概率论与数理统计-第4章课件.ppt

1、第四章第四章 随机变量的数字特征、极限定理随机变量的数字特征、极限定理v数学期望数学期望v方差方差v协方差和相关系数协方差和相关系数v大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理4.14.1数学期望数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望例例4.1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击次射击中命中环数与次数记录如下：中命中环数与次数记录如下：环数环数8910次数次数301060环数环数8910次数次数205030甲甲乙乙试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？甲平均射中的环数为：甲平均射中的环数为：乙平

2、均射中的环数为：乙平均射中的环数为：(830+910+1060)100=80.3+90.1+100.6=9.3(环环)(820+950+1030)100=80.2+90.5+100.3=9.1(环环)因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。在例在例4.1中，中，30/100=0.3、10/100=0.1、60/100=0.6等，是事件等，是事件(X=k)在在100次试验中发生的频率次试验中发生的频率(X为命中为命中的环数的环数)，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件(X=k)在一次试验中发生的概率在一次试验中发生

3、的概率pk。上述平均环数的计。上述平均环数的计算可表示为算可表示为我们称之为随机变量我们称之为随机变量X的的数学期望数学期望，或均值。，或均值。108kkkp定义定义4.1 4.1 设设X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为XP(X=xi)=pi,i=1,2,n，如果级数如果级数1iiipx绝对收敛绝对收敛，并称级数并称级数1iiipx的和为随机变量的和为随机变量X的数学期望，记作的数学期望，记作则称则称X的数学期望存在的数学期望存在，E(X)，即即1)(iiipxXE 则称随机变量则称随机变量X的数学期望的数学期望不存在不存在。注意：随机变量注意：随机变量X的数学期望的数

4、学期望E(X)完全是由完全是由X的分布律的分布律确定的，而不应受确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数此要求级数绝对收敛。若级数绝对收敛。若级数1iiipx1iiipx不绝对收敛不绝对收敛，例如，设离散型随机变量例如，设离散型随机变量X的分布律为的分布律为X-2-1012Pk1/162/163/162/168/1687168216211630162)1(161)2()(XE则则X的数学期望为的数学期望为例例4.2 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求表示掷得的点数，求X的数学期望。的数学期望。2761)(61iiXE解解

5、 X的分布律为的分布律为X123456Pk1/61/61/61/61/61/6例例4.4 设设X取取kxkkk2)1(k=1,2,)对应的概率为对应的概率为kxkp21，证明，证明E(X)不存在。不存在。证明证明021kxkp12111kkkxkp且且1111212kkkkkxkkkpxk但级数但级数发散发散所以所以E(X)不存在，但级数不存在，但级数2ln)1(212)1(111kkkkkkkxkkkpxk(交错级数满足交错级数满足Leibniz条件条件)(收敛收敛)要注意数学期望的条件：要注意数学期望的条件：“绝对收敛绝对收敛”。定义定义4.2 设设X是连续型随机变量，概率密度函数为是连续

6、型随机变量，概率密度函数为f(x),.)()(dxxxfXE二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望若积分若积分dxxxf)(绝对收敛，则称绝对收敛，则称X的的数学期望存在数学期望存在，且称积分且称积分为随机变量为随机变量X的数学期望，记为的数学期望，记为E(X)dxxxf)(即即数学期望简称数学期望简称期望或均值期望或均值。例例6 6：(,)()XU a bE X。设，求1 ()0 axbbaXf x解：的概率密度为：其他X的数学期望为：()()E Xxf x dxbaxdxba2ab(,)a b即数学期望位于区间的中点几种重要分布的数学期望1)(,5)(),(42)(),(

7、3)(),(2)(),(12XEXXENXbaXEbaUXXEPXnpXEpnbX则的指数分布服从参数为、设则、设则、设则、设则、设三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望定理定理4.1 设随机变量设随机变量Y是随机变量是随机变量X的函数，的函数，Y=g(X)(g()为连续函数为连续函数)(1)设设X为离散型随机变量，其分布律为离散型随机变量，其分布律P(X=xi)=pi,i=1,2,若级数若级数1)(iiipxg绝对收敛绝对收敛，则，则Y的数学期望存在，且的数学期望存在，且1)()()(iiipxgXgEYE(2)设设X为连续型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其概率密度为

