第6-自编数项级数习题课分解课件.ppt

1、的的部部分分和和：1.1nnunnuuus 21收敛：收敛：1.2nnu存存在在nns lim nnslim此此时时，Sunn 1发散：发散：1.3nnu不不存存在在nns lim)(是是一一个个数数值值S的余项：的余项：1.4nnu 21nnnnuussr nnrlim 收收敛敛1nnu,0)(lim nnSS用用的的结结论论一一、对对任任意意项项级级数数都都适适 发散发散时时当当收敛收敛时时当当几何级数几何级数,1,1.10qqaqnn_,11 nnqq时时231qq qq 1.)0,(发散发散且且为常数为常数 dda2.等差级数等差级数 1)(nnda证证 因因,2)1(dnnnasn

2、nnslim所以所以,该级数发散该级数发散._)1(112 nnnq二、常用的几把尺子二、常用的几把尺子.1.31发散发散调和级数调和级数 nnnnnssnn2121112 212 nn)lim(2nnnss 则则,0 ss所以所以,级数级数发散发散.反证：假设反证：假设调和级数收敛调和级数收敛,其和为其和为 s.2121lim n)lim(2nnnss 但但，即即，这这是是矛矛盾盾不不等等式式，210 时时，发发散散当当时时，收收敛敛当当，级级数数11)0(1.41pppnpnp三、三、收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质与与 1.1nnu同敛散同敛散 1nnku都都收收敛敛，与与若若 11

3、.2nnnnvu.)(1收敛收敛则则nnnvu 1nnu若若 1nnv)(1nnnvu 则则发散发散.,1 nnu若若收敛收敛,发散发散,1nnv均发散均发散,)(1nnnvu 则则敛散不确定敛散不确定.3.3.添加或去掉添加或去掉有限项有限项不影响一个级数的敛散性不影响一个级数的敛散性.（对任意项级数）（对任意项级数）4.收敛级数对其各项任意加括号，所得级数仍收敛级数对其各项任意加括号，所得级数仍收敛收敛于原级数的和于原级数的和.5.5.(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)若级数若级数 收敛收敛,1nnulim0.nnu 则则该必要条件主要用于：该必要条件主要用于：(1)常用判别级数发散

4、常用判别级数发散;1)1(4332211nnn 发散发散如如,(3)必要条件不是充分条件必要条件不是充分条件.收收敛敛 10limnnnnuu n131211如：如：(2)也可用于验证级列极限的为也可用于验证级列极限的为“0”;1)1(3nnnnn再如再如nnu limnnn 111lim303 e级数级数发散发散.四、四、正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法有上界有上界收敛收敛.11nnnsu 2.2.不等式比较法：大收则小收，小发则大发不等式比较法：大收则小收，小发则大发3.3.极限比较法：极限比较法：,limlvunnn )0,0(nnvu,0)1(时时当当 l,0)2(时时当当 l,1

5、收收敛敛若若 nnv;1收敛收敛则则 nnu同同敛敛散散与与 11nnnnvu,)3(时时当当 l,1发散发散若若 nnv.1发散发散则则 nnu，无无穷穷小小的的阶阶的的比比较较极极限限法法的的本本质质：通通项项间间4.4.比值法：比值法：),0(lim1 是常数或是常数或，若若 nnnnuuu时时，1 时时，1 ;1收敛收敛 nnu;1发散发散 nnu.1时时，另另选选方方法法审审敛敛 5.5.根根值法值法),0(数或数或 nu,lim nnnu若若时时，1 时时，1 ;1收敛收敛 nnu;1发散发散 nnu.1时时，另另选选方方法法审审敛敛 ,11 nnn例如例如nnnnnu1),(01

6、 nn所以所以,原级数原级数收敛收敛.6.6.积分法积分法)()(1xfnfuunnn，记，记设有设有 与与则则 Nxxfd)(.1同敛散同敛散 nnu发发散散，如如 2ln1nnn 22.ln1nnn收收敛敛五五、任任意意项项级级数数交交错错级级数数：.1nnnnnnuu 111)1()1(或或)0(nu其中其中莱莱布布尼尼兹兹定定理理：0lim)2(nnu),3,2,1()1(1 nuunn若若.)1(11收敛收敛则则nnnu 1|nnur,1us 且且和和 2112ln)1(,)1(,1)1(nnnnnnnnn如如都是都是收敛的收敛的交错级数交错级数.（交交错错级级数数审审敛敛法法）注注

