二维随机变量及其分布函数课件.ppt

1、20102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现第三章 多维随机变量及其分布n3.1 二维随机变量及分布函数2 220102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现则称则称 为为二维随机变量二维随机变量或二维随机向量或二维随机向量.(,)X X Y Y定义 设设 为某随机试验的样本空间为某随机试验的样本空间.如对每个样本点如对每个样本点W W有一对有序实数有一对有序实数 与之对应，与之对应，(),()(),()XYXYwwwww w W W3.1.1 二维随机变量例一 考察成都的天气状况，令考察成都的天气状况，令 例二 考察某原始森林里的某食物链，令考察某原始森林里的某食物链，令

2、X：老鼠的数量；：老鼠的数量；Y：老鹰的数量：老鹰的数量则则 就是一个二维连续型随机变量就是一个二维连续型随机变量.(,)(,)x hx h：成都的温度；：成都的温度；：成都的湿度：成都的湿度x xh h则则 就是一个二维离散型随机变量就是一个二维离散型随机变量.(,)(,)X YX Y3 320102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现二维随机变量分布函数的定义及几何意义x xO O(),x yx yy y表示随机变量表示随机变量 F(,)F(,)x yx y(,)(,)X YX Y落在图中阴影区域中的概率落在图中阴影区域中的概率合分布函数合分布函数.()()()2 2F,P,R,

3、F,P,R,x yXx Yyx yx yXx Yyx y=定义 设设 为二维随机变量，定义为二维随机变量，定义(,)X X Y Y称称 为为 的的分布函数分布函数，或为，或为 X 与与Y 的的联联F(,)(,)F(,)(,)x yX Yx yX Y4 420102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现3.1.2 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变量二维离散型随机变量 可能取值最多有可列个的二维可能取值最多有可列个的二维率函数率函数或或联合分布律（联合分布）联合分布律（联合分布）.且取这些值的概率为且取这些值的概率为(,),1,2,(,),1,2,ijijx yi jx yi

4、 j=L L定义定义 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 可能的取值为可能的取值为(,)(,)X YX Y()P,1,P,1,1 12 2ijijijijXx Yypi jXx Yypi j=L L则称则称 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量 的的联合概联合概(,)(,)X YX Y1 1随机变量随机变量.例如 某前面例二中的二维随机变量就是一个二维随某前面例二中的二维随机变量就是一个二维随机变量机变量.5 520102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现121211112111122212222122 XYyyXYyyxppxppxppxppL LL LL LMMMOM

5、MMO二维离散型二维离散型r.v.的分布律常如下表格表示：的分布律常如下表格表示：(,)(,)X YX Y二维联合分布律的表示及性质,111,1111 12)2).ijijijiji jiji jijpppp=邋邋二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的分布律有性质为：的分布律有性质为：(),X YX Y0,0,1)1)1,2,1,2,ijijpi jpi j=L L；非负性非负性归一性归一性6 620102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现实例 抛抛 2枚质地均匀的硬币，枚质地均匀的硬币，X 表出现正面的枚数与出表出现正面的枚数与出 现背面的枚数之差的绝对值现背面的枚数之差的绝对

6、值,Y 表正面出现的枚数表正面出现的枚数.解答 由题意知，由题意知，X 的可能取值为的可能取值为 0,2，Y 的可能取值为的可能取值为 0,()()P0,0P0P0,0P0XYXY=；()111111P2,0P2,0224224XYXY=；1,2，并且，并且 求概率求概率P P();X XY Y 求求 的联合分布律；的联合分布律；(,)(,)X YX Y 为为 的分布函数，求的分布函数，求(,)(,)X YX YF(,)F(,)X YX YF F(2 2.8 8,1 1.5 5).7 720102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现()()P2,1P0P2,1P0XYXY=；()11

7、1111P2,2.P2,2.224224XYXY=012012001 20001 2021 401 421 401 4XYXY()111111P0,12P0,12222222XYXY=鬃=鬃=；()()P0,2P0P0,2P0XYXY=；于是于是 的联合分布律为的联合分布律为(,)(,)X YX Y8 820102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现从而有从而有()121312131111P0;P0;2222XYppXYpp=+=+=+=+=012012001 20001 2021 401 421 401 4XYXY()()F F 2 2.8 8,1 1.5 5P P2 2.8 8,

8、1 1.5 5X XY Y=1112212211122122pppppppp=+=+1131130000244244=+=+=9 920102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现3.1.3 二维连续型随机变量及联合密度及性质()()()F,P,F,P,y yx xx yXx Yyf u v dudvx yXx Yyf u v dudv-=蝌蝌二维随机变量密度函数的性质二维随机变量密度函数的性质定义 设设 为二维为二维 r.v.r.v.，若存在非负可积函数，若存在非负可积函数(,)(,)X YX Y(,)(,)f x yf x y使得对任意实数使得对任意实数 ，有，有,x yx y归一