8、f(x)，dxxfxg)()(若积分若积分绝对收敛绝对收敛，则，则Y的数学期望存在，且的数学期望存在，且dxxfxgXgEYE)()()()(此定理说明，在求随机变量此定理说明，在求随机变量X的函数的函数Y=g(X)的的期望时，不必知道期望时，不必知道Y的分布而的分布而只需知道只需知道X的分布的分布即可。即可。推广：设推广：设(X,Y)是二维随机变量，是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(,)是连是连续函数。续函数。(1)设设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为是离散型随机变量，分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,则当则当绝对收敛时，绝对收敛时，Z的数学期望存在，且的数学

9、期望存在，且11(,)ijijijg x yp11),(),()(ijijjipyxgYXgEZE(2)设设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当，则当 dxdyyxfyxg),(),(绝对收敛时，绝对收敛时，Z的数学期望存在，且的数学期望存在，且 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(二维随机变量的数学期望离散离散r.v.ijjiiyxpxXE),()(ijjijyxpyYE),()(连续连续r.v.dxdyyxxfXE),()(dxdyyxyfYE),()(iiXixpxXE)()(jjYjypyYE)()(dxxxfXEX)(

10、)(dyyyfYEY)()(例例4.7 设随机变量设随机变量XB(n,p)，XeY2求求E(Y)解解 XB(n,p)，分布律为，分布律为 nkqpCkXPknkkn,2,1,0,)(nkknkknkXqpCeeEYE022)()(nkknkknqpeC02)(nqpe)(2其中其中p+q=1例例4.8 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度设设Z=XY，试求，试求Z的数学期望。的数学期望。解解21501(,)0 x yxyf x y其其它它 dxdyyxfxyXYEZE),()()(2815151002 dyydxxxyyO 1 xy1y=x1、设、设C是常数，则是常数

11、，则E(C)=C;2、设、设C是常数，是常数，X为随机变量，则为随机变量，则E(CX)=CE(X);四四.数学期望的性质数学期望的性质3、设、设X,Y为任意两个随机变量，则有为任意两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y);推广：推广：Xi为随机变量，为随机变量，Ci为常数，为常数，i=1,2,nE(C1X1+C2X2+CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+CnE(Xn)4、若、若X，Y是是相互独立的相互独立的随机变量，则随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)。推广：推广：X1,X2,Xn相互独立相互独立，则，则E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn)反之不然，即由反

12、之不然，即由E(XY)=E(X)E(Y)不能推出不能推出它们独立。它们独立。例例1：已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有：已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件件合格品和合格品和3件次品，乙箱中仅装有件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任件合格品。从甲箱中任取取3件产品放入乙箱中，求乙箱中次品件数的数学期望。件产品放入乙箱中，求乙箱中次品件数的数学期望。例例2：已知：已知 0，其它，其它求随机变量的数学期望求随机变量的数学期望E(X).例例3：设随机变量：设随机变量X的分布列为：的分布列为：求：求：X-202P0.40.30.3例例4：设随机变量：设随机变量X的密度函数：的密

13、度函数：f(x)=0,其它其它对随机变量对随机变量X独立地重复观察独立地重复观察4次，用次，用Y表示观察值大于表示观察值大于 的次数，求的次数，求EY例例5：设（：设（X,Y）分布列为：）分布列为：(1)求求E(X),E(Y);(2)设设Z=X/Y，求，求E(Z);(3)设设 ，求，求E(Z)X Y123-10.20.1000.100.310.10.10.12ZXY例例6：设（：设（X,Y）的密度函数：）的密度函数：f(x,y)=0 其它其它求：求：E(X),E(Y),E(XY),212,01yyx22E XY4.2方差方差一、方差的概念一、方差的概念例例4.13 甲乙两部机床生产同一种机轴，

14、轴的直径为甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为10mm，公，公差为差为0.2mm，即直径在，即直径在9.8mm到到10.2mm的为合格品，超出范围的为合格品，超出范围的均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取的均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6件进行测件进行测试，机轴的直径的测试尺寸如下：试，机轴的直径的测试尺寸如下：(mm)甲甲9.89.910.010.010.110.2乙乙9.09.29.410.610.811.0易知，甲乙两组产品的直径的均值都为易知，甲乙两组产品的直径的均值都为10.0mm，但两组的质量，但两组的质量显然差异很大，甲组全为合格品，乙组全为废品。这里光看

