机械制图第二章点直线平面的投影课件.ppt

1、第二章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.1 投影法的概念 2.1.1 中心投影法 2.1.2 平行投影法 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.3.1 各类直线的投影特性 2.3.2 直线上点的投影 2.3.3 两直线的相对位置 2.3.4直角投影定理 2.4 平面的投影 2.4.1平面的表示法 2.4.2各种位置平面的投影特性 2.4.3平面内的点和直线2.1 投影法的概念投影法的概念 空间物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上出现影子，这种日常生活中的自然现象称为投影。投影法是将空间物体表达在平面上的基本方法，是绘制机械工程图样的基础。根据投射线之间的角度，投影法可分为中

2、心投影法和平行投影法两大类。2.1 投影法的概念投影法的概念中心投影法的特点是，得到的投影图与投影中心离物体的远近有关，当中心投影法的特点是，得到的投影图与投影中心离物体的远近有关，当物体靠近或远离投影中心时，其投影大小就会有变化，且一般不能表达物体靠近或远离投影中心时，其投影大小就会有变化，且一般不能表达物体的真实形状和大小，而且作图复杂。物体的真实形状和大小，而且作图复杂。投 射 线投 影投 影 中 心投 影 面sABCbca（a a）中心投影法概念）中心投影法概念 (b b)中心投影法应用中心投影法应用图图2-1 2-1 中心投影法中心投影法 2.1.1 2.1.1 中心投影法中心投影法

3、2.1 投影法的概念投影法的概念2.1.2 2.1.2 平行投影法平行投影法 如将光源S移至无穷远处，这时投射线相互平行，物体的投影就不受距离变化的影响，这种投射线都互相平行的投影方法称为平行投影法。平行投影法按照投射线和投影面的夹角不同可分为正投影法和斜投影法，具体如下：1）正投影法投射线垂直于投影面，所得投影称正投影投影方向ABCabcP（a a）正投影法概念）正投影法概念 (b b)正投影法应用正投影法应用图图2 2-2 2 正投影正投影法法2.1 投影法的概念投影法的概念（2）斜投影法投射线倾斜于（90）投影面，所得投影称斜投影90ABCabcP图图2 2-3 3 斜投影法斜投影法2.

4、2 点的投影点的投影 如图2-4所示点、直线、平面是构成形体的基本几何元素，点是构成立体最基本的几何要素，因此学习点的投影是学习直线、平面以及立体投影的基础。ABCS点直 线平 面ABCab(c)图图2 2-4 4 物体的几何元素分析物体的几何元素分析 图图2 2-5 5 点的投影点的投影2.2 点的投影点的投影1）点在两投影面体系中的投影（1）两投影面体系及点的投影 图2-6即为两投影面体系，规定正立摆放的投影面称为正投影面，简称正面，用V表示。水平摆放的投影面称为水平投影面，简称水平面，用H表示。两投影面的交线称为投影轴，用OX表示。若在两投影面体系中有一点A，过A点作垂直于V、H面的投射

5、线Aa、Aa，分别与V、H面相交得到A的正面投影a 和水平投影a。zXOAXaOVHOXxxaa aa aa a(a a)两投影面体系立体图两投影面体系立体图 (b b)投影面展开图投影面展开图 (c c)省略投影面边框图省略投影面边框图图图2-6 2-6 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影2.2 点的投影点的投影（2）点在两面投影体系中的投影规律 点的投影连线垂直于投影轴 点的投影到投影轴的距离，等于该点到另一投影面的距离 已知点的两个投影，就能唯一确定其空间位置。已知点的一个投影和空间位置，根据投影规律也可以作出该点的另一个投影。zXOAXaOVHOXxxaa aa aa a

6、 (a a)两投影面体系立体图两投影面体系立体图 (b b)投影面展开图投影面展开图 (c c)省略投影面边框省略投影面边框图图图图2-6 2-6 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影2.2 点的投影点的投影2）点在三投影面体系中的投影（1）三投影面体系 在V、H两投影面体系基础上，在右面再加一个投影面，使其与V面和H面都垂直，称为侧投影面，简称侧面，用W表示，zyxa a zzxaa AzyxYyaOxya zyyaHYOxX4 5 ayZaaZzzZayaXaOYHaaya a VHWxYWWYXaaxay (a)(b)(c)(a)(b)(c)图图2 2-7 7 点的三投影面体

