相互独立的随机变量课件.ppt

1、概率论概率论 随机变量相互独立的定义随机变量相互独立的定义 例题例题二维随机变量的推广二维随机变量的推广4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量概率论概率论 两事件两事件 A,B 独立的定义是：若独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件 A,B 独立独立.设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立.一、随机变量相互独立的定义一、随机变量相互独立的定义概率论概率论)()(),(yFxFyxFYX用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若

2、对任意的x,y,有有则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立.它表明，两个它表明，两个r.v相互相互独立时，它们的联合分布函独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积数等于两个边缘分布函数的乘积.概率论概率论 若若(X,Y)是离散型是离散型 r.v，则上述独立性的定义等，则上述独立性的定义等价于：价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP 则称则称 X 和和Y 相互相互独立独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi,yj),有有概率论概率论(,)f x y其中其中是是X和和Y的联合密度，的联合密度，(,)()()XYf x yfx fy 几乎处处成立，则称几乎处处

3、成立，则称 X 和和 Y 相互相互独立独立.对任意的对任意的 x,y,有有 若若(X,Y)是连续型是连续型r.v，则上述独立性的定义，则上述独立性的定义等价于：等价于：这里这里“几乎处处成立几乎处处成立”的含义是：在平面上除的含义是：在平面上除去面积为去面积为 0 的集合外，处处成立的集合外，处处成立.分别是分别是X的边缘密度和的边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度.(),()XYfxfy概率论概率论 例例1 1 袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球袋中有二个白球，三个黑球，从中取两次球第一次取到黑球第一次取到白球定义01:X第二次取到黑球第二次取到白球01Y求：（求：（X,YX,Y）的联合分

4、布及边缘分布，分有放回和无放）的联合分布及边缘分布，分有放回和无放回讨论回讨论解：有放回解：有放回01011jpXY ip53535253535252525352535201011jpXY ip425342534352415253525352不放回不放回有放回时，有放回时，X X和和Y Y相互独立相互独立；不放回时则不放回时则不是不是概率论概率论 设设 （X,Y）N()221212,X,Y相互独立吗？相互独立吗？证明：证明：X,Y相互独立相互独立0证：证：212211211(,)exp()2(1)21xf x y 21221222()()()xyy0由，得2212121211(,)exp()(

5、)22xyf x y 例例概率论概率论 2212121211(,)exp()()22xyf x y),(211NX因为因为),(222NY2121()211(),2xXfxex 所以所以2222()221(),2xYfyey (,)()()XYf x yfx fy易见易见由由x,y的任意性知，上式对一切的任意性知，上式对一切x,y成立，成立，故故X和和Y相互独立相互独立概率论概率论 已知已知X和和Y相互独立相互独立,(,)()()XYx yf x yfx fy即对有21,yx令1212(,)()()XYfff则，212211211(,)exp()2(1)21xf x y 21221222()(

6、)()xyy212121112221 即2110故概率论概率论 例例3 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为(),0,0(,)0,x yxexyf x y其它问问X和和Y是否独立？是否独立？x0 y 0()0()x yYfyxedx,xxe ()0()x yXfxxedy,ye 解：解：概率论概率论 即即(,)()()XYf x yfx fy可见对一切可见对一切 x,y,均有：均有：故故 X,Y 独立独立.,0(),0,0 xXxexfxx,0(),0,0yYeyfyy概率论概率论 例例4 已知已知 (X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为14,01,01(,)0,xyxyf x y其他(

7、1)28,0,01(,)0,xyxyyfx y其他(2)讨论讨论X,Y 是否独立？是否独立？概率论概率论 解解(1)1)由图可知边缘密度函数由图可知边缘密度函数为为112,01,()0,Xxxfx其他2,01,()0,Yyyfy其他显然，显然，1(,)()()XYf x yfx fy故故X,Y 相互独立相互独立概率论概率论(2)由图可知边缘密度函数为由图可知边缘密度函数为24(1),01,()0,Xxxxfx其他34,01,()0,Yyyfy其他显然，显然，2(,)()()XYfx yfx fy故故X,Y 不独立不独立11概率论概率论 判断连续型二维随机变量相互独立的判断连续型二维随机变量相互

8、独立的q 设设f(x,y)是连续型二维随机变量是连续型二维随机变量(X,Y)的联合的联合 密度函数，如果其大于密度函数，如果其大于0的区域不是矩形，则的区域不是矩形，则 X与与Y一定不独立。一定不独立。概率论概率论 若两个随机变量相互独立若两个随机变量相互独立,且又有相同且又有相同 的分布的分布,不能说这两个随机变量相等不能说这两个随机变量相等.如如XP-1 10.5 0.5Y P-1 10.5 0.5X,Y 相互独立，则相互独立，则X-1 1-1 10.25 0.25Y pij0.25 0.25P(X=Y)=0.5,故不能说故不能说 X=Y.注意注意概率论概率论),(YXijp)1,1()2

