多维随机变量及其分布课件.ppt

1、课件制作：应用数学系概率论与数理统计概率论与数理统计二维随机变量（二维随机变量（X,Y）(X,Y)的的联合联合分布函数分布函数),(),(yYxXPyxFyx,)()(xXPxFxX的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量X二二维随机变量的维随机变量的联合联合分布函数分布函数定理：定理：的性质的性质（1 1）关于）关于x x或或y y非降非降（4 4）关于）关于x x或或y y右连续右连续（2 2）1),(0 yxF（3 3）1),(,0),(0),(,0),(FFxFyF（5 5）对）对 ,有有2121,yyxx 0),(),(),(),(12112122 yxFyxFyxFyxF),(

2、yxF(,)P xXxyYy1212 二维随机变量（二维随机变量（X,Y）离散型离散型,),(ijjipyYxXPi,j=1,2,ijijijpjip1,2,1,0X和和Y 的联合概率分布列的联合概率分布列 ,)(kkpxXPk=1,2,离散型离散型一维随机变量一维随机变量X,0kpkkp1k=1,2,X的概率分布列的概率分布列 (X,Y)的的联合概率分布列联合概率分布列的表格形式如下的表格形式如下:x1x2x iy1 y2 y j p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 p i j Y 二维随机变量（二维随机变量（X,Y）离散型离散型X和和Y 的联合分布函数的联合分布

3、函数 离散型离散型一维随机变量一维随机变量XX的分布分布函数的分布分布函数)()(xXPxFxxkxxkkkpxXP)(),(),(yYxXPyxF xxyyijijp设二维设二维连续型连续型随机变量（随机变量（X,Y）),(yxf的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为 ,则则0),(yxf 1),(dxdyyxf xydudvvufyxF),(),(连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的概率密度函数的概率密度函数1)(dxxf0)(xfxdttfxF)()()(xf 不难得出，对连续型不难得出，对连续型 随机变量随机变量(X,Y)，其概率密度与分布函数的关系如下：其概率密度与分布函数的

4、关系如下：yxyxFyxf),(),(2在在 f(x,y)的连续点的连续点 xydudvvufyxF),(),(设设G是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为A.若二若二维随机变量（维随机变量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度其它,0),(,1),(GyxAyxf则称则称（X,Y）在）在G上服从上服从均匀分布均匀分布.例例 两个常见的二维分布：两个常见的二维分布：若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度211222)()1(21exp121),(xyxf1)()(22222211 yyx记作（记作（X,Y）N(),222121则称（则称（X,Y）服从

5、参数为）服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.,2121其中其中均为常数均为常数,且且,0,0211|,2121一般，对二维一般，对二维离散型离散型随机变量随机变量(X,Y)，则则(X,Y)关于关于X的的边缘边缘概率分布列为概率分布列为X和和Y 的的联合联合概率分布列为概率分布列为,2,1,),(jipyYxXPijji jjiyYxXP),(jijp iijjpyYP)(P(X=xi)Pi.P(Y=yj)P.j(j=1,2,.)同理同理一般地一般地,记:()iP Xx 我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词格的边缘

6、上，由此得出边缘分布这个名词.联合分布与边缘分布的关系：联合分布与边缘分布的关系：由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.对对任意任意随机变量随机变量(X,Y)，X和和Y的的联合联合分布函数为分布函数为则则(X,Y)关于关于X的的边缘边缘分布函数为分布函数为(X,Y)关于关于Y的边缘的边缘分布分布函数为函数为 ),()(xFxFX ),()(yFyFY),(YxXP),(yYXP ),(),(yYxXPyxF 对对离散型离散型随机变量随机变量(X,Y)，X和和Y的的联合联合分布函数为分布函数为则则(X,Y)关于关于

7、X的的边缘边缘分布函数为分布函数为(X,Y)关于关于Y的的边缘边缘分布函数为分布函数为 xxixxjijXiippxFxF1),()(yyjiyyijYjjppyFyF1),()(),(),(yYxXPyxF xxyyijijp 对对连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)，X和和Y的的联合联合分布函数为分布函数为则则(X,Y)关于关于X的的边缘边缘分布函数为分布函数为(X,Y)关于关于Y的的边缘边缘分布函数为分布函数为 ),()(xFxFX ),()(yFyFY xydudvvufyxF),(),(xdudyyuf),(ydvdxvxf),(易知易知()(,),()(,).XYfxf x y