7、系点的三投影面体系2.2 点的投影点的投影2）点在三面投影体系中的投影及其规律 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX 轴 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ 轴 点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ 轴的距离 点的投影规律表明了点的任一投影和其余两个投影之间的联系。根据第三条规律可以知，过a的水平线和过a的垂直线必定交于过原点O且与水平线夹45角的斜线上，这样点的三投影连线组成了一个矩形线框，如图2-7c 所示。zyxa a zzxaa AzyxYyaOxya zyyaHYOxX4 5 ayZaaZzzZayaXaOYHaaya a VHWxYWWYXaaxay (a)(b)(c

8、)(a)(b)(c)图图2 2-7 7 点的三投影面体系点的三投影面体系2.2 点的投影点的投影（3）由点的两个投影求第三投影【例2-1】在三投影面体系中有空间点A(20，23，30）点B(30，0，12）、点C(0，29，0），求各点的三面投影。b XAb BbaoYa Za HYWa a ZOXHaYCcc c 2 03023 (a)(a)点的空间情况点的空间情况图图2-8 2-8 已知点的三个坐标，作点的投影已知点的三个坐标，作点的投影 2.2 点的投影点的投影bXAbBbaoYaZaHYWaaZOXHaYCccc203023YWaaZObXbHaYb3012YWaaZObXbHaYbc

9、cc29(a)(a)点的空间情况点的空间情况 (b)(b)求求A A点三面投影点三面投影 (c c)加求加求B B点三面投影点三面投影 (d)(d)加求加求C C点三面投点三面投影影2.2 点的投影点的投影【例2-2】已知A点的两个投影a和a（图2-9a），求其水平投影a。分析：由于已知A点的正面投影a和侧面投影a，则点的空间位置可定，即点A的三个坐标X、Y、Z都已知，根据点的投影规律，aaOX，a ax =aaz，作出其水平投影a。(b b)作图过程作图过程 (c)(c)作图结果作图结果YWZOXHYYWZOXHYaaaaaxaza45145azYWZOXHYaaaxazaaYWZOXHYY

10、WZOXHYa a a a axaza4 5 14 5 azYWZOXHYa a axazaa图图2-9 2-9 已知点的两投影求第三投影已知点的两投影求第三投影(a)(a)题设题设 2.2 点的投影点的投影3)两点的相对位置 两点的相对位置是指以其中一点为基准，另一点相对于该点的左右、前后、上下的位置关系，通常用两点的相对坐标，即坐标差来表示。【例2-3】如图2-10a表示在三投影面体系中有A、B两点，已知各点坐标分别为A(20，15，30），B(30，10，12），分析它们的相对位置，并在三投影面体系立体图中，画出两点的空间位置。(a)(a)题设题设 b)b)点点A A的空间位置的空间位置

11、 (c)A(c)A、B B两点的空间位两点的空间位置置 图图2-2-10 10 两点的相对位置两点的相对位置ZYoXYWa a ZOb Xb HaYb2 03 010151230a a aAZYoXa a aAb b bB注意：注意：点的点的Y Y坐标离坐标离OXOX轴向下愈远，代表愈向前，离轴向下愈远，代表愈向前，离OZOZ轴向右愈远，代表愈轴向右愈远，代表愈向前。向前。ZYoXYWa a ZOb Xb HaYb2 03 010151230a a aAZYoXa a aAb b bB (a)(a)题设题设图图2-10 2-10 两点的相对位置两点的相对位置2.2 点的投影点的投影【例2-4】

12、已知A点的三面投影如图2-11a所示，B点在A点的左方16，后方18，下方20，求B点的三面投影。分析：根据题目知分析：根据题目知B B点相对于点相对于A A点的相点的相对坐标差对坐标差x x=16=16、y y=-18=-18、z z=-=-2020，用相对坐标可作出用相对坐标可作出B B点的投影图点的投影图。4 5aYHXOYWZa a a4 5aYHXOYWZa a a1 618201 8b bb (b)(b)作出作出B B点的投点的投影影4 5aYHXOYWZa a a4 5aYHXOYWZa a a1 618201 8b bb(a)(a)已知已知图图2 2-1-11 1 根据根据B

13、B点与点与A A点的相对位置作出点的相对位置作出B B点的三面投影点的三面投影2.2 点的投影点的投影4）重影点的投影 当两点的某两个坐标相同时，该两点处于对某投影面的同一投射线上，因而这两点在该投影面上的投影重合，称为对该投影面的重影点。在投影图上，如果两个点的投影重合时，相对于该投影面，距离（即对该在投影图上，如果两个点的投影重合时，相对于该投影面，距离（即对该投影面的坐标值）较大的那个点是可见的，而另一个点是不可见的。因此，投影面的坐标值）较大的那个点是可见的，而另一个点是不可见的。因此，常利用重影点来判别可见性的问题。常利用重影点来判别可见性的问题。ZXAabBYOb a a (b )

