河南省高中数学优质课教学设计及课件：圆锥曲线的共同特征说课稿.doc

1、 圆锥曲线的共同特征圆锥曲线的共同特征 说课稿说课稿 焦作市第十一中学焦作市第十一中学 张世科张世科 1 圆锥曲线的共同特征圆锥曲线的共同特征说课稿说课稿 教材：北师大版高中数学选修教材：北师大版高中数学选修 2 2- -1 1 第三章第四节第二课时第三章第四节第二课时 授课教师：授课教师： 焦作市第十一中学焦作市第十一中学 张世科张世科 尊敬的评委： 上午好！ 我说课的题目是圆锥曲线的共同特征 。下面，我从教材分析、学情分析、教学策略、 教学过程、教学评价五个方面对本节课的设计进行说明。 教材分析教材分析 1教材的地位与作用 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是高中数学的重要组成部分,它在

2、天文、物理 等其他学科技术领域中占有重要的地位，在生产或生活实际中有着大量的应用。本节课是 北师大版高二年级数学选修2-1第三章第四节第二课时，通过本节课的学习，加深学生对圆 锥曲线的理解和认识，进一步提高学生用代数方法解决几何问题的能力。 2教学目标 根据新课程标准要求，结合新课程理念、教材特点以及学生的认知情况，我制定了如 下教学目标： （1）知识与技能 了解圆锥曲线的共同特征并能够解决简单问题； 能够熟练运用直接法和定义法求曲线的方程。 （2）过程与方法 通过问题设置，让学生经历观察、猜想、探索、归纳的过程，在自主思考、合作探究 中学习。 （3）情感态度与价值观 通过亲身体验，增强学生主

3、动探索的意识、自主思考的习惯与合作探究的团队精神。 3教学重难点 重点：圆锥曲线的共同特征及简单运用； 难点：圆锥曲线的共同特征的探索研究。 学情分析学情分析 学生已经学习了椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程与简单几何性质等基础知识， 2 掌握了求解曲线方程的基本方法，但知识还不够系统完整，方法还需进一步熟练。 高二学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，思维活跃、求知欲强，但探究问题的能 力尚需进一步培养，合作交流等方面有待加强。 教学策略教学策略 1教学理念 教师是课堂教学的组织者和引导者，突出学生的主体地位，鼓励学生积极参与教学活 动。在学生学习过程中，以体验为红线，思维为主攻，注重师生互

4、动、生生互动，在自主、 合作、探究中学习知识。 2策略设计 以“发现探究”为主导，在“诱思探究教学”模式下，设计了三个认知层次：一、 创设情境，引入新课；二、合作交流，探究新知；三、学以致用，巩固提高。探究过程分 为五个环节：探索发现、大胆猜想、深入探究、形成结论、适度拓展。 认知层次层层深入，探究过程环环相扣。学生在动眼看、动耳听、动手做、动口说、 动脑思中愉悦的学习知识。 利用多媒体，节约课堂时间，提高课堂效率。 教学教学过过程程 一、一、创设情境创设情境，引入新课，引入新课 【课件投影】 请同学们回忆以下知识： 1椭圆、双曲线、抛物线的定义； 2椭圆、双曲线、抛物线的离心率； 3求曲线方

5、程的步骤。 （通过回忆前面所学知识，为本节课的学习做好知识准备。 ） 【课件投影】 播放平面截圆锥的视频。 （椭圆、抛物线、双曲线都可以用平面截去圆锥得到，这是它们图形上的共同特征。 ） 思考：圆锥曲线的方程有什么共同特征吗？是否还存在其它共同特征呢？ （让学生从方程中感知圆锥曲线的统一性，激发学生学习兴趣，引出课题。 ） 3 二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知 （一）探索发现 【课件投影】 赛一赛：各小组对应题号顺序做题，每组只做一道题。组内统一后，组长将结果写在 黑板上。 问题：曲线上的点),(yxM到定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e，求下 列条件下的曲线方程。 （1

