随机变量及其分布课件.ppt

1、第第二二章章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数2.2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布2.3 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布我们观察一个随机现象，其样本空间的样本点可以是数量性质的，也可以是非数量性质的，概率论是从数量的角度来研究随机现象的统计规律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、处理和解决各种与随机现象有关的理论和应用问题为此，需要将样本空间的样本点与实数联系起来，建立样本空间与实数空间或某一部分的对应关系，这就是随机变量第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其

2、分布H,T 0H()1TX，0,1 0X HT1X 第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数抛掷骰子抛掷骰子,观察出现的点数观察出现的点数.,3)3(,2)2(,1)1(XXX,6)6(,5)5(,4)4(XXX).6,5,4,3,2,1(,61 iiXP=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有()X 则有则有第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数(),XXtt ,0XR25001000 X 定义2.1 设随机试验的样本空间为 =，X=X()是定义在样本空间 上的实值单值函数，称X=X()为随机变量 随机变量所取的值一般

3、采用随机变量所取的值一般采用小写字母小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示一、一、随机变量的概念随机变量的概念 X()R例：例：在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别,共有共有 4 个样本点个样本点:).,(),(,),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用若用 X 表示表示该家女孩子的个数时该家女孩子的个数时,则有则有,0)(1 eX,1)(2 eX,1)(3 eX,2)(4 eX可得随机变量可得随机变量 X(e),.,2,1,0)(4321eeeeeeeeeX一、一、随

4、机变量的概念随机变量的概念一、一、随机变量的概念随机变量的概念 例如例如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表表示，它是一个随机变量示，它是一个随机变量.收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X=0 再例如，再例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高从某一学校随机选一学生，测量他的身高.把身高看作随机变量把身高看作随机变量X,可以提出关于可以提出关于X的各种问题的各种问题.如如 PX1.7=？PX1.5=?P1.5X1.7=?.一、一、随机变量的概念随机变量的概念一、一、随机变量的概念随机变量的概念事件及事件及事件

5、概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律实例实例1 1 设盒中有设盒中有5个球个球(2白白3黑黑),从中任抽从中任抽3个个,则则(),X 抽抽得得的的白白球球数数是一个随机变量是一个随机变量.实例实例2 2 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则则(),X 射射中中目目标标的的次次数数是一个随机变量是一个随机变量.且且 X()的所有可能取值为的所有可能取值为:,0,1.2且且 X()的所有可能取值为的所有可能取值为:.30,3,2,1,0练习练习实例实例3 3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中

6、目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击现该射手不断向目标射击,直到击中目标为止直到击中目标为止,则则(),X 所所需需射射击击次次数数是一个随机变量是一个随机变量.且且 X()的所有可能取值为的所有可能取值为:1,2,3,.练习练习实例实例4 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过,如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的,)(此人的等车时间此人的等车时间变量变量XXX()的所有可的所有可能取值为能取值为:.5,0练习练习随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能

7、值是有限多个或无限可列个无限可列个,叫做叫做离散型随机变量离散型随机变量.随机变量随机变量 X为掷一个骰子出现的点数为掷一个骰子出现的点数.X 的可能值是的可能值是:随机变量随机变量连续型连续型实例实例11,2,3,4,5,6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量误差误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为(a,b).实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.).,0 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续

8、型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为随机变量的分类随机变量的分类 数轴上区间的类型有数轴上区间的类型有(a,b),(a,b,a,b),a,b,(-,b),(-,b,(a,+),a,+)这这8类，而区间类，而区间(-,b是有代表意义的。是有代表意义的。对于对于 xR，概率，概率PXx存在且为存在且为x的函数，这的函数，这个函数称为随机变量个函数称为随机变量X的分布函数。的分布函数。12xXxX21xXx故考虑概率故考虑概率PXx 二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数 设设X是一个随机变量，对任意实数是一个随机变量，对任意实数x，称事件称事件X x发生的概率发生的概率)(xXPx