9、,1()3,1()1,2()2,2()3,2(619118131 解解的分布律改写为的分布律改写为将将),(YX练习：练习：的的分分布布律律为为已已知知),(YX.,(2);)1(的值的值与与求求相互独立相互独立与与若若应满足的条件应满足的条件与与求求 YX概率论概率论(1)由分布律的性质知由分布律的性质知,0,0 ,132 .310,0:且且应应满满足足的的条条件件是是与与故故XY32112619118131 iixXPp 31 31jjyYPp 21 91 181 32概率论概率论)3,2,1;2,1(,jipppjiij特别有特别有2112 ppp 913191,92 又又,31 .91

10、 得得(2)因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以有所以有概率论概率论 例例5 一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时时,设他们两人到达的时间相互独立设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办求他们到达办公室的时间相差不超过公室的时间相差不超过 5 分钟的概率分钟的概率.解解,达办公室的时间达办公室的时间书到书到分别是负责人和他的秘分别是负责人和他的秘和和设设YX的概率密度分别为的概率密度分别为和和由假设由假设YX ,0,128,41)(其它其它xxfX ,0,97,21

11、)(其它其它xyfY,相互独立相互独立由于由于YX的概率密度为的概率密度为得得),(YX概率论概率论)()(),(yfxfyxfYX .,0,97,128,81其它其它yx121 YXP Gyxyxfdd),().(81的面积的面积G Oxy 8 1279ABB CC G概率论概率论 的面积的面积的面积的面积的面积的面积而而CBAABCG 22121121121321 .61 于是于是121 YXP)(81的面积的面积G .481.4815分分钟钟的的概概率率为为不不超超过过到到达达办办公公室室的的时时间间相相差差因因此此负负责责人人和和他他的的秘秘书书Oxy 8 1279ABB CC G概率

12、论概率论.,21为任意实数为任意实数其中其中nxxx二、二维随机变量的推广二、二维随机变量的推广,),(221121nnnxXxXxXPxxxF 1.分布函数分布函数的的分分布布函函数数维维随随机机变变量量),(21nXXXn概率论概率论 有有实数实数使对于任意使对于任意若存在非负函数若存在非负函数nnxxxxxxf,),(2121.),(),(2121度函数度函数的概率密的概率密为为则称则称nnXXXxxxf nnxxxnnnxxxxxxfxxxF11,ddd),(),(2121212.概率密度函数概率密度函数概率论概率论.),(121分布函数分布函数边缘边缘的的关于关于维随机变量维随机变量

13、称为称为XXXXnn.),(),(2121边缘分布函数边缘分布函数的的关于关于维随机变量维随机变量称为称为XXXXXnn 其它依次类推其它依次类推.),()(111 xFxFX),(),(2121,21 xxFxxFXX3.边缘分布函数边缘分布函数概率论概率论 边缘概率密度分别为边缘概率密度分别为的的关于关于关于关于则则),(,),(21121XXXXXXn.)1(),(21率密度率密度维边缘概维边缘概的的同理可得同理可得nkkXXXn ,),(),(2121密度密度的概率的概率是是若若nnXXXxxxf,ddd),()(322111nnXxxxxxxfxf .ddd),(),(432121,

14、21nnXXxxxxxxfxxf 4.边缘概率密度函数边缘概率密度函数概率论概率论 5.相互独立性相互独立性有有若对于所有的若对于所有的nxxx,21.,21是相互独立的是相互独立的则称则称nXXX有有若对于所有的若对于所有的nmyyyxxx,2121),()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn),(),(),(2122112121nmnmyyyFxxxFyyyxxxF,),(),(),(,2121212121的分布函数的分布函数和和依次为随机变量依次为随机变量其中其中nmnmYYYXXXYYYXXXFFF.),(),(11相互独立相互独立与与则称随机变量则称随机变量nmY

15、YXX概率论概率论.),(),(,.),2,1(),2,1(,),(),(21212121相互独立相互独立和和则则是连续函数是连续函数若若又又相互独立相互独立和和则则立立相互独相互独和和设设nmjinmYYYgXXXhghnjYmXYYYXXX 定理定理6.重要结论重要结论概率论概率论 这一讲，我们由两个事件相互独立的概念这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握们牢固掌握.小结小结概率论概率论 布置作业布置作业1.概率统计概率统计练习册练习册2.概率统计概率统计P86:13,14,15,16,17,18.