6、）),( 02F，8xl:， 2 1 e； （2）),( 02F， 2 9 xl :， 3 2 e； （3）),( 04F， 4 25 xl :， 5 4 e； （4）),( 02F，1xl :，2e； （5）),( 02F， 2 1 xl :，2e； （6）),( 05F， 5 9 xl :， 3 5 e. （各小组对应题号顺序做题，每组只做一道题。组内统一后，组长将结果写在黑板上。 从具体问题开始探究，遵循学生的认知规律。观察常数e取不同数值时曲线方程的区别，发 现规律。 ） （二）大胆猜想 【课件投影】 从各小组的求解结果发现，当常数e为 2 1 ， 3 2 ， 5 4 时，曲线都为椭圆

7、；当常数e为2， 2， 3 5 时，曲线都为双曲线。 猜想：曲线为椭圆、双曲线时，常数e的取值范围分别是什么？ 猜想结论：当常数10e时，曲线为椭圆；当常数1e时，曲线为双曲线。 （结合求解结果，提出猜想：曲线为椭圆、双曲线时，常数e的取值范围分别是什么？ 学生得出结论：10e时，曲线为椭圆；1e时，曲线为双曲线。通过几何画板演示， 观察椭圆、双曲线的离心率的取值，印证猜想结果，激发学生继续探究的兴趣。 ） （三）深入探究 【课件投影】 问题：能否用前面所学知识验证猜想结论呢？定点、定直线、常数e有何意义？ 推导椭圆标准方程的部分步骤： 4 由定义可得：)0(2 21 acaPFPF，所ayc

8、xycx2 2222 )()(， 移项得： 2222 2ycxaycx)()(，平方得： 222 )(ycxacxa， 同除得： 22 2 ycx c a x c a )(，变形为: a c x c a ycx 2 22 )（ （1）. 思考交流： （1）式的几何意义是什么？ 先自主思考，总结归纳，然后将结果在组内交流，统一结论后，推举代表回答。 （提出问题：能否用前面所学知识验证猜想结论呢？定点、定直线、常数e有何意义？ 回顾推导椭圆标准方程的部分步骤，明确探索方向，引导学生深入探究。将平方后的等式 两侧同除以c，变形后得到（1）式。提出问题： （1）式的几何意义是什么？要求学生先自 主思考

9、、总结归纳，然后组内交流，教师深入学生中间进行指导，组内统一结论后推举代 表回答。 ） （结论与猜想相印证。分子为椭圆上任意一点P与 焦点F间的距离，分母为点P到直线 c a x 2 的距离。 因为ac 0，所以，常数10 e，直线 c a x 2 与 焦点F在y轴同侧，且直线在椭圆的外侧。 ） 推导双曲线标准方程的部分步骤： 由定义可得：)(caaPFPF02 21 ，aycxycx2 2222 )()(， 移项得： 2222 2ycxaycx)()(，平方得： 222 ycxacxa)( ， 同除得： 22 2 ycx c a x c a )(，变形为: a c x c a ycx 2 2

10、2 )（ （2）. 思考交流： （2）式的几何意义是什么？ 先自主思考，然后交流结果，举手回答。 （回顾推导双曲线标准方程的部分步骤，类比椭圆 的推导方式，得到（2）式。提出问题： （2）式的几何 意义是什么？要求学生先自主思考，然后同桌交流， c a x 2 c a x 2 . )0 ,(cFo y x . )0 ,(cFo y x ),(yxP . ),(yxP . ),(yxP . ),(yxP),(yxP . ),(yxP . ),(yxP . c a x 2 )0 ,(cF . x O y c a x 2 )0 ,(cF . x O y 5 举手回答。结论与猜想相印证，点在左支和右支

