第二章+计量经济学的统计学基础课件.ppt

1、第二章第二章 计量经济学的统计学计量经济学的统计学基础基础复习数理统计学复习数理统计学问题的提出问题的提出 首先，假定现在开始选学首先，假定现在开始选学计量经济学计量经济学课程的课程的同学们都已经学习过同学们都已经学习过数理统计学数理统计学了。即便通了。即便通过了过了数理统计数理统计的学分考试，也意识到数理统的学分考试，也意识到数理统计学在大学的数学基础课教学中，属于比较困难计学在大学的数学基础课教学中，属于比较困难的一部分。况且，同学们对的一部分。况且，同学们对数理统计数理统计的掌握的掌握可能不是很完备的。可能不是很完备的。其次，大多数人对数学公式、数学符号的健忘，其次，大多数人对数学公式、

2、数学符号的健忘，也提醒我们在进一步讨论计量经济学内容之前，也提醒我们在进一步讨论计量经济学内容之前，必须对数理统计学的基本内容进行一些温习与回必须对数理统计学的基本内容进行一些温习与回顾。顾。解决问题的思路解决问题的思路 1恳请同学们将数理统计学的书籍拿出来恳请同学们将数理统计学的书籍拿出来进行复习。进行复习。2在老师讲授的内容的同时，加强回顾，在老师讲授的内容的同时，加强回顾，多思考，多提问。多思考，多提问。3掌握掌握Windows 9x以及以及Office的应用，的应用，为毕业论文和大四谋业面试打下坚实的基为毕业论文和大四谋业面试打下坚实的基础。础。4熟悉熟悉Internet的使用，逐步养

3、成通过网的使用，逐步养成通过网络了解世界与世界同步。络了解世界与世界同步。主要内容主要内容 第一节第一节 总体、样本和随机函数总体、样本和随机函数 第二节第二节 对总体的描述对总体的描述随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第三节第三节 对样本的描述对样本的描述样本分布的数字特征样本分布的数字特征 第四节第四节 随机变量的分布随机变量的分布总体和样本的连接点总体和样本的连接点 第五节第五节 通过样本，估计总体（一）通过样本，估计总体（一）估计量的特征估计量的特征 第六节第六节 通过样本，估计总体（二）通过样本，估计总体（二）估计方法估计方法 第七节第七节 通过样本，估计总体（三）通过样本，估计

4、总体（三）假设检验假设检验 数理统计学在计量经济学中的地位数理统计学在计量经济学中的地位 事实上不懂得数理统计学就不可能学习和事实上不懂得数理统计学就不可能学习和研究计量经济学。研究计量经济学。数理统计学是计量经济学的基础，它为计数理统计学是计量经济学的基础，它为计量经济学提供了唯一而有效的方法。量经济学提供了唯一而有效的方法。此外，从某种意义上来说，计量经济学就此外，从某种意义上来说，计量经济学就是使数理统计学在建立经济模型中得以应是使数理统计学在建立经济模型中得以应用的一门科学。用的一门科学。复习数理统计学必须注意复习数理统计学必须注意 建议同学们将已经学过的建议同学们将已经学过的西方经济

5、学西方经济学、数理统计数理统计学学、线性代数线性代数和和Windows Windows 进行一次认真地复进行一次认真地复习。习。复习时，注重西方经济学的宏观部分，注重数理统计学复习时，注重西方经济学的宏观部分，注重数理统计学学科体系的逻辑结构分析、注重数理统计方法的阐述、学科体系的逻辑结构分析、注重数理统计方法的阐述、注重数理统计公式、定义和定理的内在涵义及其相互关注重数理统计公式、定义和定理的内在涵义及其相互关系，注重线性代数的求逆和相似形部分，注重系，注重线性代数的求逆和相似形部分，注重Windows Windows 的基本操作部分。的基本操作部分。在今后的学习中，注意经济学基本理论及其应

6、用，注意在今后的学习中，注意经济学基本理论及其应用，注意数理统计学基础与计量经济学的联系与活用，注意线性数理统计学基础与计量经济学的联系与活用，注意线性代数与统计量的计量与检验。代数与统计量的计量与检验。第一节第一节 总体、样本和随机函数总体、样本和随机函数 四个基本定义与数理统计学的逻辑结构四个基本定义与数理统计学的逻辑结构 一、随机变量的分布一、随机变量的分布 二、二元随机变量二、二元随机变量 三、独立性三、独立性 四、随机变量函数和分布四、随机变量函数和分布四个基本定义与数理统计学的逻辑结构四个基本定义与数理统计学的逻辑结构 总体和个体总体和个体 样本和样本容量样本和样本容量 随机变量随

