角三角形的面积公式是什么?一般三角形的面积公式是什么呢?的面积公式是什么呢?3.3.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么?公式又是什么?4.4.梯形的面积公式是什么?梯形的面积公式是什么?5.5.菱形的面积公式是什么?菱形的面积公式是什么?6.6.平行四边形的面积公式是什么?平行四边形的面积公式是什么?7.7.圆的面积公式是什么?圆的面积公式是什么?【例例1 1】要
14、设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长2727,宽宽2121,正中央是一个与整个封面正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一衬所占面积是封面面积的四分之一,上、上、下边衬等宽下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设应如何设计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度?2721【解析解析】这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,9:7,依题知正中央的矩形依题知正中央的矩形两边之比也为两边之比也为9:7.9:7.例 题 解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm9xc
15、m,7xcm 依题意得依题意得21274379 xx解得解得 2331x8.143275422339272927 x4.143214222337212721x不合题意,舍去)(2332x左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为:故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为:212743)1421)(1827(xx解方程得解方程得4336 x(以下请自己完成以下请自己完成)方程的哪个根合乎实际方程的哪个根合乎实际意义意义?为什么为什么?解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm9xcm,左右边衬宽为,左右边衬宽为7xcm,7xcm,依题意得依题意得【例例2 2】学校为了美化校园环境,在一块长学校为了
16、美化校园环境,在一块长4040米、宽米、宽2020米的米的长方形空地上计划新建一块长长方形空地上计划新建一块长9 9米、宽米、宽7 7米的长方形花圃米的长方形花圃.(1 1)若请你在这块空地上设计一个长方形花圃,使它)若请你在这块空地上设计一个长方形花圃,使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1 1平方米,平方米,请你给出你认为合适的三种不同的方案请你给出你认为合适的三种不同的方案.(2 2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下,)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的面积能否增加长方形花圃的面积能否增加2 2平方米?如果能
17、,平方米?如果能,请求出长方形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由请求出长方形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由.例 题【解析解析】(1)(1)方案方案1 1:长为:长为 米,宽为米,宽为7 7米米;719方案方案2 2:长为:长为1616米,宽为米,宽为4 4米米;方案方案3 3:长:长=宽宽=8=8米米;注:本题方案有无数种注:本题方案有无数种(2 2)在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃面)在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃面 积不能增加积不能增加2 2平方米平方米.由题意得长方形长与宽的和为由题意得长方形长与宽的和为1616米米.设长方形花圃的设长方形花圃的长为长为x x米,则
18、宽为(米,则宽为(16-x16-x)米)米.x x(16-(16-x x)=63+2)=63+2,x x2 2-16-16x x+65=0+65=0,22b4ac(16)4 1 6540 此方程无解此方程无解.在周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能增在周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能增加加2 2平方米平方米1 1用用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形,若若能够能够,求它的长与宽求它的长与宽;若不能若不能,请说明理由请说明理由.【解析解析】设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,xcm,则宽为则宽为 cm,cm,)220(x30
19、)220(xx即即x x2 2-10 x+30=0-10 x+30=0这里这里a=1,b=a=1,b=10,c=30,10,c=30,0203014)10(422acb此方程无解此方程无解.用用20cm20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形.跟踪训练2.2.某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长3232米米,宽宽2020米的长方形米的长方形场地上修筑若干条道路场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪余下部分作草坪,并请全校同学参并请全校同学参与设计与设计,现在有两位学生各设计了一种方案现在有两位学生各设计了一种方案(如图如图),)
20、,根据两根据两种设计方案各列出方程种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少求图中道路的宽分别是多少?使图使图(1),(2)(1),(2)的草坪面积为的草坪面积为540540米米2 2.(1)(1)(2)(2)(1)(1)【解析解析】(1)1)如图,设道路的宽为如图,设道路的宽为x x米,米,则则540)220)(232(xx化简得,化简得,025262xx0)1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25x=25超出了原矩形的宽,应舍去超出了原矩形的宽,应舍去.图图(1)(1)中道路的宽为中道路的宽为1 1米米.则横向的路面面积为则横向的路面面积为 (2)解析:)解析:此题的相等
21、关系是矩此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于形面积减去道路面积等于540540米米2 2.解法一、解法一、如图,设道路的宽为如图,设道路的宽为x x米,米,32x 32x 米米2 2,纵向的路面面积为纵向的路面面积为 20 x 20 x 米米2 2.注意:这两个面积的重叠部分是注意:这两个面积的重叠部分是x x2 2,所列的方程是不是所列的方程是不是3220(3220)540 xx?图中的道路面积不是图中的道路面积不是3220 xx米米2 2.(2)(2)而是从其中减去重叠部分,即应是而是从其中减去重叠部分,即应是m m2 2所以正确的方程是:所以正确的方程是:232203220540 x
22、xx化简得,化简得,2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽,应舍去超出了原矩形的长和宽,应舍去.取取x=2x=2时,时,道路总面积为:道路总面积为:草坪面积草坪面积=32=3220-100=540 20-100=540(米(米2 2)答:所求道路的宽为答:所求道路的宽为2 2米米.122,50 xx)2032(2xxx22(3220)22100()米解法二:解法二:我们利用我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改图形经过移动,它的面积大小不会改变变”的道理,把纵、横两条路移动一下,使列方程容的道理,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出路面的宽,
23、至于实际施工,仍可按易些(目的是求出路面的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路)原图的位置修路)(2)(2)横向路面横向路面:如图,设路宽为如图,设路宽为x x米,米,32x32x米米2纵向路面面积为纵向路面面积为:2020 x米米2草坪矩形的长(横向)为草坪矩形的长(横向)为:草坪矩形的宽(纵向草坪矩形的宽(纵向:)为:)为:相等关系是:草坪长相等关系是:草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-x)(20-x)米米(32-x)32-x)米米即即3220540.xx化简得:化简得:212521000,50,2xxxx再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相
24、同相同.1.1.如图是宽为如图是宽为2020米米,长为长为3232米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑同样宽要修筑同样宽的三条道路的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂直且互相垂直),),把耕地分把耕地分成六块大小相等的试验地成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为要使试验地的面积为570570平方平方米米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?【解析解析】设道路宽为设道路宽为x x米,米,570)220)(232(xx化简得,化简得,035362xx0)1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35x=35超出了原矩形的宽,应舍去超出了原矩形的宽,应舍去.答答:道路的宽
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