11、都满足。分子为双曲线上任意一点P与焦 点F间的距离， 分母为点P到直线 c a x 2 的距离。 因为ca 0， 所以常数1e， 直线 c a x 2 与焦点F在y轴同侧，且直线在双曲线右支与y轴之间。 ） 结合椭圆、双曲线结论及抛物线定义，思考问题：圆锥曲线有何共同特征？ 要求学生先自主思考，总结归纳，然后同桌交流，举手回答。 学生会回答：圆锥曲线上的点到焦点的距离与到一条直线的距离之比都是离心率e. 当10e时，是椭圆；当1e时，是双曲线，当1e时，是抛物线。 （通过本环节，让学生在自主思考、合作交流中探究知识，对知识进行“再创造” ，得 出圆锥曲线的共同特征，突破本节课难点。 ） （四）

12、形成结论 【课件投影】 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与到定直线 （直线不过定点） 的距离之比等于常数e. 当10e时，它是椭圆；当1e时，它是双曲线；当1e时，它是抛物线 注意：1.分子分母顺序不能颠倒； 2.直线不过定点； 3.定点为焦点，定直线为与焦点相应的准线，常数e为离心率。 （投影圆锥曲线的共同特征，规范学生的数学语言，强调其中的关键点。 ） 【课件投影】 播放几何画板演示视频。 （探究过程中一直使用的是右焦点与右准线，结合对称性，也有与左焦点相应的左准 线。椭圆上点到右焦点的距离与到右准线的距离之比和点到左焦点的距离与到左准线的距 离之比都为离心率。双曲线也是如此。通过几何画板演

13、示，加深对相应准线的理解，感悟 数学的对称美。 ） （五）适度拓展 （由圆锥曲线的共同特征发现，圆锥曲线也可以如下定义） 【课件投影】 平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比等于常数e的点的轨迹。 当10e时，它是椭圆；当1e时，它是双曲线；当1e时，它是抛物线 6 定点F是焦点，定直线l是与焦点相应的准线，常数e是离心率。 （我们把它称为圆锥曲线的统一定义，曲线为椭圆双曲线时，也称第二定义，前面学 习的定义为第一定义。让学生回答椭圆、双曲线的焦点在x轴的准线方程，类比得出焦点在 y轴的椭圆、双曲线的准线方程，鼓励学生课外继续探索验证，培养学生的探索精神。 ） 三、学以致用，巩固

14、提高三、学以致用，巩固提高 （一）例题讲解 【课件投影】 例 1：曲线上的点),(yxM到定点),( 02F的距离和它到定直线8xl :的距离的比是 2 1 ，求曲 线方程。 （学生用实物投影仪展示并分析解题过程。 ） 解法 1：直接法。 解：由题知： 2 1 8 )2( 22 x yx ，即 222 )8( 4 1 )2(xyx，化简得1 1216 22 yx . 所以曲线方程为1 1216 22 yx . 解法 2：统一定义法。 解：依据题意，由圆锥曲线的统一定义知：曲线为焦点在x轴的椭圆。 右焦点：)0 , 2(F，右准线：8x，离心率： 2 1 e。 所以 222 2 8 2 cba

15、c a c ，可得16 2 a，12 2 b，所以曲线方程为1 1216 22 yx . （首先学生会想到用统一定义解决该题，由题知曲线为椭圆，然后求解方程。但是题 中没有明确曲线方程为标准方程，所以先要判断它是否为标准方程。也可以使用直接法求 解，它是求曲线方程的基本方法。通过例 1，让学生熟悉统一定义的用法，强化直接法的运 用，体会两种方法的优劣，做题时恰当选择，灵活运用。 ） 【课件投影】 例 2：双曲线 1 3664 22 yx 上一点 P 到左焦点的距离是 4，求点 P 到右准线的距离. 7 （学生用实物投影仪展示并分析解题过程。 ） 解法 1：(左焦点右焦点右准线) 解：由题知：8