7、机变量 统计量统计量 数理统计学的逻辑结构数理统计学的逻辑结构总体（集合）和个体（构成集合总体（集合）和个体（构成集合的元素）的元素）研究对象的全体称为总体或母体，组成总体的每个基本研究对象的全体称为总体或母体，组成总体的每个基本单位称为个体。注意：单位称为个体。注意：（1）按组成总体个体的多寡分为：有限总体和无限总体；）按组成总体个体的多寡分为：有限总体和无限总体；（2）总体具有同质性：每个个体具有共同的观察特征，）总体具有同质性：每个个体具有共同的观察特征，而与其它总体相区别；而与其它总体相区别；（3）度量同一对象得到的数据也构成总体，数据之间的）度量同一对象得到的数据也构成总体，数据之间

8、的差异是绝对的，因为存在不可消除的随机测量误差；差异是绝对的，因为存在不可消除的随机测量误差；（4）个体表现为某个数值是随机的，但是，它们取得某）个体表现为某个数值是随机的，但是，它们取得某个数值的机会是不同的，即它们按一定的规律取值，即个数值的机会是不同的，即它们按一定的规律取值，即它们的取值与确定的概率相对应。它们的取值与确定的概率相对应。样本和样本容量样本和样本容量 总体中抽出若干个个体组成的集体称为样总体中抽出若干个个体组成的集体称为样本。样本中包含的个体的个数称为样本的本。样本中包含的个体的个数称为样本的容量，又称为样本的大小。容量，又称为样本的大小。注意：抽样是按注意：抽样是按随机

9、原则随机原则选取的，即总体选取的，即总体中每个个体有同样的机会被选入样本。中每个个体有同样的机会被选入样本。随机变量随机变量 根据概率不同而取不同数值的变量称为随机变量根据概率不同而取不同数值的变量称为随机变量（Random Variable）。）。注意：注意：（1）一个随机变量具有下列特性：）一个随机变量具有下列特性：RV可以取许多不同的可以取许多不同的数值，取这些数值的概率为数值，取这些数值的概率为p，p满足：满足：0=p=1。（2）随机变量以一定的概率取到各种可能值，按其取值）随机变量以一定的概率取到各种可能值，按其取值情况随机变量可分为两类：离散型随机变量和连续型随情况随机变量可分为两

10、类：离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的取值最多可列多个；连续型机变量。离散型随机变量的取值最多可列多个；连续型随机变量的取值充满整个数轴或者某个区间。随机变量的取值充满整个数轴或者某个区间。（3）本书中，随机变量用）本书中，随机变量用x、y、等符号表示等符号表示离散型随机变量与连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量 10 20 30 40 501.0概率概率xx1.0离散型随机变量连续型随机变量总体与随机变量的关系总体与随机变量的关系 表示总体状况的数量特征，在总体中是参差不齐的，往表示总体状况的数量特征，在总体中是参差不齐的，往往以一定的概率取不同的数值，显然对于这样的数

11、值我往以一定的概率取不同的数值，显然对于这样的数值我们采用一般的变量是无法加以描述的。但是。可以采用们采用一般的变量是无法加以描述的。但是。可以采用一种特殊的变量来表示它们。这个特殊变量就是随机变一种特殊的变量来表示它们。这个特殊变量就是随机变量。因为，根据随机变量的定义，随机变量以一定的概量。因为，根据随机变量的定义，随机变量以一定的概率取许多不同的值，而且概率率取许多不同的值，而且概率p p满足：满足：0=p=10=p=1。例如，。例如，一批灯泡的寿命可以取许多不同的数值，每个灯泡的取一批灯泡的寿命可以取许多不同的数值，每个灯泡的取值不一定完全相同，但它们是按一定概率进行分布的，值不一定完

12、全相同，但它们是按一定概率进行分布的，但它们却是以一定的概率取某个寿命值。由此看来，随但它们却是以一定的概率取某个寿命值。由此看来，随机变量并不是一个随便变的量。机变量并不是一个随便变的量。由于我们主要研究总体的数量特征，可以直接用随机变由于我们主要研究总体的数量特征，可以直接用随机变量来表示所研究的总体。量来表示所研究的总体。总体、随机变量、样本间的联系总体、随机变量、样本间的联系 总体就是一个随机变量，所谓样本就是总体就是一个随机变量，所谓样本就是n个个（样本容量（样本容量n）相互独立且与总体有相同分）相互独立且与总体有相同分布的随机变量布的随机变量x1，xn。每一次具体抽样所得的数据，就