15、均显然差异很大，甲组全为合格品，乙组全为废品。这里光看均值无差别，质量的差异的原因在于两组产品关于均值的离散程值无差别，质量的差异的原因在于两组产品关于均值的离散程度不同。甲组度不同。甲组离散程度小离散程度小，质量较稳定质量较稳定，乙组的，乙组的离散程度大离散程度大，质量不稳定质量不稳定。为衡量一个随机变量为衡量一个随机变量X关于均值的关于均值的离散程度离散程度，可用，可用|X-EX|的的均值均值来表示，称为来表示，称为X的绝对离差，用的绝对离差，用E|X-EX|记，这在实际统记，这在实际统计中有一定的作用。但由于绝对值的均值不易计算，常用计中有一定的作用。但由于绝对值的均值不易计算，常用随机

16、随机变量与均值差的平方的均值变量与均值差的平方的均值来描述离散程度。来描述离散程度。定义定义 设设X是随机变量，若是随机变量，若EX-EX2存在，则称存在，则称EX-EX2为随机变量为随机变量X的的方差方差，记为，记为D(X)或或Var(X)，即即D(X)=EX-EX2 在应用上，常用与随机变量在应用上，常用与随机变量X具有相同量纲的量，具有相同量纲的量，称为随机变量称为随机变量X的的均方差均方差或或标准差标准差。)()(XDX 方差方差是衡量随机变量取值是衡量随机变量取值波动波动 程度程度的一个数字特征。的一个数字特征。由方差的定义可知，由方差的定义可知，D(X)0。当当X为离散型随机变量，

17、且分布律为为离散型随机变量，且分布律为P(X=xk)=pk时，时，则则12)()(kkkpXExXD当当X为连续型随机变量时，且密度函数为为连续型随机变量时，且密度函数为f(x)，则，则2()()()D XxE Xf x dx在实际计算中，通常使用如下公式在实际计算中，通常使用如下公式222)()(2)()(XEXXEXEXEXEXD22)()()(2)(XEXEXEXE22)()(XEXE即方差是即方差是“随机变量随机变量平方的期望减去平方的期望减去随机变量随机变量期望的期望的平方平方”。例例4.14 已知随机变量已知随机变量X的分布律如下，求的分布律如下，求D(X)。X-2-1012Pk1

18、/162/163/162/168/16解解 数学期望数学期望E(X)=7/8，25168216211630162)1(161)2()(222222XE641116449160)87(25)()()(222EXXEXD例例4.15 设随机变量设随机变量110()1010 xxXf xxx 其它求求D(X)解解0)1()1()(0110dxxxdxxxXE61)1()1()(0110222dxxxdxxxXE61)()()(22EXXEXD二、方差的性质二、方差的性质1、设、设C是常数，则是常数，则D(C)=0，且，且D(X+C)=D(X);2、设、设C是常数，是常数，X为随机变量，则为随机变量，

19、则D(CX)=C2D(X);3、设、设X,Y为任意两个随机变量，则有为任意两个随机变量，则有()()()2()()D XYD XD YE XE XYE Y特别地，当特别地，当X,Y相互独立相互独立时，时，E(XY)=E(X)E(Y)所以所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)推论：若随机变量推论：若随机变量X1,X2,Xn相互独立，则相互独立，则D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)又又X,Y相互独立，相互独立，C1，C2为常数，则为常数，则D(C1X+C2Y)=C12 D(X)+C22D(Y)特别注意：特别注意：D(X-Y)=D(X)+D(Y)(当当X,Y独立独立)4、D(

20、X)=0的充分必要条件是的充分必要条件是X以概率以概率1为常数，即为常数，即P(X=C)=14.3几个重要分布的数学期望和方差几个重要分布的数学期望和方差一、一、01分布分布XB(1,p)，P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=qE(X)=1p+0(1-p)=p，E(X2)=12p+02(1-p)=pD(X)=E(X2)-(E(X)2=p-p2=pq=p(1-p)二、二项分布二、二项分布XB(n,p)分布律为分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,nnkkXpkXE0)()(nkknkknqpCk01!(1)!()!nkn kknpqknk11(1)!(1)