8、dyfyf x y dx一一、离散型随机变量的条件分布律、离散型随机变量的条件分布律 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为 ,2,1,1 ippxXPjjiii,2,1,1 jppyYPijijj(X,Y)关于关于 X 和关于和关于 Y 的边缘分布律分别为：的边缘分布律分别为：P X=xi,Y=yj=pi j,i,j=1,2,.由条件概率公式由条件概率公式,jjiyYPyYxXP 称为在称为在Y=yj 条件下随机变量条件下随机变量 X 的条件分布律的条件分布律.|jiyYxXP 其中其中PY=yj 0,)()()|(BPABPBAP 自然地引出如下定义

9、：自然地引出如下定义：,jijpp ,2,1 i,2,1,|jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij同样同样条件分布律条件分布律具有分布律的以下具有分布律的以下特性特性：10 P X=xi|Y=yj 0；10|2ijiyYxXP.1 jjpp 1ijijpp定义：定义：给定给定 y，设对于任意固定的正数，设对于任意固定的正数 ，|lim0 yYyxXP存在，存在，,lim0 yYyPyYyxXPP y-0,若对于任意实数若对于任意实数 x，极限，极限则称为在条件则称为在条件Y=y下下X的的条件分布函数条件分布函数，写成写成 P X x|Y=y，或记为，或记为 FX|Y(x|y).,)(

10、),()|(|xYYXduyfyufyxF)(),()|(|yfyxfyxfYYX 称为在条件称为在条件Y=y下下X的条件分布函数的条件分布函数.的条件下的的条件下的在在称为随机变量称为随机变量yYX.条件密度函数条件密度函数(,)Y XXf x yfy xfx的条件下的的条件下的在在称为随机变量称为随机变量xXY.条件密度函数条件密度函数条件密度函数的性质条件密度函数的性质，有，有对任意的对任意的性质性质x1 0 yxfYX 12 dxyxfYX性质性质 是密度函数是密度函数简言之，简言之，yxfYX 也有类似的性质也有类似的性质对于条件密度函数对于条件密度函数xyfXY设设 X,Y是两个随

11、机变量，若对是两个随机变量，若对任意任意的的x,y,有有 )()(),(yYPxXPyYxXP 则称则称X,Y相互相互独立独立.两个随机变量独立的定义是：两个随机变量独立的定义是：)()(),(yFxFyxFYX用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个随机变量，若对是两个随机变量，若对任意任意的的x,y,有有则称则称X,Y相互相互独立独立.它表明，两个随机变量它表明，两个随机变量相互相互独立时，它们的独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.若若(X,Y)是是离散型离散型随机变量，随机变量，则上述独立性的定义等价于：则上述独立性的

12、定义等价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则称则称X和和Y相互相互独立独立.对对(X,Y)的的所有可能取值所有可能取值(xi,yj),有有即即jiijppp),(yxf其中其中是是X,Y的联合密度，的联合密度，)()(),(yfxfyxfYX则称则称X,Y相互相互独立独立.对对任意任意的的 x,y,有有若若(X,Y)是是连续型连续型随机变量随机变量 则上述独立性的定义等价于：则上述独立性的定义等价于：分别是分别是X和和Y 的边缘密度的边缘密度)(),(yfxfYX一、离散型分布的情形一、离散型分布的情形 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk

13、,k=0,1,2,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.)()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性此即离散此即离散卷积公式卷积公式r=0,1,2,和的分布：和的分布：Z=X+Y 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求Z=X+Y的密度的密度 Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域D=(x,y):x+y z是直线是直线x+y=z 左下方的半平面左下方的半平面.二、连续型分布的情形二、连续型分布的情形和的分布：和的分布

14、：Z=X+Y 化成累次积分化成累次积分,得得zyxZdxdyyxfzF),()(yzZdydxyxfzF),()(yzdxdyyxf),(dyyyzfzFzfZZ),()()(由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 dxxzxfzFzfZZ),()()(以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘的边缘密度分别为密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:dyyfyzfzfYXZ)()()(这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式.dxxzfxfzfYXZ)()()(