概率论与数理统计(浙大版)第一章课件.ppt

1、1第第1章章 随机事件及其概率随机事件及其概率1.1 随机事件随机事件1.4 全概率公式与逆概率公式全概率公式与逆概率公式1.3 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性1.2 随机事件的概率随机事件的概率信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔1.1 随机事件随机事件一、随机试验一、随机试验二、二、样本空间样本空间三、三、随机随机事件及其发生事件及其发生四、事件之间的关系和运算四、事件之间的关系和运算3在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,(1)确定性现象确定性现象“同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从

2、高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象:确定性现象确定性现象 随机现象随机现象4在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.(2)随机现象随机现象 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果5结果有可能为结果有可能为:1,2,3,4,5 或或 6.实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观

3、察出现的点数察出现的点数.实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察弹落点的情况观察弹落点的情况.结果结果:弹落点会各不相同弹落点会各不相同.6实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为:正品正品 、次品次品.实例实例5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯.7实例实例6 出生的婴儿可出生的婴儿可能是能是男男,也可能是也可能是女女.实例实例7 明天的天气可明天的天气可能是能是晴晴,也可能是也可能是多云多云或

4、或雨雨.随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果8(2)随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶偶然性然性,但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中,这种结果的出现具这种结果的出现具有一定的有一定的统计统计规律性规律性,概率论就是研究随机现象概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科规律性的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明(1)随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联

5、系联系,其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.9一、随机试验一、随机试验 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为把具有以下三个特征的试验称为随机随机试验试验。（1）可以在相同的条件下重复地进行；）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试并且能事先明确试验的所有可能结果；验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。10说明说明 (1)随机试验简称为试验随机试验简称为试验,是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验

6、括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的“调查调查”、“观察观察”或或“测量测量”等等.(2)随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.11实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察察正面、反面正面、反面出现的情况出现的情况”.分析分析(1)试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;(2)试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面、反面反面;(3)进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现.故为随机试验故为随机试验.12(1)抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.(2)从一批产

7、品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.(3)记录某公共汽车站记录某公共汽车站某时刻的等车人数某时刻的等车人数.13(4)考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.(5)从一批灯泡中任从一批灯泡中任取一只取一只,测试其寿命测试其寿命.14 现代集合论为表述随机试验提供了一现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具个方便的工具.二、样本空间二、样本空间 我们把随机试验的每个基本结果称为我们把随机试验的每个基本结果称为样本点样本点，记作，记作e 或或.全体样本点的集合

8、称为全体样本点的集合称为样本空间样本空间.样本空间用样本空间用表示表示.样本点样本点e.15实例实例1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观察正面观察正面,反面出现的情况反面出现的情况.,1TH 正面朝上正面朝上H反面朝上反面朝上T实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.6,5,4,3,2,12 16实例实例3 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出记录出 现正品与次品的情况现正品与次品的情况.,3DDDDNDDDNNDDDNNNDNNNDNNN 则则.,次品次品正品正品记记DN实例实例4 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只,测试其寿命测试其寿命

9、.04 tt.t的寿命的寿命为灯为灯其中其中泡泡17实例实例5 记录某城市记录某城市120 急急 救电话台一昼夜接救电话台一昼夜接 到的呼唤次数到的呼唤次数.,2,1,05 18 2.同一试验同一试验,若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样则对应的样 本空本空 间也不同间也不同.例如例如 对于同一试验对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三将一枚硬币抛掷三次次”.若观察正面若观察正面 H、反面反面 T 出现的情况出现的情况,则样本空间则样本空间为为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数,则样本空间为则样本空间为.3,2,1,0 .,TTTTHTTTHHTTTHHHTHHHTHHH 说明说明 1.试

10、验不同试验不同,对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.19说明说明 3.建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现事实上就是建立随机现 象的数学模型象的数学模型.因此因此,一个样本空间可以一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题概括许多内容大不相同的实际问题.例如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间它既它既可以作为抛掷硬币出现可以作为抛掷硬币出现正面正面或出现或出现反面反面的的模型模型,也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的的模型模型,又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人排队与与无人排无人排队队的模型等的模型等.,T