21、!(1)(1)!nkn kknn ppqknknkknkknqpCnp1)1()1(111101111nttntknktqpCpnnpqppnn1)(nkknkqpknknk0)!(!22)()()(EXXEXD2)()()1(EXXEXXEnkknkknqpCkkXXE0)1()1(2)()1(EXXXXE22)()1(npnppnnnpqnpnp2其中其中nkknkqpknknkk0)!(!)1(nkknkqpknknpnn2)2()2(22!)2()2()!2()!2()1(2022!)2(!)!2()1(nttntqptntnpnn20222)1(nttnttnqpCpnn222)1(

22、)()1(pnnqppnnn随机变量随机变量函数的数函数的数学期望学期望在计算时，若将在计算时，若将X表示成若干个相互独立的表示成若干个相互独立的01分布分布变量之和，计算就极为简便。变量之和，计算就极为简便。在在n重重Bernoulli试验中，试验中，A发生的概率为发生的概率为p，不发生的概，不发生的概率为率为q=1-p。设。设则则A发生的次数发生的次数niiXX1pXEi)(niiXEXE1)()(1nippn不发生不发生试验试验第第发生发生试验试验第第AiAiXi01ni,2,1XB(n,p)niiXDXD1)()(pqXDi)(1ninppqq三、三、Poisson分布分布XP()，e

23、kkXPk!)(,2,1,0k0)()(kkXPkXE0!kkekk1)!1(kkke11)!1(kkke0!ttteee22)()()(EXXEXD2)()1(EXEXXXE222)1(XXE0!)1()1(kkekkkXXE222)!2(kkke02!ttteee22五、均匀分布五、均匀分布XUa,b其它其它01)(bxaabxfdxxxfXE)()(badxabx12ab22)()()(EXXEXD222)(badxxfxbabadxabx22212()12ba2332)(3baabab六、正态分布六、正态分布),(2NX222)(21)(xexfRxdxexx222)(21dxxxfX

24、E)()(tx令令dttett2221)(dtedttett22222121 02)()(EXXEXDdxxfx)()(2dxexx222)(221)(tx令令dtett2222212222ttde dtett222221dtetett222222)20(222N(,2)中中两个参数两个参数和和2，分别是正态分布的数学，分别是正态分布的数学期期望望和和方差方差。七、指数分布七、指数分布()XE0()00 xexf xxdxxxfXE)()(0 xxedx122)()()(EXXEXD2201xxedx222211某些常用分布的数学期望及方差某些常用分布的数学期望及方差（1）若）若),1(pBX

25、则则)1()(,)(ppXDpXE （2）若）若),(pnBX则则)1()(,)(pnpXDnpXE （3）若）若),(PX则则 )(,)(XDXE（4）若）若),(baUX则则12)()(,2)(2abXDbaXE （5）若）若),(eX则则21)(,1)(XDXE（6）若）若),(2NX2)(,)(XDXE则则课课 堂堂 练练 习习1.设设X 其它0102)(xxxf,求下列求下列X的函数的数学期望的函数的数学期望.(1)2X-1,(2)(X-2)22.设设X 其它021210)(xxxxxf,求求E(X),D(X).3.X,Y独立，独立，D(X)=6，D(Y)=3，则，则D(2X-Y)=

26、（）。）。4.3 协方差，相关系数协方差，相关系数定义定义 设设(X,Y)是二维随机变量，如果是二维随机变量，如果EX E(X)Y E(Y)存在存在,则称它是则称它是X与与Y的的协方差协方差，记为，记为cov(X,Y)即即 cov(X,Y)=EX E(X)Y E(Y)。当当D(X)0,D(Y)0时称时称一、概念一、概念)()(),(CovYDXDYXXY为为X与与Y的的相关系数相关系数，或称，或称X与与Y的的标准协方差标准协方差。XY是一个无量纲的量。是一个无量纲的量。当当X与与Y是离散型随机变量时，分布律是离散型随机变量时，分布律P(X=xi,Y=yj)=pij11)()(),(Coviji