13、是每一次具体抽样所得的数据，就是n元随机元随机变量的一个观察值，记为（变量的一个观察值，记为（X1，Xn）。）。通过总体的分布可以把总体和样本连接起通过总体的分布可以把总体和样本连接起来。来。从两个角度来描述总体（随机变量）从两个角度来描述总体（随机变量）中个体的取值中个体的取值（1 1）动态）动态概率概率随机地选取一个个体取随机地选取一个个体取某个具体数值的可能性；某个具体数值的可能性；（2 2）静态）静态分布分布个体取某个数值，从全个体取某个数值，从全局来看这个具体的数值（可能不只一个个体取这局来看这个具体的数值（可能不只一个个体取这同一个数值）出现的次数占全体个体个数的比例，同一个数值）

14、出现的次数占全体个体个数的比例，形象地说就是这个具体的数值在数轴的这个位置形象地说就是这个具体的数值在数轴的这个位置上分布了多少。上分布了多少。分布也好、概率也好它们在度量上是一致的。分布也好、概率也好它们在度量上是一致的。这只是就离散型随机变量的通俗示意。这只是就离散型随机变量的通俗示意。总体分布是总体和样本的连接点总体分布是总体和样本的连接点 所谓分布，它是从全局而言的。通俗地说，分布就是所谓分布，它是从全局而言的。通俗地说，分布就是某个对象在什么地方，堆积了多少。某个对象在什么地方，堆积了多少。任何一个随机变量都有自己的分布，这个什么地方就任何一个随机变量都有自己的分布，这个什么地方就是

15、在数轴上取什么值，堆积多少就是在那里占有的比是在数轴上取什么值，堆积多少就是在那里占有的比例是多少或者概率有多大。例是多少或者概率有多大。总体可以表示为随机变量，并具有自身的分布。总体可以表示为随机变量，并具有自身的分布。样本则是相互独立与总体具有相同分布的样本则是相互独立与总体具有相同分布的n n元随机变量。元随机变量。因此，总体分布是总体和样本的连接点。从而，可以因此，总体分布是总体和样本的连接点。从而，可以通过对样本特征的研究达到对总体进行研究的目的。通过对样本特征的研究达到对总体进行研究的目的。因为它们具有相同的分布。因为它们具有相同的分布。须知，如果对于一个随机变量完全掌握了它的分布

16、规须知，如果对于一个随机变量完全掌握了它的分布规律，就完全明白无误了。律，就完全明白无误了。为什么样本是与所来自的总体具有相为什么样本是与所来自的总体具有相同的分布的随机变量同的分布的随机变量 因为样本具有二重性：因为样本具有二重性：一是指某一次具体的抽样的具体的数值（一是指某一次具体的抽样的具体的数值（X1X1，XnXn）；）；二是指一次抽样的可能结果，它的每一次观察都是随机二是指一次抽样的可能结果，它的每一次观察都是随机地从总体中（每一个个体有同样的机会被选入）抽取一地从总体中（每一个个体有同样的机会被选入）抽取一个，所以它是一组随机变量（个，所以它是一组随机变量（x x1 1，x x2

17、2，x xn n）而且，每一次抽样都来自同一总体（分布），也就是每而且，每一次抽样都来自同一总体（分布），也就是每一次抽样都带来了与总体一样的分布信息。所以，样本一次抽样都带来了与总体一样的分布信息。所以，样本与所来自的总体分布相同。与所来自的总体分布相同。由于总体分布完整的描述了总体的信息，有时我们也直由于总体分布完整的描述了总体的信息，有时我们也直呼总体为分布，不加区别地使用总体或分布。呼总体为分布，不加区别地使用总体或分布。统计量统计量 设（设（x1，x2，xn）为一组样本观察值，函数）为一组样本观察值，函数f（x1，x2，xn）若不含有未知参数，则称为统计量。）若不含有未知参数，则称为

18、统计量。统计量一般是连续函数。由于样本是随机变量，因而它统计量一般是连续函数。由于样本是随机变量，因而它的函数也是随机变量，所以，统计量也是随机变量。的函数也是随机变量，所以，统计量也是随机变量。统计量一般用它来提取或压榨由样本带来的总体信息。统计量一般用它来提取或压榨由样本带来的总体信息。就是统计量。样本方差1122ninixxs样本与总体之间的关系样本与总体之间的关系 样本是总体的一部分，是对样本是总体的一部分，是对 总体随机抽样后得到的集合。总体随机抽样后得到的集合。对观察者而言，总体是不对观察者而言，总体是不 了解的，了解的只是样本了解的，了解的只是样本 的具体情况。我们所要做的具体情