11、H 20 在具体问题的在具体问题的研究中研究中,描述随机描述随机现象的第一步就是现象的第一步就是建立样本空间建立样本空间.21随机事件：随机事件：三、三、随机随机事件及其发生事件及其发生通俗地讲通俗地讲随机事件是指随机试验中可能发生也随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的可能不发生的结果结果。根据这个说法不难发现根据这个说法不难发现随机事件和样本空间的随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！子集有一一对应关系！22 它们分别可以对应了样本空间它们分别可以对应了样本空间=1,2,3,4,5,6 的的子集子集1,2,3,4和和2,4,6 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察

12、出现的点数.“点数不大于点数不大于4”,“4”,“点数为偶数点数为偶数”等都为随机事件等都为随机事件.反过来，反过来，的每个子集都对应了该试验的一个随的每个子集都对应了该试验的一个随机事件机事件23随机事件的定义随机事件的定义 当且仅当子集当且仅当子集中某个样本点出现时，中某个样本点出现时，称事件称事件发生发生 随机试验随机试验 E E 的样本空间的样本空间 的子集的子集称为称为 E E 的随机事件的随机事件,简称事件简称事件.24实例实例 上述试验中上述试验中“点数不大于点数不大于6”就是必然事件就是必然事件.必然事件必然事件 随机试验中必然发生的事件随机试验中必然发生的事件不可能事件不可能

13、事件 随机试验中不可能发生的事件随机试验中不可能发生的事件.实例实例 上述试验中上述试验中“点数大于点数大于6”就是不可能事件就是不可能事件.实例实例 “出现出现1点点”,“出现出现2点点”,“出现出现6点点”.基本事件基本事件由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集特别地：特别地：实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.25几点说明几点说明例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.可设可设 A=“点数不大于点数不大于4”,B=“点数为奇数点数为奇数”等等等等.1)随机事件可简称为事件随机事件可简称为事件,并以大写英文字母并以大写英文字

14、母 A,B,C,来表示事件来表示事件26空集不含任何样本点表示空集不含任何样本点表示不可能事件不可能事件2)随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间,样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.样本空间样本空间作为自身最大的子集包含所有的样作为自身最大的子集包含所有的样本点（基本事件），表示本点（基本事件），表示必然事件必然事件 271事件的包含事件的包含事件发生事件发生A事件发生事件发生B设、设、为两个事件，如果中的基本事件都是为两个事件，如果中的基本事件都是的基本事件，则称的基本事件，

15、则称包含于，记为，或包包含于，记为，或包含，记为含，记为 .BA BBBAAAAB ABABBA 四、事件之间的关系和运算四、事件之间的关系和运算实例实例 A=“长度不合格长度不合格”必然导致必然导致 B=“产品不合格产品不合格”所以所以BA 事件事件之间之间的关系的关系282.事件的相等事件的相等BAABBA 且且BABA=若两个事件和相互包若两个事件和相互包含，则称这两个事件相等，含，则称这两个事件相等，记为记为 .BA AB和同时发生或者同时不发生和同时发生或者同时不发生AB293.事件的和（并）事件的和（并）ABBAAB将事件的基本事件和的基本事件合在一起组成的将事件的基本事件和的基本

16、事件合在一起组成的一个新事件，称为一个新事件，称为 和的和事件，记为，可和的和事件，记为，可读成并或加读成并或加.有时也可记为有时也可记为 .ABBBBAABABA A实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定是否合格所决定,因此因此 C=“产品不合格产品不合格”是是A=“长度长度不合格不合格”与与B=“直径不合格直径不合格”的并的并.BAC 即即发生发生至少有一个发生至少有一个发生和和BABA304.事件的积（交）事件的积（交）BABA将事件的和共有基本事件合在一起组成的一个新将事件的和共有基本事件合在一起组成的一个新事件，称为和

17、的和事件，记为，可读成事件，称为和的和事件，记为，可读成交或乘交或乘.有时也可记为有时也可记为.ABBBBAABABAA发生发生同时发生同时发生和和BABA实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定是否合格所决定,设设“产品合格产品合格”,“长度合长度合格格”,“直径合格直径合格”ABBAC 则则31;,211的和事件的和事件个事件个事件为为称称推广推广nknkAAAnA.,211的和事件的和事件为可列个事件为可列个事件称称AAAkk ;,211的的积积事事件件个个事事件件为为称称nnkkAAAnA.,211的积事件的积事件为可列个