27、jjipYEyXExYX当当X与与Y是连续型随机变量时，密度函数是连续型随机变量时，密度函数f(x,y)dxdyyxfYEyXExYX),()()(),(Cov由协方差定义可得，对任意的随机变量由协方差定义可得，对任意的随机变量X、Y，有，有cov(X,Y)=EX E(X)Y E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)协方差的一个计算公式。协方差的一个计算公式。又有又有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)二、协方差的性质二、协方差的性质(1)cov(X,Y)=cov(Y,X);(2)cov(X,X)=D(X)，cov(X,C)=0

28、；(3)cov(aX,bY)=abcov(X,Y)，其中其中a,b为常数；为常数；(4)cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z)；(5)X,Y相互独立，相互独立，cov(X,Y)=0称称)()(XDXEX 为为X的的标准化变量标准化变量，即，即“随机变量与期望之差除以均方差随机变量与期望之差除以均方差”若记若记)()(*XDXEXX则则E(X*)=0，D(X*)=1*cov(,)XYXY三、相关系数的性质三、相关系数的性质1、|XY|1，即即“相关系数的绝对值小于等于相关系数的绝对值小于等于1”。证明证明),cov(2)()()(*YXYDXDYXD)1(2XY0)1(2XY方

29、差的方差的非负性非负性|XY|12、|XY|=1的充分必要条件是的充分必要条件是X与与Y以概率以概率1存在线性关存在线性关系系，即，即P(Y=aX+b)=1，a0，a,b为常数。为常数。证明（充分性）证明（充分性）(p108)设设Y=aX+b，则，则E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X)Cov(X,Y)=EX E(X)Y E(Y)=EX E(X)aX+b aE(X)b =aEX E(X)2=aD(X)0101)(),(CovaaaaDXaDXXDaDYDXYXXY即即|XY|=1（必要性）设（必要性）设XY=1，则，则性质性质10)()(DYYEYDXXEXD1)()(CDYYEYD

30、XXEXP方差性质方差性质DYYEYDXXEXEC)()(0)(*YXE其中其中1)()(DYYEYDXXEXP1)()(XEDXDYYEXDXDYYP即即X与与Y以概率以概率1存在线性关系，此时称存在线性关系，此时称X，Y正相关正相关。当当XY=-1时时0)()(DYYEYDXXEXD1)()(CDXYEYDXXEXP其中其中DYYEYDXXEXEC)()(0)()(*YEXE1)()(DYYEYDXXEXP1)()(YEXEDXDYXDXDYYP即即X与与Y以概率以概率1存在线性关系，此时称存在线性关系，此时称X，Y负相关负相关。定义定义 若若XY=0，则，则称称X与与Y不相关不相关。3、

31、若、若X与与Y相互独立，则必有相互独立，则必有X与与Y不相关。不相关。证明证明 X与与Y相互独立，有相互独立，有E(XY)=E(X)E(Y)cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0所以所以 XY=0即即X与与Y不相关。不相关。注意：注意：X与与Y不相关，不相关，X与与Y未必相互独立未必相互独立。所谓不相关只是就线性关系而言，而相互独立是就所谓不相关只是就线性关系而言，而相互独立是就一般关系而言的。一般关系而言的。二维正态随机变量二维正态随机变量(X,Y)，X与与Y独立独立例例4.18 设二维随机变量设二维随机变量221212(,)(,;)X YN 则可求得协方差则可求得协方差cov(X

32、,Y)=1 2且相关系数且相关系数XY=二维正态变量二维正态变量(X,Y)，X与与Y相互独立的充分必要条相互独立的充分必要条件是件是=0(P78 例例7)；而而XY=0表示表示X与与Y不相关，不相关，可见，可见，X与与Y独立的独立的充分必要条件是充分必要条件是X与与Y不相关不相关。X与与Y不相关不相关等价于等价于矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵1、若、若E(Xk)存在，则称存在，则称Ak=E(Xk)为随机变量为随机变量X的的k阶原阶原点矩点矩，简称，简称k阶矩阶矩(k=1,2,)，而，而E(|X|k)称为称为X的的k阶绝阶绝对原点矩；对原点矩；2、若、若EX-E(X)k存在，则称存在，则称Bk=E