9、F x为随机变量为随机变量X的分布函数，的分布函数，(1)在分布函数的定义中在分布函数的定义中,X是随机变量是随机变量,x是自变量是自变量.分布函数的定义域是全体实数。分布函数的定义域是全体实数。(2)分布函数的值域是分布函数的值域是0,1。1 1、随机变量的分布函数的定义、随机变量的分布函数的定义(3)对任意实数对任意实数 x1x2，随机点落在区间，随机点落在区间(x1,x2 内内的概率为：的概率为：=P X x2 -P X x1 P x1X x2=F(x2)-F(x1)如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数布函数 F(x)的值就表示的值就表示

10、X落在区间落在区间 内的内的,(x 概率概率.xxX随机点随机点实数点实数点(4)1 1、随机变量的分布函数的定义、随机变量的分布函数的定义由分布函数的定义易知,对任意实数a,b(a b),有 可见，若已知X X的分布函数F(x)，那么，计算X 落如某个区间的概率就非常方便了 由于分布函数是一个普通的函数，通过它我们可以方便地利用数学方法来研究随机变量 bXaP)()(aFbFaXPbXF )(11aFaXPaXP 1 1、随机变量的分布函数的定义、随机变量的分布函数的定义实例实例 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币,令令 .,0,1出反面出反面出正面出正面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函

11、数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x;0 0)(xXPxF 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 .1 .1,1,10,21,0,0)(xxxxF得得)(xF的分布函数图的分布函数图.1,1,10,21,0,0)(xxxxF21021OO1xy1()F x0()1F x()lim()0 xFF x,()lim()1xFF x()F x(0)lim()()txF xF tF x(),F xP Xxx x Xxx Xx 12 xx12 XxXx11 ()F xP Xx()F x22()P XxF x2

12、2、随机变量的分布函数的性质、随机变量的分布函数的性质【例】证明是一个分布函数 xxxF,2arctan1)(0)(,1)(FF该函数称为柯西分布函数该函数称为柯西分布函数证：显然证：显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增在整个数轴上是连续、单调严增函数，且函数，且 因此它满足分布函数的三条基本性质，故因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布函数是一个分布函数典型例题典型例题),(arctan)(xxBAxF,02)arctan(lim)(BAxBAFx,12)arctan(lim)(BAxBAFx.1,21 BA典型例题典型例题)1()1(11 FFXP )4(1214121

13、 .21).(arctan121)(xxxF 典型例题典型例题若若x0，X x为不可能事件为不可能事件,则则F(x)=PX x=0；若若x r，X x为必然事件，为必然事件，F(x)=PX x=1；事件事件X x表示所抛一点落在半径为表示所抛一点落在半径为x的圆内的圆内向半径为向半径为r的圆内随机抛一点，求此点到圆心的的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离距离X的分布函数，并求的分布函数，并求 32rXP典型例题典型例题若若0 x r，由几何概型知，由几何概型知222)(rxrxxXPxF rxrxrxxxF,10,0,0)(2从而从而X的分布函数为的分布函数为其图形为一连续曲线其图形为一连续曲

14、线典型例题典型例题且且321rXP 32rXP)32(1rF 953212 rxrxrxxxF,10,0,0)(2典型例题典型例题2.随机变量的分类随机变量的分类:离散型、连续型离散型、连续型.1.概率论是从数量上来研究随机现象内在规概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的律性的，把一些非数量表示的随机事件用数字表把一些非数量表示的随机事件用数字表示时示时，就建立起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念 因此因此随机变随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数量是定义在样本空间上的一种特殊的函数 3.分布函数分布函数 ,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 因此因此81838

15、3813210pX解解则则.31,5.5,31,XPXPXPXX列列概概率率值值并并求求下下的的分分布布律律及及分分布布函函数数求求”出出现现的的次次数数表表示示“三三次次中中正正面面将将一一枚枚硬硬币币连连掷掷三三次次练习练习,反反面面正正面面设设 TH;218381 ,0时时当当 x,10时时当当 x求分布函数求分布函数)(xXPxF x o 1 2 3)(xXPxF 0 XP;81)(xXPxF 0 XP1 XP;0,21时时当当 x,32时时当当 x;87838381 ,3时时当当 x)(xXPxF )(xXPxF 0 XP1 XP2 XPx o 1 2 3.1 0 XP1 XP2 XP3 XP31 XP3 13 XPXPXP)1()3(FF 81841 .3 ,1,32 ,87,21 ,84,10 ,81,0 ,0)(xxxxxxF所所以以3 XP.83