19、况。我们所要做 的就是通过对这些具体样的就是通过对这些具体样 本的情况的研究，来推知整本的情况的研究，来推知整 个总体的情况。个总体的情况。Xn+1XnX1样本总体数理统计学的逻辑结构数理统计学的逻辑结构（1 1）总体和样本）总体和样本 引入一个随机变量来描述总体引入一个随机变量来描述总体（2 2）对总体的描述：随机变量的数字特征）对总体的描述：随机变量的数字特征（3 3）对样本的描述：样本分布的数字特征）对样本的描述：样本分布的数字特征（4 4）总体与样本的连接点：随机变量的分布）总体与样本的连接点：随机变量的分布（5 5）如何用样本的数字特征估计总体的数字特征及数）如何用样本的数字特征估计

20、总体的数字特征及数据生成过程中的各种参数据生成过程中的各种参数 a a 估计量的优良性估计量的优良性 b b 估计方法估计方法 c c 对估计量的检验对估计量的检验假设检验假设检验 xVarxExx2方差数学期望，描述样本的离散程度样本方差，描述样本的一般水平样本平均数sX2a 估计量的优良性估计量的优良性 1、无偏性、无偏性 2、有效性、有效性 3、均方误最小、均方误最小 4、一致性、一致性b 估计方法估计方法 矩法矩法最大似然法最大似然法最小二乘法最小二乘法最小卡平方法最小卡平方法总体分布未知总体分布未知正态总体正态总体一般总体（大样）一般总体（大样）已知方差已知方差方差未知方差未知一般总

21、体（大样）一般总体（大样）正态总体正态总体估计期估计期望望单个总体单个总体两个总体两个总体估计方差（常用小样本下，正态总体估计估计方差（常用小样本下，正态总体估计其它参数）其它参数）点估计点估计区间估计区间估计c 对估计量的检验对估计量的检验假设检验假设检验 1.对总体分布特征的假设检验对总体分布特征的假设检验（1）一个正态总体的假设检验）一个正态总体的假设检验a 检验均值：已知方差和未知方差检验均值：已知方差和未知方差b 检验方差：未知均值（双尾和单尾）检验方差：未知均值（双尾和单尾）（2）两个正态总体的假设检验）两个正态总体的假设检验a 检验均值：未知方差但可假设其相等检验均值：未知方差但

22、可假设其相等b 检验方差：未知均值（双尾和单尾）检验方差：未知均值（双尾和单尾）（3）总体分布的假设检验）总体分布的假设检验a 总体为离散型分布总体为离散型分布b 总体为连续型分布总体为连续型分布 2.对各种系数、参数估计值的假设检验对各种系数、参数估计值的假设检验一、随机变量的分布（一）离散型随机变量的分布 定义：如果随机变量定义：如果随机变量 只取有限个或可列多个可能值，只取有限个或可列多个可能值，而且而且 以确定的概率取这些值，则称以确定的概率取这些值，则称 为离散型随机变为离散型随机变量。量。通常用分布列表示离散型随机变量：通常用分布列表示离散型随机变量：的概率分布也可用一系列等式表示

23、：的概率分布也可用一系列等式表示：P（=xi）=pi （i=1,2,）称为）称为 的概率函数。的概率函数。注意这里注意这里xi只出现一次。只出现一次。显然满足概率的定义：显然满足概率的定义：离散型随机变量的分布就是指它的分布列或概率函数。离散型随机变量的分布就是指它的分布列或概率函数。1110iiippXx1x2.xi.pp1p2.pi.离散型随机变量举例1 例例1 一批产品的废品率为一批产品的废品率为5%，从中任取一个进行，从中任取一个进行检验，以随机变量来描述这一试验并写出的分布。检验，以随机变量来描述这一试验并写出的分布。以以X=0表示表示“产品为合格产品产品为合格产品”，X=1表示表示

24、“产产品为废品品为废品”，那么分布列如下：，那么分布列如下：其概率函数其概率函数p（X=0）=0.95，p（X=1）=0.05，或或 p（X=i）=（0.05）i（0.95）1-i （i=0,1）X0（合格品）1（废品）P0.950.05离散型随机变量举例2 用随机变量用随机变量X描述掷一颗骰子的试验。描述掷一颗骰子的试验。分布的概率函数为：分布的概率函数为：P（X=i）=1/6（i=1，2，3，4，5，6）X123456P1/61/61/61/61/61/6（二）随机变量的分布函数 定义：若X是一个随机变量（可以是离散的，也可以是非离散的），对任何实数x，令F（x）=P（X=x），称F（x）