33、X-E(X)k为随机为随机变量变量X的的k阶中心矩阶中心矩(k=1,2,)，而，而E|X-E(X)|k称为称为X的的k阶绝对中心矩；阶绝对中心矩；3、若、若E(XkYl)存在，则称存在，则称E(XkYl)为随机变量为随机变量X、Y的的k+l阶阶混合混合原点矩原点矩(k,l=1,2,)；4、若、若EX E(X)kY E(Y)l存在，则称存在，则称EX E(X)kY E(Y)l维随机变量的维随机变量的k+l阶阶混合混合中心矩中心矩(k,l=1,2,)。由矩的概念由矩的概念数学期望数学期望E(X)即为即为X的一阶原点矩；的一阶原点矩；方差方差D(X)即为即为X的二阶中心矩。的二阶中心矩。设设X1,X

34、2,Xn为为n个随机变量，记个随机变量，记cij=Cov(Xi,Xj)，i,j=1,2,n。则称由。则称由cij组成的矩阵为随机变量组成的矩阵为随机变量X1,X2,Xn的协方差矩阵的协方差矩阵C。即。即nnnnnnnnijccccccccccC.)(212222111211)Chebyshev(不等式或或2,EXDX方方差差,022|/PX22|1/PX定理：（切比雪夫不等式）定理：（切比雪夫不等式）设随机变量设随机变量X X 有数学期望有数学期望对任意对任意不等式不等式成立，成立，称此式为切比雪夫不等式称此式为切比雪夫不等式.4.4 大数定理大数定理22|/PX22|1/PX证明证明：设：设

35、X X为连续性（离散型类似），其密度为为连续性（离散型类似），其密度为.xf|=()xf x dx 22|()xxf x dx 22|1/PX于于是是|PX221()()Rxf x dx 22 22|/PX22|1/PX切比雪夫不等式切比雪夫不等式 说明说明 （1 1）证明切）证明切比雪夫比雪夫大数定律；大数定律；（2 2）表明）表明D D（X X）描述了）描述了X X偏离偏离E E（X X）的离散程度；）的离散程度；（3 3）给出）给出X X的分布未知时，事件的分布未知时，事件|X-E|X-E（X X）|的概的概率的一个率的一个大致估计大致估计。22/|XP22/1|XP对未知分布对未知分布

36、X X，取，取,2,3 22|3 1/3 PX80.89 9 22|2 1/2 PX30.75 4例例1 1 估计估计|()|3()XE XD X的概率的概率2()1|()|3()9(3()D XPXE XD XD X解解练练 习习例例 1 设随机变量设随机变量 X 的方差为的方差为2，则根据切比雪夫不等式，则根据切比雪夫不等式 有有 )2)(XEXp )6(YXp例例 2 设随机变量设随机变量X 和和 Y 的数学期望分别为的数学期望分别为-2 和和 2，方，方 差分别为差分别为1 和和 4，而相关系数为，而相关系数为 0.5，则根据切比雪则根据切比雪 夫不等式有夫不等式有 例例3 已知随机变

37、量已知随机变量 X 的概率分布为的概率分布为X 1 2 3 p 0.2 0.3 0.5试利用切比雪夫不等式估计事件试利用切比雪夫不等式估计事件5.1)(XEX的概率的概率.大数定理大数定理 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,Xn，若存在随机变量，若存在随机变量Y，使得对于任意正数使得对于任意正数，均有，均有0)|(|limYXPnn则称随机变量序列则称随机变量序列Xn依概率收敛依概率收敛于随机变量于随机变量Y，并记，并记为为PnXY 一、依概率收敛一、依概率收敛若存在常数若存在常数a，任意的，任意的正数正数 ，使得，使得0limaXPnn则称则称随机变量序列随机变量序列Xn依概率收敛于常