18、事件为可列个事件称称AAAkk 32和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质 AA A A AA,A A,A,A,A A.335.事件的差（减）事件的差（减）从事件中将属于事件的基本事件除去从事件中将属于事件的基本事件除去,剩下的基本剩下的基本事件组成的新事件称为和的差事件事件组成的新事件称为和的差事件,记为记为 .ABABBA BA AB事件发生而事件不发生事件发生而事件不发生AB实例实例 设设“长度合格但直长度合格但直径不合格径不合格”,“长度合长度合格格”,“直径合格直径合格”.BAC 则则34事件、事件、不可能同时发生不可能同时发生AB6.事件的互斥（互不相容）事件的互斥（互不

19、相容）若事件和没有共同的基本事件，则称和互斥，若事件和没有共同的基本事件，则称和互斥，也称互不相容，记为也称互不相容，记为 .AABB ABBA或或AB ABBA或或注意注意 基本事件是两两互斥的基本事件是两两互斥的.357.事件的逆（对立事件）事件的逆（对立事件）A称必然事件和事件的差为的逆事件，记称必然事件和事件的差为的逆事件，记为为 ，AA A AABAB 的的逆逆事事件件，则则是是若若AAAAA 显显然然，互互逆逆时时BAAB,如果和互逆，则也可称和互为对立事件如果和互逆，则也可称和互为对立事件ABAB事件不发生事件不发生A实例实例 “骰子出现骰子出现1点点”“骰子不出现骰子不出现1点

20、点”对立对立AAA36事件的运算规律事件的运算规律由由集合的运算律，集合的运算律，易给出易给出事件间的运算律事件间的运算律.设设CBA,为为同一随机试验同一随机试验E中的事件，中的事件，则有则有(1)交换律交换律,ABBA;ABBA(2)结合律结合律),()(CBACBA);()(CBACBA(3)分配律分配律),()()(CBCACBA 37(4)自反律自反律;AA (5)对偶律对偶律.)(BABA 注：注：上述各运算律可推广到上述各运算律可推广到件的件的情形情形.,BAB)(A 有限个或可数个事有限个或可数个事nnAAAAAA2121 nnAAAAAA2121 38(6)吸收律吸收律BBA

21、AABBA ,则则若若(7)替换律替换律)()(ABBBAAAB )()(BABABABA BABBAABABA CBACBACBA )(39例例1甲甲,乙乙,丙三人各射一次靶丙三人各射一次靶,记记 “甲中靶甲中靶”,A B “乙中靶乙中靶”,“丙中靶丙中靶”,C 则可用上述三则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件个事件的运算来分别表示下列各事件:(1)(3)(4)(2)“甲未中靶甲未中靶”;A;AB“甲中靶而乙未中靶甲中靶而乙未中靶”“三人中只有丙未中靶三人中只有丙未中靶”;ABC;ABCABCABC“三人中恰好有一人中靶三人中恰好有一人中靶”(5)“三人中至少有一人中靶三人中至少有一

22、人中靶”ABC或或;ABC40(10)(9)(8)“三人中至少有两人中靶三人中至少有两人中靶”;ABACBC“三人中均未中靶三人中均未中靶”;ABC“三人中至多一人中靶三人中至多一人中靶”(11)“三人中至多两人中靶三人中至多两人中靶”ABC或或.ABC；CBACBACBACBA(6)(7)“三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”“三人中恰有两人中靶三人中恰有两人中靶”ABC或或;ABC;ABCABCABC41注注:用其它事件的运算来表示一个事件用其它事件的运算来表示一个事件,方法往往方法往往不唯一不唯一,如如本例中的本例中的(6)(6)和和(11)(11)实际上是同一事件实际上是同一