25、为随机变量X的分布函数。F（x），即事件“X=x”的概率，是一个实函数。对任意实数x1x2，有P（x1Xx2）=P（X=x2）-P（X=x1）=F（x2）-F（x1）由此可知，若已知X的分布函数，就知道X在任何区间上取值的概率。所以，分布函数完整的描述了随机变量的变化情况。x2x2f(x)F(x)Xx1x1分布函数F（x）的性质 xixxxxFxFxFFxFFxFxFxip足关系：分布函数与概率函数满。且在间断点上右连续至多有可列多个间断点）（）（为不减函数）（，）对一切（4103210,1limlim分布函数举例 例3 求例1中的分布函数 例4 求例2中的分布函数 111095.000 xx

26、xxXPxF 61656/5546/4436/3326/2216/110 xxxxxxxxXPxF01F(x)x xxiipxF（三）连续型随机变量的分布 定义：对于任何实数x，如果随机变量X的分布函数 F（x）可以写成 概率分布密度函数的性质：。常写成概率分布密度函数，也的为为连续型随机变量，称，则称其中xXXxXxdttxFx0 。有的连续点上，并且在显然）（）（xxFxdxxbXaPdxxxba1201为什么(x)称为概率分布密度函数 的概率大小。附近取值在能够反映分布的密集程度。但是点概率在值的概率，而是取不是表明xXxxXxXxxxxXxPxxFxxFxxxFxxlimlim00连续

27、型随机变量分布函数举例 bxbxaabaxaxxFdttxFababdxdxxxFbaXbxaxXx1011,05又因为解。上的均匀分布。试求服从区间则称其它有密度函数若例a x ba x bF(x)(x)（四）分布函数、概率函数、密度函数三者的关系 分布函数既适用于离散型也适用于连续型，是描分布函数既适用于离散型也适用于连续型，是描述各种类型随机变量最一般的共同形式。但是，述各种类型随机变量最一般的共同形式。但是，它不够直观。它不够直观。概率函数对于离散型的描述很直观。概率函数对于离散型的描述很直观。概率密度函数的大小能够反映概率密度函数的大小能够反映X在在x附近取值的概附近取值的概率的大小

28、，从而比分布函数更直观。率的大小，从而比分布函数更直观。所以，在实际应用中我们分别用概率函数和密度所以，在实际应用中我们分别用概率函数和密度函数对离散型和连续型随机变量进行描述。函数对离散型和连续型随机变量进行描述。二、二元随机变量 n元随机变量的定义：每次试验同时处理元随机变量的定义：每次试验同时处理n个随机变量个随机变量（X1，X2，Xn），它们的取值随试验的进行而变），它们的取值随试验的进行而变化。如果对任何一组实数（化。如果对任何一组实数（x1，x2，xn），事件），事件“X1 x1，X2 x2，Xn xn”有着确定的概率，则称有着确定的概率，则称n个随机变量（个随机变量（X1，X2，

29、Xn）总体为一个）总体为一个n元随机元随机变量。变量。n元随机变量分布函数的定义：元随机变量分布函数的定义：n元函数元函数F（x1，x2，xn）=P(X1 x1，X2 x2，Xn xn)（x1，x2，xn）属）属Rn，为，为n元随机变量分布函数。元随机变量分布函数。离散二元随机变量的定义：如果二元随机变量（离散二元随机变量的定义：如果二元随机变量（X,Y）所）所有可能取值为有限或可列多个，并且以确定的概率取各有可能取值为有限或可列多个，并且以确定的概率取各个不同数值，则称（个不同数值，则称（X,Y）为二元随机变量。）为二元随机变量。(X，Y)的联合分布表和联合分布函数(X，Y)为离散型的二元随

30、机变量，通常用联合分布函数为离散型的二元随机变量，通常用联合分布函数与联合分布表表示。与联合分布表表示。(X,Y)的概率分布表X Yy1y2yjX的边际分布x1p11p12p1jp1.x2p21p22p2jp2.xipi1pi2pijpi.Y的边际分布p.1p.2p.j1称 p(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,.)为(X,Y)的概率分布上式也称为(X,Y)的联合分布。离散二元分布函数的示例 例例6 同一品种的同一品种的5个产品中，有个产品中，有2个正品，个正品，3个次品，每次个次品，每次从中抽取一个进行质量检查，不放回的抽取，连续两次。从中抽取一个进行质量检查，不放回的抽取，连续

31、两次。令令“Xi=0”表示第表示第i次抽取到正品，而次抽取到正品，而“Xi=1”表示第表示第i次次抽取到次品，写出抽取到次品，写出(X1,X2)的分布。的分布。解解 p(X1=0,X2=0)=p(X1=0)P(X2=0)=(2/5)(1/4)=1/10 p(X1=0,X2=1)=p(X1=0)P(X2=1)=(2/5)(3/4)=3/10 p(X1=1,X2=0)=p(X1=1)P(X2=0)=(3/5)(2/4)=3/10 p(X1=1,X2=1)=p(X1=1)P(X2=1)=(3/5)(2/4)=3/10(X1,X2)的概率分布表X1 X201X1边际分布01/103/102/513/1