14、a aYWa (b )ZOHYXbb 图图2 2-1-12 2 重影点重影点(a)(b)(a)(b)2.2 点的投影点的投影【例2-5】已知点A的三面投影（图2-13a），点B在点A正下方15，点C在点A正后方8，求作点B和C的三面投影。(b)(c)(b)(c)aYWaZOHYXbaZbBAa(b)Oa(c)XYaCcca(b)YWaZOHYXa(c)15bbcc88a45aYWa ZOHYXb a Zb BAa(b)Oa(c)XYa Cc ca(b)YWa ZOHYXa(c)15b b c c88a4 5(a)a)图图2 2-1-13 3求作重影点的三面投影求作重影点的三面投影 分析 因为点

15、B在点A正下方15，则B点与A点的X坐标和Y坐标都相同，只是Z坐标比A点小15，即z=-15，B点与A点在H面上重影。而C在点A正后方8，则C点与A点的X坐标和Z坐标都相同，只是Y坐标比A点小8，即Y=-8，C点与A点在V面上重影，空间关系如图2-13b所示。2.3 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。b XAb BbaoYa Za HYWa a ZOb Xb HaYbbYaHb Xb OZa a WY 图图2 2-1-14 4直线的投影直线的投影规定：规定：直线的投影用粗实线表示，而轴线、投影连线等均为细实线直线的投影用粗实线表示，而轴线、投

16、影连线等均为细实线2.3 直线的投影直线的投影2.3.1 2.3.1 各类直线的投影特性各类直线的投影特性1）直线的基本投影特性：（1）直线倾斜于投影面（图2-15a），其投影仍为直线，但投影长度小于实长。（2）直线平行于投影面（图2-15b），其投影仍为直线，且投影长度等于实长。（3）直线垂直于投影面（图2-15c），其投影积聚成为一点。HHHABCDEFabcde(f)图图2 2-1-15 5 直线的基本投影特性直线的基本投影特性(a)(b)(c)(a)(b)(c)2.3 直线的投影直线的投影2）直线在三投影面体系中的投影 空间直线在三投影面体系中对投影面的位置可分为特殊位置直线和一般位置

17、直线，特殊位置直线又分为投影面垂直线和投影面平行线。下面分别介绍各种位置直线的投影特性。规定：直线与V面的倾角为，与H面倾角为，与W面的倾角为。1）投影面垂直线 在三投影面体系中，垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直线。由于三个投影面之间相互垂直的关系，这时与其它两个投影面必然都平行。投影面垂直线又分为正垂线（V 面）、铅垂线（H 面）和侧垂线（W 面），表2-1列出了各种投影面垂直线的投影及其投影特性。2.3 直线的投影直线的投影表表2 2-1 1 投影面垂直线的投影及其投影特性投影面垂直线的投影及其投影特性(b)baBbAaaZYXXYZCDc(d)cdcdXYZCDc(d)cdcdbaX

18、HYa(b)Zb a Y wOYwXYHOZcdc(d)cdeXYHfYwf eZe(f)O2.3 直线的投影直线的投影表表2 2-2 2 投影面平行线的投影及其投影特性投影面平行线的投影及其投影特性在三投影面体系中，只平行于一个投影面而与其它两个投影面都倾斜的直线称为投影面平行线。投影面平行线又分为正平线（V 面）、水平线（H面）和侧平线（W面），表2-2列出了各种投影面平行线的投影及其投影特性。（2）投影面平行线2.3 直线的投影直线的投影（3）一般位置直线 图2-16表示一般位置直线AB的三面投影，由于一般位置直线对三个投影面均倾斜，因此在三个投影面上的投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹

19、角也不反映直线与投影面之间的倾角。直线的三面投影都小于实长，其长度为实长与相应倾角余弦的乘积，即ab=ABcos，ab=ABcos，ab=ABcos。a XBa AabOYa aYHbXa OY wb b Zb b Z 图图2 2-16 6 一般位置直线的投影一般位置直线的投影2.3 直线的投影直线的投影【例2-6】判断图2-17中各直线的空间位置。baa xb c d e fg h cdefghm n m(n)图图2 2-1-17 7 根据各直线的投影，判断其空间位置根据各直线的投影，判断其空间位置判断如下：判断如下：（1）根据）根据ABAB的两个投影均与的两个投影均与X X轴倾斜，可以判断