23、事件,大家应学会大家应学会特别在解决特别在解决具体问题时具体问题时,往往要更具需要往往要更具需要方法方法.用不同方法表达同一事件用不同方法表达同一事件,选择一种恰当的表示选择一种恰当的表示(6)“三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”(11)“三人中至多两人中靶三人中至多两人中靶”42作业作业P19 练习1.1 3 4 543一、概率的统计意义一、概率的统计意义三、概率的公理化定义三、概率的公理化定义二、概率的古典定义二、概率的古典定义1.2 随机事件的概率随机事件的概率四、概率的性质四、概率的性质44 研究随机现象，不仅关心试验中会出研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要

24、的是想知道事件出现现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！45一、概率的统计意义一、概率的统计意义定义定义;1)(0 AfnnArn )(0显然显然次数为次数为，)(Arn频率频率.若在相同条件下进行若在相同条件下进行 次试验，次试验，n其中其中 发生的发生的A则称则称nArAfnn)()(为事件为事件 发生的发生的A46试验试验序号序号5 n)(Arn)(Afn1 2 3 4 5 6 7231 5

25、1 2 450 n22252125241827500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次,各做各做 7 遍遍,观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.处处波波动动较较大大在在21随随n的增大的增大,频率频率 fn(H)呈现出稳定性呈现出稳定性处处波波动动较较小小在在21处处波波动动最最小小在在21)(Arn)(Arn)(Afn)(A

26、fn47从从上述数据可得上述数据可得(2)抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时,频率频率fn(A)的随机波动的随机波动幅度较大幅度较大,但但随随 n 的增大的增大,频率频率fn(A)呈现出稳定呈现出稳定性性.即当即当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率fn(A)总是在总是在 0.5 附近附近摆动摆动,且逐渐稳定于且逐渐稳定于 0.5.(1)频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n,所得所得的的fn(A)不一定相同不一定相同;48实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰n)(Arn皮尔逊皮尔逊 K皮尔逊皮尔逊 K 204810610.5181404020480.50691200

27、060190.501624000120120.5005)(Afn.21的增大的增大n)(Afn49重要结论重要结论当实验次数当实验次数 n 较小时较小时,事件事件发生的频发生的频率波动幅度比较大率波动幅度比较大,当当 n 逐渐增大时逐渐增大时,频率趋频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小在试验中出现可能性的大小.它就是事件的它就是事件的概率概率50概率的统计定义概率的统计定义定义定义在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验次重复试验,若事件若事件A发生的频率发生的频率 nArAfnn)()(随着试验次数随着试验次数n的增大

28、而的增大而稳定地在某个常数稳定地在某个常数P P附近摆动附近摆动,则称则称P为事件为事件A的的概概率，率，记为记为P(A).51 我们首先引入的计算概率的数学模型，我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为对象，通常称为古典概型古典概型二、概率的古典定义二、概率的古典定义52 假定某个试验有有限个可能的结果假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如例如 ei，比任一其它结果比任一其

29、它结果ej,更有优势，则更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即的出现机会，即1/N的出现机会的出现机会.e1,e2,，eN,532 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同个大小、形状完全相同的球的球.将球编号为将球编号为110.把球搅匀，蒙上眼睛，从把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球中任取一球.54 因为抽取时这些球是因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理完全平等的，我们没有理由认为由认为10个球中的某一个个球中的某一个会比另一个更容易取得会比另一个更容易取得.也就是说，也就是说，1

30、0个球中的任个球中的任一个被取出的机会是相等一个被取出的机会是相等的，均为的，均为1/10.1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 347910861555 我们用我们用 i 表示取到表示取到 i号球，号球，i=1,2,10.称这样一类随机试验称这样一类随机试验为为古典概型古典概型.34791086152且每个样本点且每个样本点(或者说或者说基本事件基本事件)出现的可能出现的可能性相同性相同.=1,2,10 则该试验的样本空间则该试验的样本空间如如i=256 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的

31、样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.称这种试验模型为称这种试验模型为等可能概型等可能概型或或古典概型古典概型.57中基本事件的总数中基本事件的总数包含的基本事件数包含的基本事件数 AnrAP )(称此概率为称此概率为古典概率古典概率,这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为古典方法古典方法.这就把求古典概率的问题转化为对基这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题本事件的计数问题.古典概型中事件概率的计算古典概型中事件概率的计算设古典型随机试验设古典型随机试验E E的样本空间为的样本空间为 n ,21