32、03/103/5X2边际分布2/53/51连续二元随机变量的定义 badcxydxdyyxdYcbXapdcbadsdttsyxyxyxYXyxYXdsdttsyxFyxyxFYXyx,1,20,1,),(,),(,有显然，对于任意实数）（，）对于一切实数（的性质：的联合密度函数。与为称。是二元连续型随机变量则称都有：，对于任意实数的分布函数，使得二元变量如果存在一个非负函数三、独立性（一）事件的独立性（二）随机变量的独立性（一）事件的独立性 定义定义1.12事件的独立性的定义事件的独立性的定义 如果事件如果事件A发生的可能性不受事件发生的可能性不受事件B发生与否的发生与否的的影响，即的影响，

33、即P(A/B)=P(A)，则称事件，则称事件A对于事件对于事件B独立。独立。显然，若事件显然，若事件A对于事件对于事件B独立，事件独立，事件B对于事件对于事件A也一定独立，我们称事件也一定独立，我们称事件A与事件与事件B相互独立。相互独立。A与与B独立的充分必要条件是：独立的充分必要条件是：P（AB）=P（A）P（B）（二）随机变量的独立性 定义定义1.13随机变量相互独立的定义随机变量相互独立的定义 对于任何实数对于任何实数x,y，如果二元随机变量，如果二元随机变量(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)等于等于X和和Y的边际分的边际分布的乘积，即布的乘积，即 F(x,y)=FX(

34、x).FY(y)则称则称X与与Y相互独立。相互独立。定义定义1.14边际分布的定义边际分布的定义 离散型二元随机变量离散型二元随机变量(X,Y)中，分量中，分量X（或（或Y）的概率分布称为的概率分布称为(X,Y)的关于的关于X（或（或Y）的边际）的边际分布，边际分布又称边缘分布。分布，边际分布又称边缘分布。四、随机变量函数的概念和分布 定义定义1.15 随机变量函数的定义随机变量函数的定义 设设f(x)是定义在随机变量是定义在随机变量X的一切可能取值集合上的一切可能取值集合上的函数。如果对于的函数。如果对于X的每一个可能值的每一个可能值x，都有另一个随，都有另一个随机变量机变量Y的取值的取值y

35、=f(x)与之相对应，则称与之相对应，则称Y为为X的函数，的函数，记作记作Y=f(X)。我们常常遇到一些随机变量，它们的分布往往难我们常常遇到一些随机变量，它们的分布往往难于直接得到（例如滚珠体积的测量值等），但与它们于直接得到（例如滚珠体积的测量值等），但与它们有关系的另一个随机变量的分布却是容易知道的（如有关系的另一个随机变量的分布却是容易知道的（如滚珠直径的测量值）。因此，就要研究两个随机变量滚珠直径的测量值）。因此，就要研究两个随机变量之间的关系，然后通过它们之间的关系，由已知随机之间的关系，然后通过它们之间的关系，由已知随机变量的分布求出与之有关的其它随机变量的分布。其变量的分布求出

36、与之有关的其它随机变量的分布。其间的关系通常用函数关系表示。间的关系通常用函数关系表示。第二节第二节 对总体的描述对总体的描述随机变量的数随机变量的数字特征字特征 一、数学期望一、数学期望 二、方差二、方差 三、数学期望与方差的图示三、数学期望与方差的图示一、数学期望一、数学期望 研究数字特征的必要性研究数字特征的必要性 两个最重要的数字特征两个最重要的数字特征（1）数学期望）数学期望（2）方差）方差研究数字特征的必要性研究数字特征的必要性 总体就是一个随机变量。对总体的描述就是对随机变量总体就是一个随机变量。对总体的描述就是对随机变量的描述。随机变量的分布就是对随机变量最完整的描述。的描述。

37、随机变量的分布就是对随机变量最完整的描述。但是，但是，（1）求出总体的分布往往不是一件容易的事情；）求出总体的分布往往不是一件容易的事情；（2）而且，在很多情况下，我们并不需要全面考察随机变量的变化）而且，在很多情况下，我们并不需要全面考察随机变量的变化情况，只需要了解总体的一些综合指标。一般说来，常常需要了解情况，只需要了解总体的一些综合指标。一般说来，常常需要了解总体的一般水平和它的离散程度；总体的一般水平和它的离散程度；（3）如果了解总体的一般水平和离散程度，就已经对总体有了粗略）如果了解总体的一般水平和离散程度，就已经对总体有了粗略的了解了；的了解了；（4）在很多情况下，了解这两个数字