38、数依概率收敛于常数a，并记为，并记为aXPn意思是：当意思是：当aaanXaXn而而意思是：意思是：N,0|aXnn时，时，Xn落在落在),(aa内的概率越来越大。内的概率越来越大。,当当NnN,Nn aXPnaXPnaXn与与的区别的区别 辛钦大数定理（弱大数定理）辛钦大数定理（弱大数定理）设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n为独为独立、同分布的随机变量，且有相同的数学期望立、同分布的随机变量，且有相同的数学期望E E（X Xi i）=（i=1,2,=1,2,），），则对则对00，有，有11lim1niinXnP1nii=1XXn或或者者，序 序列列 以概率收敛于以概率收敛于 PX

39、即即 辛钦大数定律表明辛钦大数定律表明 若若Xk，k=1,2,.为独立同分布随机变量序列为独立同分布随机变量序列,EXk=0)(i=1,2,)，记前，记前n个变量的和个变量的和的标准化变量为的标准化变量为一、一、独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理(Lindeberg-Levy林德贝格林德贝格-列维列维)(P117 定理定理3)nnXYniin1则则Yn的分布函数的分布函数Fn(x)对任意的对任意的x(-,+)都有都有 xnnXPxYPxFniinnnnn1lim)(lim)(limdtetx2221 该定理说明，当该定理说明，当n充分大时，充分大时，Yn近似地服从标准正近似地服从

40、标准正态分布，态分布，YnN(0,1)，)(n随机变量随机变量近似地服从于正态分布近似地服从于正态分布nYnXnnii1),(2nnN 中心极限定理可以解释如下：中心极限定理可以解释如下：假设被研究的随机变量可以表示为假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变大量独立的随机变量的和量的和，其中每个随机变量对于总和的作用都很微小，其中每个随机变量对于总和的作用都很微小，则可以认为这个随机变量实际上是则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布服从正态分布的。的。在实际工作中，在实际工作中，只要只要n足够大，便可把独立同分布足够大，便可把独立同分布的随机变量之和当作正态变量的随机变量之和当作正态

41、变量。例例4.19 将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于次，则点数之和不少于500的概率是多少？的概率是多少？解解 设设Xk为第为第k 次掷出的点数，次掷出的点数，k=1,2,100，则，则X1,X2,X100独立同分布，而且独立同分布，而且27)(iXE由中心极限定理由中心极限定理1235102710050015001001iiXP1(8.78)123544961)(612iikXD0二、德莫佛二、德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理(De Moivre-Laplace)在在n重贝努里试验中，每次试验中事件重贝努里试验中，每次试验中事件A发生的概发生的概率为率为p(0p1)，记

42、，记Yn为为n次试验中事件次试验中事件A发生的次数，发生的次数，则对任何区间则对任何区间a,b(ab)，有，有221lim2tbnanYnpP abedtnpq其中其中q=1-p即即YnB(n,p)，则，则dtebnpqnpYaPtbann2221lim此定理表明，此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布。当。当n充充分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算。为正态随机变量的概率计算。一般地一般地,若若 XB(n,p)，则当，则当n较大，而较大，而p较小时较小时npqnpkenpqkXP

43、2)(221)()anpXnpbnpPnpqnpqP aXbnpqbnpanpnpqnpq即近似地，即近似地，XN(np,npq)，从而，从而例例4.21 在一家保险公司里有在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，个人参加寿命保险，每人每年付每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润有其他条件不变，为使保险公司一年的利润有99%的的概率不少于概率不少于60

44、000元，赔偿金至多可设为多少？元，赔偿金至多可设为多少？解解 设设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n,p)，其中其中n=10000，p=0.6%，np=60，npq=59.64近似地有近似地有XN(np,npq)，即，即XN(60,59.64)设设Y表示保险公司一年的利润，则表示保险公司一年的利润，则 Y=10000 12-1000X于是由中心极限定理于是由中心极限定理(1)P(Y 0)=P(10000 12-1000X 0)=1 P(X 120)1 (7.769)=0;1201X npnpPnpqnpq 99.0994.0006.010000006.01000060000a(2)设赔偿金为设赔偿金为a元，则元，则 P(Y60000)=P(10000 12-aX60000)=P(X60000/a)0.9929.769 a由中心极限定理，上式等价于由中心极限定理，上式等价于标准正态分布表标准正态分布表 选择选择=结果结果汇报结束汇报结束 谢谢观看谢谢观看！欢迎提出您的宝贵意见！欢迎提出您的宝贵意见！