20、此线段为一般位置直线；轴倾斜，可以判断此线段为一般位置直线；（2）根据）根据CDCD的水平投影与的水平投影与X X轴平行，说明直线各点与轴平行，说明直线各点与V V面等距，正面投影与面等距，正面投影与X X轴倾斜，说明直线轴倾斜，说明直线与与H H面倾斜，可以判断此线段为正平线；面倾斜，可以判断此线段为正平线；（3）根据）根据EFEF的两个投影均与的两个投影均与X X轴垂直，说明直线各点与轴垂直，说明直线各点与W W面等距，可以判断此线段为侧平线；面等距，可以判断此线段为侧平线；（4）根据）根据GHGH的两个投影均与的两个投影均与X X轴平行，而轴平行，而X X轴垂直于轴垂直于W W面，故直线

21、垂直于面，故直线垂直于W W面，可以判断此线段为面，可以判断此线段为侧垂线。侧垂线。（5）根据）根据MNMN的正面投影与的正面投影与X X轴垂直，水平投影积聚成一点，可判断轴垂直，水平投影积聚成一点，可判断MNMN垂直于垂直于H H面，为铅垂线。面，为铅垂线。2.3 直线的投影直线的投影2.3.2 2.3.2 直线上点的投影直线上点的投影 直线上点的投影特性：（1）从属性 点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上；反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一定在直线上。aXvBwaAaHboYaaYHbXaoYbbZbbZcccCcccw图图2 2-1-18 8 直线上的点的投影直

22、线上的点的投影2.3 直线的投影直线的投影（2）定比性 直线上的点分割直线成两段，则两线段实长之比等于分割两线段的各个同面投影之比。如图2-18所示，直线AB上的点C分AB为两线段AC和CB，两线段与其投影有下列定比关系：bccabccacbacCBACaXvBwaAaHboYaaYHbXaoYbbZbbZcccCcccw图图2 2-1-18 8 直线上的点的投影直线上的点的投影2.3 直线的投影直线的投影【例2-7】如图2-19a所示，已知AB线段的两面投影，试在AB上取一点C，使 AC:CB=3:2，求C点的投影。baa xb baa xb R 2 05 0bc c1c1(a)a)图图2

23、2-19 19 求直线上指定比例点求直线上指定比例点C C的投影的投影baa xb baa xb R 2 05 0bc c1c1 (b)(b)分析：作具有分析：作具有3 3:2 2比例的辅助比例的辅助线，再用相似三线，再用相似三角形的方法，得角形的方法，得到投影上的分点。到投影上的分点。2.3 直线的投影直线的投影【例2-8】已知侧平线AB及点N的两面投影（图2-20a），判断点N是否在直线AB上。n a b aXnbn a b aXnbn a b YYZOHWn a b aXnbbnoo(a)(a)题设题设 图图2 2-20 20 判断点是否在直线上判断点是否在直线上 分析：由于直线分析：由

24、于直线ABAB是侧平线，投影连线与是侧平线，投影连线与直线投影重合，仅凭已知投影还不能明确判直线投影重合，仅凭已知投影还不能明确判断结果，必须通过作图来作出判断。一般判断结果，必须通过作图来作出判断。一般判断的方法有求出第三投影法和用定比法。断的方法有求出第三投影法和用定比法。nabaXnbnabaXnbnabYYZOHWnabaXnbbnoo (b)用第三投影判断用第三投影判断 (c)用定比性判断用定比性判断2.3 直线的投影直线的投影2.3.3 2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置 两直线在空间的相对位置有平行、相交、交叉三种情况，其中平行和相交两直线，均为同面直线，而交叉两直线不

25、在同一平面上，又称为异面直线。1)平行两直线 若空间两直线相互平行，其各同面投影必定相互平行，且投影长度之比相等，端点字母顺序相同；反之若两直线的各同面投影都互相平行，则两直线在空间也一定平行，如图2-21所示。DdBbACcaWYZc oHYd a c acXd dba b b(a)(b)(a)(b)图图2 2-2-21 1 平行两直线平行两直线2.3 直线的投影直线的投影【例2-9】已知直线AB两投影a b、ab和直线CD的部分端点投影c、d，完成CD的投影，使AB/CD。ba ac b dba ac b dcd 平 行平 行XX (a)(a)分析：只要过已分析：只要过已知端点分别作已知知