7、:比较比较 un与与un+1大小的方法有三种大小的方法有三种:(1)比值法比值法,11 nnuu?01 nnuu?(3)由由un找出一个连续可导函数找出一个连续可导函数),2,1(),(nnfun考察考察?(2)差值法差值法,nnnu 11)1()0(nu用莱布尼茨定理判别交错级数用莱布尼茨定理判别交错级数是否收敛时是否收敛时,要考察要考察un与与un+1大小大小.),(xf0)(xf使得使得2.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛例如例如,均条件收敛均条件收敛.1收敛收敛是指是指绝对收敛：绝对收敛：nnu 1nnu 2112ln)1(,)1(,1)1(nnnnnnnnn.11收敛收敛发散，而

8、发散，而是指是指条件收敛：条件收敛：nnnnuu 1nnu定理：定理：.11收敛收敛收敛收敛 nnnnuu注注:一个条件一个条件收敛收敛的交错级数的交错级数，它，它所有奇数项所成所有奇数项所成的的级数是发散的级数是发散的,所有偶数项所成的级数也是发散的所有偶数项所成的级数也是发散的.3.任意项级数的比值审敛法任意项级数的比值审敛法,lim11 nnnnnuuu 是任意项级数，若是任意项级数，若设设绝对收敛；绝对收敛；时，时，则则 11nnu.1另定另定时，时，发散；发散；时，时，11nnu 几几点点总总结结六六、任任意意项项级级数数审审敛敛的的,!.1，可可以以选选比比值值法法、遇遇nnann

9、.lnnna、通通项项中中可可以以有有，或或如如果果通通项项中中只只有有nnaln.2.选选用用极极限限比比较较法法.3数数审审敛敛取取绝绝对对值值后后，按按正正项项级级.比比值值法法或或极极限限比比较较法法根根据据通通项项的的结结构构，选选用用.4虑虑使使用用莱莱布布尼尼兹兹遇遇到到交交错错级级数数，优优先先考考发发”发发收收看看能能否否用用上上性性质质，如如“)2(发发散散如如：13)4(4)3(nnnnn参参考考）：判判敛敛方方法法的的选选择择顺顺序序（.50lim)1(nnu查查?发发散散如如：1)11(nnn或或比比值值法法；取取绝绝对对值值后后，用用比比较较法法)3(计计算算部部分

10、分和和的的极极限限)4(3210!310!2101)1(.审敛审敛例例,10!nnnu 解：解：,101limlim1 nuunnnn.原原级级数数发发散散5sin2!)2(1 nnnnn 这是任意项级数，这是任意项级数，解：解：5sin2!nnnunnn nnnn2!nv ,12lim1 evvnnn收敛收敛 1nv收敛收敛 1nu.原原级级数数绝绝对对收收敛敛 112tan)3(nn 这是正项级数，这是正项级数，解：解：1212tan2tan1limlim nnnnnnnnuu 12221lim nnnnn 121 .原原级级数数收收敛敛 1321)4(nn.10，这这是是正正项项级级数数

11、解解：当当 n,12121lim3 nnnn收敛，收敛，因因 1021n.原原级级数数收收敛敛 2ln)1()5(nnn.ln)1(2的敛散的敛散解：先判断解：先判断 nnn，22ln1ln)1(nnnnn11ln1lim nnnn因因发散，发散，而而 21n.ln)1(2发散发散故故 nnn的敛散性的敛散性再判断再判断 2ln)1(nnn0ln1lim nnn这是交错级数，满足这是交错级数，满足,ln)(xxxf 令令)2(,011)(xxxf单调增加，单调增加，故故)(xf单调减少，单调减少，)(1xf单调减少，单调减少，xxln1 单调减少，单调减少，nnln1,1 nnuu即即收敛，收

12、敛，所以所以 2ln)1(nnn.该级数条件收敛该级数条件收敛解解2lnlimnnn 231nnnnlnlim 0 而级数而级数收敛收敛,1231nn.ln,12收收敛敛故故 nnn 12ln)6(nnn 11)7(nnnba0.ab 0,ab具有相同的敛散性具有相同的敛散性,1 a时时,级数级数收敛收敛，10 a时时,级数级数发散发散.解解111lim11lim nnnnnnababa 1111nnnnnaba与与,1111nnnnababa (8)(8)试确定级数试确定级数 它收敛于它收敛于 且满足且满足 ,1 nnu,3211,(1,2,3,)3nknknruun 并问它是绝对收敛还是条