32、 nrAirii ,21 则定义则定义对任意事件对任意事件 ,若若A事件事件 发生的概率发生的概率A58基本计数原理基本计数原理 这里我们先简要复习一下计算古典概率这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的所用到的1.加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,；第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1+n2+nm 种方法种方法.59基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事

33、共有种不同的方法种不同的方法.mnnn212.乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,；第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，60 加法原理和乘法原理是两个很重要加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础组合公式的基础.61k=n时称全排列时称全排列!12)2)(1(nnnnpPnnn

34、 3.排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式)!(!)1()2)(1(knnknnnnpkn 1、排列、排列:从从n个不同元素取个不同元素取 k 个个()的不同排列总数为：的不同排列总数为：nk 162!)!(!kknnkPCknkn 4.组合组合:从从n个不同元素取个不同元素取k个个（1 k n)的不同组合总数为：的不同组合总数为：knC有时记作有时记作 kn,称为称为组合系数组合系数.排列和组合的区别排列和组合的区别:顺序不同的排列视为不同的排列顺序不同的排列视为不同的排列,而组合与顺而组合与顺序无关序无关.63例例1一个袋子中装有一个袋子中装有 10 10 个大小相同的球个大小

35、相同的球,其中其中 3 3个黑球个黑球,7 7 个白球个白球,求求:(1 1)从袋子中任取一球从袋子中任取一球,这个球是黑球的概率这个球是黑球的概率;(2 2)从袋子中任取两球从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的刚好一个白球一个黑球的概率概率(1 1)解解10 10 个球中任取一个个球中任取一个,共有共有10110 C种种.从从而根据古典概率计算而根据古典概率计算,事件事件:A“取到的球为黑球取到的球为黑球”的概率为的概率为)(AP11013CC.103 以及两个球全是黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.64例例1一个袋子中装有一个袋子中装有 10 10 个大小相同的球个大小相同的球,其中

36、其中 3 3个黑球个黑球,7 7 个白球个白球,求求:(2 2)从袋子中任取两球从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的刚好一个白球一个黑球的概率概率解解以及两个球全是黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.(2 2)10 10 个球中任取两球的取法有个球中任取两球的取法有210C种种,其中其中刚好一个白球刚好一个白球,一个黑球的取法有一个黑球的取法有1713CC 种种取法取法,两个两个球均是球均是黑球的取法有黑球的取法有23C种种,记记B为为好好取到一个白球一个黑球取到一个白球一个黑球”,C为为为黑球为黑球”,则则事件事件“刚刚事件事件“两个球均两个球均)(BP)(CP2101713CCC,15

37、7 21023CC.151 65例例2 (抽签原理抽签原理)袋中有袋中有 只白球和只白球和 只黑球，只黑球，它们除颜色不同外其他方面没有差别，现在它们除颜色不同外其他方面没有差别，现在将球随机地一只只摸出来，求第将球随机地一只只摸出来，求第k次摸出的次摸出的一只球为白球的概率一只球为白球的概率.其中其中.1bak ba66（可可以以编编号号）只只黑黑球球都都看看作作是是不不同同的的只只白白球球和和将将ba解法解法1:个个位位置置上上排排列列成成一一直直线线的的若若将将摸摸出出的的球球依依次次放放在在ba 个个元元素素进进行行全全排排列列把把则则可可能能的的排排列列法法相相当当于于ba !）总总

38、数数为为（ba 且每种排列机会相同且每种排列机会相同:古典概型古典概型)!(ba 所所以以，样样本本点点总总数数为为种种排排列列方方法法只只球球进进行行全全排排列列，有有当当于于次次摸摸球球相相种种取取法法，而而另另外外次次摸摸白白球球有有因因为为第第1)1(babaak)!1ba（)!1(baa有有利利场场合合数数为为)!()!1(babaaPk 样本点总数样本点总数有利场合数有利场合数baa 67只只黑黑球球也也没没有有区区别别的的只只白白球球看看作作是是没没有有区区别别将将ba,解法解法2:个个位位置置上上排排列列成成一一直直线线的的仍仍将将摸摸出出的的球球依依次次放放在在ba 种种方方