38、特征还是深入求出总体分布的）在很多情况下，了解这两个数字特征还是深入求出总体分布的基础和关键。基础和关键。由此看来，研究随机变量的数字特征是十分必要的。由此看来，研究随机变量的数字特征是十分必要的。数学期望的定义数学期望的定义 定义定义2.1离散型随机变量数学期望的定义离散型随机变量数学期望的定义 假定有一个离散型随机变量假定有一个离散型随机变量X有有n个不同的可能取值个不同的可能取值x1,x2,xn，而，而p1,p2,pn是是X取这些值相应的概取这些值相应的概率，则这个随机变量率，则这个随机变量X的数学期望定义如下：的数学期望定义如下：数学期望描述的是随机变量（总体）的一般水平。数学期望描述

39、的是随机变量（总体）的一般水平。定义定义2.2连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义 的数学期望。称为绝对收敛，则，若积分有分布密度函数若连续型随机变量XdxxxxEdxxxxX 平均数。的所有可能取值的加权是随机变量实际上，XXExEniiinnxpxpxpxp12211女女儿儿期期待待父父亲亲 数学期望是最容易发生的，因而是可以期待的。它反映数据集中的趋势。数量概率10.10.120.10.230.41.240.20.850.213.3父亲钓鱼的试验数学期望数学期望的性质（1）如果a、b为常数，则 E(aX+b)=aE(X)+b（2）如果X、Y为两个随机变量，则 E(X+

40、Y)=E(X)+E(Y)（3）如果g(x)和f(x)分别为X的两个函数，则 Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X)（4）如果X、Y是两个独立的随机变量，则 E(X.Y)=E(X).E(Y)求离散型随机变量数学期望举例例1 甲、乙两射手在一次射击中的得分（分别用X、Y表示）的分布率如下：试比较两射手的射击技术水平，并计算如果二人各发一弹，他们得分和的估计值。解 EX=1 0.4+2 0.1+3 0.5=2.1 EY=1 0.1+2 0.6+3 0.3=2.2 E(X+Y)=2.1+2.2=4.3 EXEY 乙射手射击水平比较高 二人各发一弹，得分总和最可能在4.3分左右（即4分或5分）X1

41、23P0.40.10.5Y123P0.10.60.3二、方差 定义定义2.4 离均差的定义离均差的定义 如果随机变量如果随机变量X的数学期望的数学期望E(X)存在，称存在，称 X-E(X)为随机变量为随机变量X的离均差。显然，随机变量离均的离均差。显然，随机变量离均差的数学期望是差的数学期望是0，即，即 E X-E(X)=0 定义定义2.3 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差 定义定义2.5 随机变量离均差平方的数学期望，叫随机变量随机变量离均差平方的数学期望，叫随机变量的方差，记作的方差，记作Var(x),或或D(x)。方差的算术平方根叫标。方差的算术平方根叫标准差。准差。dxxXVX

42、XxEx2的方差以下式给出：为连续型随机变量，则若 xEExVarxVxxExx222方差的意义（1）离均差和方差都是用来描述离散程度的，）离均差和方差都是用来描述离散程度的，即描述即描述X对于它的期望的偏离程度，这种偏差越对于它的期望的偏离程度，这种偏差越大，表明变量的取值越分散。大，表明变量的取值越分散。（2）一般情况下，我们采用方差来描述离散程）一般情况下，我们采用方差来描述离散程度。因为离均差的和为度。因为离均差的和为0，无法体现随机变量的，无法体现随机变量的总离散程度。事实上正偏差大亦或负偏差大，同总离散程度。事实上正偏差大亦或负偏差大，同样是离散程度大。方差中由于有平方，从而消除样

43、是离散程度大。方差中由于有平方，从而消除了正负号的影响，并易于加总，也易于强调大的了正负号的影响，并易于加总，也易于强调大的偏离程度的突出作用。偏离程度的突出作用。方差的性质（1）Var(c)=0（2）Var(c+x)=Var(x)（3）Var(cx)=c2Var(x)（4）x,y为相互独立的随机变量，则 Var(x+y)=Var(x)+Var(y)=Var(x-y)（5）Var(a+bx)=b2Var(x)（6）a,b为常数，x,y为两个相互独立的随机变量，则(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)（7）Var(x)=E(x2)-(E(x)2例2 计算本节例1中甲射手的方差 例1