13、件收敛并问它是绝对收敛还是条件收敛?解解 由由 nnnrru 1得得,211 nnuu所求级数是一个公比为所求级数是一个公比为 的几何级数的几何级数,21,31311nnuu 132nnu再由再由得得 11,u 故所求级数为故所求级数为 1121 nn该级数该级数绝对收敛绝对收敛.,3221111uu 而正项级数而正项级数 12nna与与 121nn均收敛均收敛.由由正项级数正项级数的比较判别法：的比较判别法：因此因此,1nnna绝对收敛绝对收敛,故收敛故收敛.正项级数正项级数 收敛收敛.1nnna(9)(9)设级数设级数 收敛收敛,证明：证明：收敛收敛.12nna 1nnna证证因因 221

14、12nnaann.!)10(1发发散散证证明明级级数数 nnnnnennnnnnnnnennenennneuu)11(1!)1()!1(111 证证，因因enn )11(,11 nnuu,1nnuu ,0lim nnu从而从而.!1发发散散由由收收敛敛的的必必要要条条件件，nnnnne一、单项选择题：一、单项选择题：1)1()(nnnuA 12)(nnuB)()(11 nnnuuC 1)(nnuD 1nnu1.若若 收敛收敛,则下列级数收敛的是则下列级数收敛的是 【】C 1)1()(nnnuA 12)(nnuB)()(11 nnnuuC 1)(nnuD 1nnu2.若若 发散发散,则下列级数发

15、散的是则下列级数发散的是 【】D练练 习习 题题3.设设 p 为常数为常数,则级数则级数 【】(A)绝对收敛绝对收敛 (B)条件收敛条件收敛 (C)发散发散 (D)收敛性与收敛性与p有关有关221(1)nnnp 4.设设a为为非零常数非零常数,若级数若级数 收敛收敛,则必有则必有【】1nnar ()1Ar ()1Br ()Cra()Dra BB收敛收敛收敛时收敛时当当 11,)(nnnnnbabA,0lim nna5.设有两个数列设有两个数列 若若,nnba则则【】发散发散发散时发散时当当 11,)(nnnnnbabB收敛收敛收敛时收敛时当当 1221,)(nnnnnbabC发散发散发散时发散

16、时当当 1221,)(nnnnnbabDC6.下列下列级数中级数中,条件收敛的是条件收敛的是 【】1(1)()(1)nnnAn 211()(1)nnnBn 21(1)()nnCn 1()(1)(1)nnDnn DC11()(2)nnDn n 7.下列下列级数中级数中,收敛的是收敛的是 【】122)!()(nnnA 1!3)(nnnnnB6sin1)(12 nnCn 21)1(nnknn ,0 k解解21)1(nnknn 21)1(nknnnnn1)1(1 绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛(A)发散发散(B)绝对收敛绝对收敛(C)条件收敛条件收敛(D)敛散性与敛散性与k有关有关8.设常数设常数

17、则级数则级数C【】二、判别下列级数的敛散性二、判别下列级数的敛散性:解解1.因因 于是于是 )22(422 nnnnnnpp1222lim21pnpnnnn 222.1npnnn 2cos1.2nn 所以所以,级数级数 具有相同的敛散性具有相同的敛散性.当当 时时,原级数发散原级数发散.21 p21 p当当 时，原级数收敛时，原级数收敛;与与 222pnnnn 1221pnn 2.,时时当当 n,21cos12 nn ,12收收敛敛而而 nn.cos1,1收敛收敛所以所以 nn 112102)1()1()1)(1)(1(nnnnaaaaa敛散性敛散性.解解 nnnuu1lim 10 a01 a

18、211 aa故当故当,10时时 a发散发散.收敛收敛;,1时时 a nnnaa1lim13.设设 判别级数判别级数,0 a三、三、证明证明下列各题下列各题:1nnu1.设级数设级数 的前的前2n 项和为项和为 且且2lim,nnSa 21nnu 1nnu又已知又已知 收敛收敛,证明证明级数级数 收敛收敛,并求其和并求其和.2.设设 有界有界,证明证明级数级数 收敛收敛.(1,2,)nnun 21nnu 证证1.因因 收敛收敛,所以所以21nnu 2lim0,nnu 0lim nnu,2nS,(1,2,)nnuMn于是于是21221limlim().nnnnnSSua1.nnua 1nnu 因此因此 收敛，且收敛，且2.因因 有界，有界，所以所以 ，使，使(1,2,)nnun 0M222,(1,2,),nMunn由正项级数的比较判别法由正项级数的比较判别法:21nnu 级数级数 收敛收敛.221nMn 而级数而级数 收敛收敛.,11|11发散发散证明级数证明级数满足满足 nnnnnunuuu证证 由已知条件由已知条件,11|1nuunn 知知|1 nu因此因此,|limnnu 所以所以,.0lim nnu由级数收敛的必要条件由级数收敛的必要条件,.1发散发散 nnu,0|nu 3.若数列若数列