39、法法共共有有其其余余必必然然放放黑黑球球个个位位置置放放白白球球其其中中,aabaC 且每种方法机会相同且每种方法机会相同:古典概型古典概型abaC 所所以以，样样本本点点总总数数为为个个位位置置个个位位置置中中人人取取的的剩剩下下的的白白球球可可以以在在余余下下个个位位置置必必须须放放白白球球又又因因为为第第1)1(,abak11 abaC有有利利场场合合数数为为因此因此abaabakCCP 11样本点总数样本点总数有利场合数有利场合数baa 68两种不同的解法有相同的结果，两种解法的区别在于：两种不同的解法有相同的结果，两种解法的区别在于：选取的样本空间不同选取的样本空间不同第一种方法把球

40、看作第一种方法把球看作“有有个性个性”的的要顾及各白球和各黑球间的顺序因而采用排列的方法要顾及各白球和各黑球间的顺序因而采用排列的方法而第二种方法则同色球不加区别而第二种方法则同色球不加区别,不需要注意顺序而不需要注意顺序而采用组合的方法采用组合的方法不管采用什么样的样本空间不管采用什么样的样本空间,必须注意以下两点必须注意以下两点:(1)同一样本空间中样本点发生的可能性必须相等同一样本空间中样本点发生的可能性必须相等;(2)在计算样本点总数和事件的有利场合数时必须在在计算样本点总数和事件的有利场合数时必须在同一个样本空间中进行同一个样本空间中进行69解法解法3：解法解法4：只考虑前只考虑前k

41、个球的情形个球的情形,用排列的方法用排列的方法:只考虑第只考虑第k次取球的情形次取球的情形111kbaaPP有利场合数为111kbaaPP有利场合数为ba 样本点总数为a有利场合数为a有利场合数为kbaP样本点总数为kbaP样本点总数为70例例3 某城市有某城市有N部轿车，车牌号从部轿车，车牌号从1到到N,有一个外地人有一个外地人到该城市去，把遇到的到该城市去，把遇到的n部轿车的牌号抄下（可能重部轿车的牌号抄下（可能重复抄到某些车牌号复抄到某些车牌号),问抄到的最大号码恰好为问抄到的最大号码恰好为k的概率的概率.解解:假设该城市的所有轿车等可能地出现在该城市的假设该城市的所有轿车等可能地出现在

42、该城市的任意地方任意地方(这是合理的这是合理的,因为外地人到该城市也是因为外地人到该城市也是随机的随机的),每部轿车被遇到的可能性可以认为相同每部轿车被遇到的可能性可以认为相同符合古典概型的要求符合古典概型的要求外地人抄车牌号相当于从外地人抄车牌号相当于从N个元素中个元素中有放回有放回地抽取地抽取n个元个元素素nN 方方法法总总数数nN 样样本本点点总总数数71有利场合要求抄到的有利场合要求抄到的最大车牌号恰好为最大车牌号恰好为k相当于抄到的车牌号必须不超相当于抄到的车牌号必须不超过过k,且必须至少抄到一次且必须至少抄到一次“k”有利场合数有利场合数=车牌号不大于车牌号不大于k的取法总数的取法

43、总数nk车牌号不大于车牌号不大于(k-1)的取法总数的取法总数nk)1(nnkk)1(nnnNkknrP)1(样样本本点点总总数数有有利利场场合合数数因此因此,抄到的最大号码恰好为抄到的最大号码恰好为k的概率为的概率为 72 在学习几何和代数时，我们已经知道在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础公理是数学体系的基础.数学上所说的数学上所说的“公理公理”，就是一些不加证明而公认的前，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容的进一步的内容.三、概率的公理化定义三、概率的公理化定义73 即即通过规定概率应具备的通过

44、规定概率应具备的基本性质来定义概率基本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义.1933年，前苏联数学家柯年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的尔莫哥洛夫给出了概率的公理公理化定义化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，极为简单，但在此基础上建立起了概率论但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦的宏伟大厦.74定义定义:设设E E是随机试验是随机试验,是它的样本空间是它的样本空间,对于对于E E的每一件事件的每一件事件A 赋予一个实数赋予一个实数,记为记为P(A),若若P(A)满满足下列三个条件足下列三个条件:1.1.非负

