高中数学-等差数列定义和通项公式课件-新人教A版必修5.ppt

1、 （第一课时）教学目标：1、掌握等差数列定义和通项公式;2、提高学生的归纳、猜想能力;3、联系生活中的数学。l难点对等差数列特点的理解、把握和应用l重点掌握对数列概念的理解、数列通项公式的推导及应用一、由具体例子归纳等差数列的定义看下面的数列：看下面的数列：4，5，6，7，8，9，10 ；3，0，3，6，；下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种（表示鞋长、单位是（表示鞋长、单位是cm）21，21 ，22，22 ，23，23 ，24，24 ，25;一张梯子一张梯子从高到低每级的宽度依次为（单位从高到低每级的宽度依次为（单位cm）40，50，60，70，80，90，1

2、00；每级之间的高度相差分别为每级之间的高度相差分别为 40，40，40，40，40，40.从第从第2项起，每一项与前一项差都等于项起，每一项与前一项差都等于1这就是说，这些数列具有这样的共同特点：这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。从第从第2项起，每一项与前一项差都等于项起，每一项与前一项差都等于3从第从第2项起，每一项与前一项差都等于项起，每一项与前一项差都等于10从第从第2项起，每一项与前一项差都等于项起，每一项与前一项差都等于0 问：这问：这5个数列有什么共同特点？个数列有什么共同特点？从第从第

3、2项起，每一项与前一项差都等于项起，每一项与前一项差都等于 21 21 21 21 21数学语言：数学语言：anan1=d （d是常数，n2，nN*）定义：定义：一般地，如果一个数列从第从第2项起项起，每每一项与它的前一项的差等于同一常数一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。二、由定义归纳通项公式a2 a1=d，a3 a2=d，a4 a3=d，.则 a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d由此得到 a n=a1+(n1)dan1an2=d,an an1=d.这（n1）个式子迭加an a1=(n1)d当n=

4、1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当nN*时上式都成立，因而它就是等差数列an的通项公式。三、巩固通项公式 （一）求通项an若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an例如：a1=1,d=2,则 an=1+(n1)2=2n1已知等差数列8，5，2，求 an及a20解：a1=8,d=58=3a20=49an=8+(n1)(3)=3n+11练习：已知等差数列3，7，11，则 an=_ a4=_ a10=_4n-11539(二)求首项a1例如：已知a20=49,d=3 则，由a20=a1+(201)(3)得a1=8练习：a4=15 d=3 则a1=_6(三)求项数n 例如：已知等

5、差数列8，5，2问49是第几项?解：a1=8,d=3 则 an=8+(n1)(3)49=8+(n1)(3)得 n=20.是第20项.问400是不是等差数列5，9，13,的项？如果是，是第几项？解：a1=5,d=4 an=5+(n1)(4),则由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得 401=5+(n1)(4)成立所以400不是这个数列的项解之得 n=4399解解2：这些三位数为：这些三位数为100，101，102，999可组成首可组成首 项项a1=100，公差，公差d=1，末项为，末项为an=999的等差数列。的等差数列。由由 an=a1+(n1)1得得999=100+（n1）1 n=99

6、9100+1=900 练习：1100是不是等差数列是不是等差数列2，9，16，的项？如的项？如 果果 是，是第几项？是，是第几项？如果不是，说明理由如果不是，说明理由.2 在正整数集合中，有多少个三位数？在正整数集合中，有多少个三位数？解解1:=2,=9,=16,d=7,an(四)求公差d例如 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中 间还有 10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。分析：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。由题意知 a1=33,a12=110,n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7从而可求出

7、 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54。解：用解：用an表示梯子自上而下的各级宽度所成表示梯子自上而下的各级宽度所成 的等差数列的等差数列 由已知条件，由已知条件，a1=33,a12=110,n=12由通项公式，得由通项公式，得a12=a1（121）d 即即110=3311d,解得解得d=7因此，因此，a2=337=40,a3=407=47,a4=477=54,a5=61,a6=68a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40，47，54，61，68，75，82，89，96，103

8、。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？呢？（五）小综合在等差数列an中已知a5=10,a12=31,求a1、d及an an=2+(n1)3=3n5知识延伸：由定义，可知：a6=a5+d a7=a6+d=a5+2d=a5+(75)d a8=a7+d=a5+3d=a5+(85)d a12=a5+(125)d猜想：任意两项an和am之间的 关系：an=am+(nm)d证明：am=a1+(m1)d an=a1+(m1)d+(nm)d =a1+(n1)d本题也可以这样处理：由a12=a5+(125)d 得 31=10+7d d=3 又 a5=a1+4d a1=2解：由an=a1+(n1)d得 a5=a1+4d=10 a1=2 a12=a1+11d=31 d=3练习：等差数列an中,已知 a3=9,且 a9=3,则 a12=_ 课后思考：能否对上面的结论进行推广：若ap=q 且aq=p(pq)则ap+q=0?0五、要点扫描：本节课主要学习 等差数列的定义：“从第2 项起，后项 与前一项差为常数”通项公式：an=a1+(n1)d （nN*）再见！再见！