9、性归一性)().2 2,1,1f x y dxdyf x y dxdy+-=蝌蝌)()()2 2,0,;,0,;1 1f x yx yRf x yx yR非负性非负性则称则称 为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量，为其联为其联(,)(,)X YX Y(,)(,)f x yf x y合密度函数合密度函数，记为，记为(,)(,).(,)(,).X Yf x yX Yf x y:101020102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现定理 设设 为二维连续型为二维连续型 r.v.r.v.，为其密度函数，为其密度函数，(),X YX Y(),f x yf x y()()00002 2,0

10、0,00F,F,xxyyxxyyx yx yf xyf xyx yx y=抖抖()()()P,P,G GX YGf x y dxdyX YGf x y dxdy=蝌蝌为其分布函数为其分布函数.()F,F,x yx y 连续，且在连续，且在 的连续点的连续点 处有处有(),f x yf x y()0000,xyxy()F,F,x yx y 对任意平面曲线对任意平面曲线 ，有，有()()P,0P,0X YX YL LL L=若若 在平面集合在平面集合 上可积，则上可积，则2 2G G (),f x yf x y111120102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现实例 设二维连续型设二维

11、连续型 r.v.r.v.的密度函数为的密度函数为(),X YX Y()(),0,.0,.axyx yGaxyx yGf x yf x yel seel se =象限内的部分，如图象限内的部分，如图.其中其中 表示由曲线表示由曲线 和和 所围区域在第一所围区域在第一2 21 1yxyyxy=G Go o1 1y y=G G2 2yxyx=x x1 11 1y y 求求.a a 求求()P1 2,1 2P1 2,1 2XYXY 求求()P3 4,P3 4,XYXY+()P21 16.P21 16.XYXY+121220102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现()1,1,f x y dx

12、dyf x y dxdy+-=蝌蝌2 21 11 10 06 6x xa ad dx xa ax xy yd dy y=蝌蝌 由密度函数的性质有由密度函数的性质有6 6a a=解答 显然，显然，()2 2,01,1,01,1Gx yxxyGx yxxy=()P1 2,1 2P1 2,1 2XYXY0.50.50.50.5o o1 1y y=G G2 2yxyx=x x1 11 1y yyxyx=()1 21 21 21 2,f x y dxdyf x y dxdy-=蝌蝌2 21 1 2 21 1 2 20 06 6x xd dx xx xy yd dy y=蝌蝌1 11 11 12 28 8

13、=131320102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现 ()P3 4P3 4XYXY+()3 3 4 4,x xy yf f x x y y d dx xd dy y+=蝌蝌2 21 13 32 24 40 06 6x xx xd dx xx xy yd dy y-=蝌蝌1 17 70 0.0 04 44 43 31 12 28 83 3=3 34 4xyxy+=+=1 12 2o oG G2 2yxyx=x x1 11 1y y141420102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现21 1621 16xyxy+=+=()P21 16P21 16XYXY+()2 21 1

14、 1 16 6,x xy yf f x x y y d dx xd dy y+=蝌蝌2 21 1 1 16 61 19 9 1 16 60 06 6y yd dy yx xy yd dx x-+蝌蝌o oG G2 2yxyx=x x1 1y y9 91 16 69 9 1 16 60 00 06 6y yd dy yx xy yd dx x=蝌蝌=L L关键：找出正关键：找出正确的积分区域确的积分区域151520102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现()()1 1,()(),0,0,x yGx yGm Gm Gf x yf x yothersothers =，其中其中 G 为平面

15、上的有界区域，为平面上的有界区域，为其面积为其面积.()()m Gm G二维均匀分布定义 若二维连续型随机变量若二维连续型随机变量 的密度函数为的密度函数为(,)X X Y Y称称 在在 上服从上服从均匀分布均匀分布.G G(,)X X Y Y161620102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现解答 显然显然上均匀分布，求关于上均匀分布，求关于 的方程的方程2 20 0tX tYtX tY+=+=t t(),:11,01,:11,01Gx yxyGx yxy=-=-()()()1 1,1 1,0 0,1 12 2,0 0,x xy yX X Y Yf f x x y yo ot t

16、h he er rs s =:实例 若二维连续型随机变量若二维连续型随机变量 在区域在区域(,)X X Y Y有实根的概率有实根的概率y yx xo o1 1-1 11 1171720102010年春季数学学院邓传现年春季数学学院邓传现2 21 14 4y yx x=y yx xo o1 1-1 11 12 21 11 14 41 10 01 12 2x xd dx xd dy y-=蝌蝌()2 2P P4 4(,)D DX XY Yf f x x y y d dx xd dy y=蝌蝌2 24 40 0X XY YD D=-有实根有实根2 20 0tX tYtX tY+=+=故所求概率为故所求概率为1 11 12 2=