45、性非负性:对每一个事件对每一个事件A,有有;0)(AP2.2.完备性完备性:;1)(P3.3.完全完全可加性可加性:对任意可数个两两互不相容的对任意可数个两两互不相容的事件事件,21nAAA有有 )(A)(A)(A)AA(An21n21PPPP则称则称 P P(A)为事件为事件A的概率的概率.75 这就是概率的公理化定义这就是概率的公理化定义,由于其定义用由于其定义用到较多的现代数学理论和方法到较多的现代数学理论和方法,我们只作上面的我们只作上面的简单介绍简单介绍.由概率的公理化定义可以推出概率的如下性质由概率的公理化定义可以推出概率的如下性质:四、概率的性质四、概率的性质76性质性质1.0)

46、(P证明证明令令),2,1(nAn则则 jinnAAA且且,1).,2,1,(jiji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 111).()()(nnnnnPAPAPP由概率的非负性知由概率的非负性知,0)(P故由上式可得故由上式可得.0)(P注：注：不可能事件的概率为不可能事件的概率为0,0,但反之不然但反之不然.证毕证毕77性质性质2(有限可加性有限可加性)设设nAAA,21是两两互不相是两两互不相容的事件容的事件,则有则有).()()()(2121nnAPAPAPAAAP 证明证明令令,21 nnAA既有既有.2,1,jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 1121)

47、()()(KKKKnAPAPAAAP 11)()(nkKnkKAPAP).()()(21nAPAPAP ).0)()(11 nknkkPAP证毕证毕.78性质性质3 3).(1)(APAP 证明证明因因,AA且且,AA由性质由性质2,2,得得)(1 P)(AAP).()(APAP 证毕证毕.79性质性质4 4).()()(ABPAPBAP 证明证明 因因,)(ABBAA 且且,B)(AB)-(A 再由概率的有限可加性再由概率的有限可加性,即得即得),()()(ABPBAPAP 所以所以);()()(ABPAPBAP 又由概率的非负性知又由概率的非负性知,0)(BAP则有则有).()(ABPAP

48、 证毕证毕若若,AB );()()()()(BPAPABPAPBAP 则有则有80性质性质5 5对任一事件对任一事件A,A,.1)(AP证明证明因因,A由性质由性质4,4,得得.1)()(PAP证毕证毕.81性质性质6 6).()()()(ABPBPAPBAP 注：注：性质性质6 6可推广到任意有限个事件的并的情形可推广到任意有限个事件的并的情形.例如例如,)()()()()(ABPCPBPAPCBAP ).()()(ABCPACPBCP (加法公式加法公式)82例例 4 已知已知,5.0)(AP,2.0)(BAP,4.0)(BP求求(1);(ABP(2);(BAP(3);(BAP解解(1)因

49、为因为,BBAAB 且且AB与与BA是不是不相容的相容的,故有故有)()()(BPBAPABP 于是于是)(ABP(2)(AP)(BAP 2.04.0 )()(BAPBP ;2.0)(1AP 5.01 ,5.0)()(ABPAP 2.05.0 ;3.0(4).(BAP83例例 4 已知已知,5.0)(AP,2.0)(BAP,4.0)(BP求求(3 3);(BAP(4 4).(BAP解解(3 3)(BAP(4)(4)(BAP7.01 )()()(ABPBPAP 2.04.05.0 ;7.0)(BAP)(1BAP .3.0 84例例 5 某城市中发行某城市中发行2 种报纸种报纸.,BA经调查经调查

50、,在这在这2 种报纸的订户中种报纸的订户中,订阅订阅A报的有报的有45%,B订阅订阅报的有报的有35%,同时订阅同时订阅 2 种报纸种报纸BA,的有的有 10%,求求只订一种报纸的概率只订一种报纸的概率.解解记事件记事件,报报订阅订阅AA ,报报订阅订阅BB 则则 只订一种报只订一种报)()(ABBA 又这两件事是互不相容的又这两件事是互不相容的,由概率性质由概率性质 ,有有,ABBA)()(ABBPABAP )()()()(ABPBPABPAP 1.035.01.045.0 .6.0 85例例6 已知在已知在100100件产品中有件产品中有9595件正品和件正品和5 5件次品件次品,购买者从