16、a，6b，所以10 22 bac.双曲线右支上点到左焦点),(010 1 F 的最短距离为418108ca，所以点 P 在双曲线左支. 由双曲线的第一定义知：162 12 aPFPF| 又4 1 | PF得20 2 | PF 设d是点 P 到左准线的距离，由双曲线的第二定义得：e d PF | 2 得16d 解法 2： （左焦点左准线右准线） 解：由题知：8a，6b，所以10 22 bac.双曲线右支上点到左焦点),(010 1 F 的最短距离为416108ca，所以点 P 在双曲线左支. 设d是点 P 到左准线的距离， 由双曲线的第二定义得：e d PF 1 1| | 得 5 16 1 d，

17、 又双曲线的两个准线的距离是 5 642 2 c a ，则点 P 到右准线的距离是：16 5 64 5 16 . （该题可以由双曲线的第一定义求出 2 PF，再由第二定义求出结果。或者先由第二定 义求出点P到左准线的距离，再加上两准线间距离，得到结果。但是，双曲线有两支，要 先判定点P在哪支。通过例 2，进一步体会圆锥曲线的共同特征在解题中的运用，强化知识 之间的联系，培养学生的思维能力。 ） （通过以上例题，检验学生掌握知识的程度，强化知识在解题中的应用，突出本节课 重点。解题时，要求学生先自主思考，求出结果后在组内交流，推举代表利用实物投影仪 展示并分析解题过程，锻炼学生的表达能力，培养学

18、生的综合素质。 ） （二）练习巩固 【课件投影】 1.方程 22 (2)28xyx表示的曲线是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.抛物线 2.中心在原点，准线方程为4x，离心率为 2 1 的椭圆的标准方程是_. 8 3.椭圆1 1625 22 yx 上一点P到一个焦点)0 , 3(F的距离等于 3，则点P到直线10x 的距 离为_. （通过练习，当堂检测，反馈学习效果。 ） （三）回顾反思 【课件投影】 本节课，你学习了哪些知识？掌握了哪些技能？运用到了哪些数学思想方法？我们是 如何探究知识的？ 1.圆锥曲线上的点到定点的距离与到定直线（直线不过定点）的距离之比等于常数e. 当10e时

19、，它是椭圆；当1e时，它是双曲线；当1e时，它是抛物线 2.求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法. 3.数学思想方法：数形结合、类比等. （通过回顾反思，强化所学知识，优化认知结构。 ） （四）作业反馈 必做题： 1曲线上的点),(yxM到定点)0 , 5(F的距离和它到定直线 5 16 :xl的距离的比是 4 5 ，求 曲线方程。 2已知椭圆1 1625 22 yx 上一点P到右准线的距离为 10，求点P到左准线的距离。 选做题： 1. 曲线上的点),(yxM到定点)0 , 2(F的距离和它到定直线8:xl的距离的比是 2，求 曲线方程。 2.已知点)3, 2(A，设点F为椭圆1 1216

20、22 yx 的右焦点，点M为椭圆上动点，求 MFMA2的最小值，并求此时点M的坐标。 （通过分层设置课后作业，让不同程度的学生都能得到提高和发展。 ） 结束语：圆锥曲线的统一性展现了数学的统一美，数学的发展是追求美的过程。希望 我们每一个人都努力追求美、创造美，描绘出更美好的人生轨迹！ 9 教学评价教学评价 一、教什么、学什么 通过本节课的学习，让学生了解圆锥曲线的共同特征，能够解决简单问题，强化求曲 线方程的方法，体会数学思想方法的运用。 二、怎么教、怎么学 教师组织、引导学生积极参与教学活动。学生在自主、合作、探究中，对知识进行“再 创造” 。教学中，及时发现学生的闪光点，给予鼓励，对学生出现的问题，适时点拨。通过 练习与作业，反馈学习效果。 三、为什么这样教、这样学 教育的本质在于教学生怎样去发现真理。遵循学生的认知规律，从已会知识开始探究， 靠近学生思维的最近发展区。学生对圆锥曲线的统一性的认识从朦胧之感到豁然开朗，发 展了思维能力，感悟了数学的统一美。