44、甲、乙两射手在一次射击中的得分（分别用X、Y表示）的分布率如下：E(X)=2.1 Var(X)=（-1.1）2 0.4+（-0.1）2 0.1+0.92 0.5 =0.89X123P0.40.10.5Y123P0.10.60.3三、数学期望与方差的图示 数学期望描述随机变量的集中程度，方差描述随机变量的分散程度。1方差同、期望变大 2期望同、方差变小51055第三节 对样本的描述样本分布的数字特征 一、样本分布函数 二、样本平均数 三、样本方差一、样本分布函数 数。，称它们为样本分布函本容量的个数除以样个观察值中不超过等于样本的这里，令排列为按大小的一组观察值，把它们为总体设nxnxxxnkx

45、nxxFxxxxxxFxxxxxxnnkknnn*1*2*1*1*2*121110,样本分布函数举例随机观察总体X10个数据如下及其排序X*X3.22.5-42.5023.22.542X*-40222.52.52.53.23.24求样本分布函数。4142.310/92.3310/835.210/75.2210/42010/20410/14010 xxxxxxxxxF二、样本平均数 总体的数字特征是一个固定不变的数，称为参数；样本的数字特征是随抽样而变化的数，是一个随机变量，称为统计量。定义3.1样本平均数的定义 样本平均数用来描述样本的平均水平（一般Common）水平。为样本平均数。，称对于样

46、本niinxxxxnx1211,三、样本方差和标准差 定义3.2 样本方差和标准差的定义xxsxxxxxxxxsxxxnnniinsinniiniinininin2122212121212221111111,。来描述样本离散程度的样本方差和标准差是用差。分别为样本方差和标准以及，称对于样本第四节 随机变量的分布总体和样本的连接点 一、几种重要的分布 二、各种分布之间的联系 三、分布是总体和样本之间的连接点 学习的重点应放在确定X服从什么分布，和各种分布的联系上。一、几种重要的分布 如果一个随机变量的分布已经确定，那么这个随机变如果一个随机变量的分布已经确定，那么这个随机变量的一切性质对于我们便

47、都是已知的。因为随机变量量的一切性质对于我们便都是已知的。因为随机变量的分布是对随机变量最完整的描述。的分布是对随机变量最完整的描述。例如例如X是广西十万大山中树木的高度，是广西十万大山中树木的高度，它的分布函数它的分布函数为为F(x)=P(X 时，MSE()=0，亦即Var()=0和Bias()2=0，也就是随着样本加大，的方差变小；的偏差接近于0，这就是一致性描述的情况。事实上一致性和MSE（）=0（当n=）这两条标准在计量经济学中往往是通用的。N小N大N极大小的概率第六节 通过样本，估计总体（二）估计方法 一、点估计（1）矩法（2）最大似然法（3）最小二乘法 二、区间估计（一）对总体期望

48、值的估计（二）对总体方差的估计（三）关于区间估计的几点说明一、点估计 所谓点估计就是给出被估计参数的一个特定的估计值。常用的点估计方法有四种：矩法、最大似然法、最小二乘法和X2法。这四种方法分别建立在不同的原则上。对同一样本根据四种方法估计同一参数，所获得的估计结果可能互不相同。然而由于各种建立原则的合理性，所以四种方法在研究中都经常使用。（1）矩法 矩法是求估计量最古老的方法。具体作法是：一样本矩作为相应总体矩的估计量；以样本矩的函数作为相应的总体矩同样函数的估计量。这种方法最常见的应用是用样本平均数估计总体数学期望。矩法比较直观，求估计量时有时也比较直接，但它求出的估计量往往不够理想。矩法

49、点估计的例题例1某灯泡厂某天生产了一大批灯泡，从中抽取了0个进行寿命试验，获得数据如下（单位：小时），问该天生产的灯泡的平均寿命是多少？抽样序号12345678910寿命（小时）1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200计算得样本算术平均数=1147，作为总体数学期望的估计值xxxxdxdxxdxxxxxxxxn2,22021111,001,22001在矩法下又是多少？问在矩法下其它取自均匀分布若样本例（2）最大似然法(Maximum Likelihood Estimation)1、一个重要的事实 2、最大似然法的概念 3、似然法函数 4

50、、最大似然法的定义 5、最大似然法的三个示例1、请注意如下事实 不同的总体会产生不同的样本，对于某一特定的样本，在我等不了解产生它的母体究竟为何物的观察者眼中，它来自一些母体的可能性要比来自另一些母体的可能性大，即一些母体更容易产生出我们所观察到的样本。举例说，假定我们抽取到（x1,x2,x8）我们知道它来自正态总体，且总体的方差是了解的，但是总体的均值未知。如下图所示。x6 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 分布B分布A概率x假定样本不是来自B就是来自A。如果样本来自B，观察到它的可能性非常小；真正的母体若是A，得到样本的可能性很大。显然我们宁愿承认样本来自A。是样本“替”我们“选择