第二节-估计量的评价标准课件.ppt

1、1第二节第二节2 对于同一个参数对于同一个参数,用不同的方法可以得到不同的用不同的方法可以得到不同的估计量估计量.现在的问题是现在的问题是,当同一参数出现多个估计当同一参数出现多个估计量时量时,究竟哪一个更好呢究竟哪一个更好呢?这就涉及到用什么标准这就涉及到用什么标准来评价估计量的问题来评价估计量的问题.确定估计量好坏的标准必须是确定估计量好坏的标准必须是整体性整体性的的,说得说得明确一点就是明确一点就是,必须在大量观察的基础上从统计的必须在大量观察的基础上从统计的意义上来评价估计量的好坏意义上来评价估计量的好坏.也就是说也就是说,估计的好估计的好坏取决于估计量的统计性质坏取决于估计量的统计性

2、质.一般认为一般认为,一个一个“好好”的估计量应该具有如下的条件的估计量应该具有如下的条件:3 估计量是随机变量估计量是随机变量,对于不同的样本值就会得到对于不同的样本值就会得到不同的估计值不同的估计值,希望估计值在未知参数真值左右徘徊希望估计值在未知参数真值左右徘徊,最好它的数学期望等于未知参数的真值最好它的数学期望等于未知参数的真值,这就导致了这就导致了无偏性无偏性这个标准。这个标准。定义定义设设),(1nXX 是是总总体体X的的 一一个个样样本本,),(1nXX 是是未未知知参参数数 的的估估计计量量,如如果果有有，)(E则则称称 为为 的的无无偏偏估估计计量量。一、无偏性一、无偏性4无

3、偏估计量的含义是：无偏估计量的含义是：作为样本的函数作为样本的函数是一个随机变量，它在是一个随机变量，它在 的真值附近波动，但其的真值附近波动，但其平均值恰好是平均值恰好是 的真值。比如用一台秤去称物的真值。比如用一台秤去称物品，误差有两个来源：一是秤本身制作结构上的品，误差有两个来源：一是秤本身制作结构上的问题，这属于系统误差；另一种是操作上或其它问题，这属于系统误差；另一种是操作上或其它随机因素的干扰，这属于随机误差。随机因素的干扰，这属于随机误差。无偏性即要无偏性即要求没有系统误差。求没有系统误差。，)(E5设设),(1nXX 为为取取自自总总体体X的的样样本本，)(E)(EXX 说说明

4、明X是是总总体体均均值值)(E X的的无无偏偏估估计计；样本方差样本方差，niiXXnS122)(11，)(D)(E2XS 说说明明2S是是总总体体方方差差)(D X的的无无偏偏估估计计.，二阶中心矩二阶中心矩 niiXXnB122)(1 ，)(D1)(E2XnnB 说说明明2B是是)(D X的的有有偏偏估估计计.6设设0)(D X,)(E X,试试问问 2X是是否否为为 2 的的无无偏偏估估计计？设设总总体体X服服从从均均匀匀分分布布),0(U，试试证证 的的矩矩法法估估计计量量X2 是是 的的无无偏偏估估计计量量。例例1 1证证)2(E)(EX )(E2X)(E2X.22 例例2 222)

5、(E)(D)(EXXX 2)(D1 Xn,2 证证故故2X不不是是2 的的无无偏偏估估计计。7二、有效性二、有效性一般来说一般来说,一个参数往往有多个无偏估计量一个参数往往有多个无偏估计量.若若 有两个无偏估计量有两个无偏估计量:21,则则21 ba 当当a+b=1时也是时也是 的无偏估计量。的无偏估计量。估计量的无偏性只保证了估计量的取值在参数估计量的无偏性只保证了估计量的取值在参数真值周围波动真值周围波动,但是波动的幅度有多大呢但是波动的幅度有多大呢?自然的自然的,我们希望估计量波动的幅度越小越好我们希望估计量波动的幅度越小越好,幅度越小幅度越小,则则估计量取值与参数真值有较大偏差的可能性

6、越小估计量取值与参数真值有较大偏差的可能性越小,而衡量随机变量波动幅度的量就是而衡量随机变量波动幅度的量就是方差方差.这样就有这样就有了我们下面要介绍的有效性的概念了我们下面要介绍的有效性的概念.8设设),(321XXX为为取取自自总总体体X的的样样本本,试试证证明明下下列列三三个个统统计计量量均均为为EX的的无无偏偏估估计计量量，并并比比较较有有效效性性.设设总总体体有有一一未未知知参参数数 ,样样本本),(1nXX，21,均均为为 的的无无偏偏估估计计，如如果果 定义定义)(D)(D21 则则称称1 比比2 有有效效。例例3 3,21103513211XXX ,6121323212XXX

7、.3131313213XXX 9,21103513211XXX ,6121323212XXX .3131313213XXX 证证)2110351(E)(E3211XXX ,EE)612132()(E2XX ,EE)313131()(E3XX ,EE)2110351(XX 所所 以以321,均均为为EX的的无无偏偏估估计计量量。10,21103513211XXX ,6121323212XXX .3131313213XXX 证证所所以以3 最最为为有有效效。)2110351(D)(D3211XXX ,D72.0D)3614194()(D2XX .D33.0D)919191()(D3XX ,D38.

8、0D)411009251(XX 11从从正正态态总总体体),(2 NX中中分分别别抽抽取取容容量量为为1n和和2n的的两两个个相相互互独独立立的的样样本本，其其样样本本方方差差分分别别为为21S和和22S，它它们们都都是是2 的的无无偏偏估估计计。当当21nn 时时，有有 )(D)(D2221SS。定理定理此定理说明此定理说明,增加样本容量增加样本容量可提高估计量的有效性。可提高估计量的有效性。有效性概念说明有效性概念说明,在无偏估计量中在无偏估计量中,方差越小越方差越小越有效有效,那末那末,方差是否有下界呢？方差是否有下界呢？Rao-Cramer不等式不等式2);(lnE1D Xfn取取到到

9、等等号号时时,称称为为 的的有有效效估估计计量量.12三、相合性三、相合性定义定义如如果果对对0 ,有有，0Plim nn则则称称n 是是 的的相相合合估估计计量量。时时,),(21nXXX n.即当即当依概率收敛于依概率收敛于直观上看直观上看,当当n增大时增大时,样本信息增多样本信息增多,当然希望估计当然希望估计量越来越靠近真值的概率也越来越大量越来越靠近真值的概率也越来越大,这种想法就这种想法就引出了上面的一致性概念引出了上面的一致性概念.一致估计量一般地是当一致估计量一般地是当样本容量很大时样本容量很大时,才能显示其优点才能显示其优点.13由由切切比比雪雪夫夫大大数数定定律律,对对0 ,有有，0E1Plim1 XXnniin可可知知X是是EX的的一一个个一一致致估估计计量量。由辛钦大数定理可以证明，由辛钦大数定理可以证明，niiXXnS122)(11是是DX的一致估计量。的一致估计量。14练习：练习：P201 习题七习题七15END