26、端点分别作已知直线同面投影的平直线同面投影的平行线即可。行线即可。(b)(b)ba ac b dba ac b dcd 平 行平 行XX (b)(b)图图2-222-22完成完成ABAB的平行线的平行线CDCD的两面投影的两面投影2.3 直线的投影直线的投影【例2-10】已知直线AB和CD的两面投影，如图所示，判断两直线的相对位置。分析：对于一般位置直线，只要有两个同分析：对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。但对名投影互相平行，空间两直线就平行。但对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判行，

27、空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影，或证明投断，其中应包括反映实长的投影，或证明投影长度之比相等，还可证明四个端点是同面影长度之比相等，还可证明四个端点是同面的。的。baacbddcbaacbddcbaacbddc不 重 合不 垂 直kk0b0kbaacbddc不 平 行abdc (b)(b)第三投影判断第三投影判断 (c)(c)线段投影长之比判断线段投影长之比判断 (d)四点共面判四点共面判断断ba ac b dd cba ac b dd cba ac b dd c不 重 合不 垂 直k k0b0kba ac b dd c不 平 行a b d c(a)(a)题题设

28、设 图图2-232-23判断判断ABAB与与CDCD两直线的相对位置两直线的相对位置2.3 直线的投影直线的投影 2）相交两直线 空间相交的两直线必有一个交点，交点为两直线的共有点。相交两直线的各同面投影必相交，且交点的投影符合直线上的点的投影规律，即符合从属性及定比性。反之，两直线在投影图上的各同面投影都相交，且交点的投影符合直线上的点的投影规律，则两直线在空间必定相交。ddDoXcaAkbdackdbYHCKBackZcbbkawYcdabkX(a)(b)(a)(b)图图2 2-2-24 4 相交两直线的投影相交两直线的投影2.3 直线的投影直线的投影【例2-11】已知直线AB和C点的两面

29、投影，如图所示，试过C点作正平线CD与AB相交。分析：所作直线的投影要既满足投影面平分析：所作直线的投影要既满足投影面平行线的投影特性，又要满足相交直线的条件行线的投影特性，又要满足相交直线的条件。baacbc平 行baacbcdd (b)(b)ba ac b c平 行ba ac b cdd(a)(a)图图2-25 2-25 相交两直线的投影相交两直线的投影2.3 直线的投影直线的投影 3）交叉两直线 若空间两直线既不平行也不相交，称为交叉两直线。如图2-26所示，AB、CD两直线的水平投影abcd，但ab和cd延长后却相交，因此AB、CD为交叉两直线。XbABbacdCDdcacbddbXa

30、ac(a)(b)(a)(b)图图2 2-26 6 交叉两直线的投影（一）交叉两直线的投影（一）2.3 直线的投影直线的投影如图2-27中，两直线的同面投影也是相交的，但这些所谓的“交点”并不符合同一点的投影规律，所以AB、CD为交叉两直线.bdbd1c32c43(4)aXaABDCcacadbbd1(2)IIIIV(4)X3III1234(2)1(a)(b)(a)(b)图图2 2-2-27 7 交叉两直线的投影（二）交叉两直线的投影（二）2.3 直线的投影直线的投影交叉两直线的投影可能会有一组或二组是互相平行，但决不会三组同面投影都互相平行。c a Zc Wd Od dYcHYb a b aX

31、bd b a b c Obc a cXadd WYYHZd XadbcOa c b k K o(a)(b)(c)(a)(b)(c)图图2 2-2-28 8 交叉两直线的投影（三）交叉两直线的投影（三）2.3 直线的投影直线的投影【例2-12】已知交叉两直线AB和CD点的两面投影，如图所示，试作出重影点的两面投影，并判别和标明其可见性。分析：这是两条交叉的异面直线，分析：这是两条交叉的异面直线，直线投影的直线投影的“交点交点”是两直线上相应是两直线上相应两点的重影，根据两点相对与投影面两点的重影，根据两点相对与投影面的距离判别可见性。的距离判别可见性。b d bd1 c3 2 1(2)c43(4

32、)a Xab d bdcca Xa (b)(b)b d bd1 c3 2 1(2)c43(4)a Xab d bdcca Xa(a)(a)图图2-29 2-29 交叉两直线重影点的投影及可交叉两直线重影点的投影及可 2.3 直线的投影直线的投影2.3.42.3.4直角投影定理直角投影定理 当相交两直线互相垂直，且其中一条直线平行于某一投影面时，则两直线在该投影面中的投影一定成直角。此投影特性称为直角投影定理。此定理的逆定理也成立，即若两直线在同一投影面中的投影互相垂直，且其中一条直线平行于该投影面，则两直线在空间必互相垂直。acBCAbabXcabcabcX图图2 2-30 30 直角投影定理

33、直角投影定理2.3 直线的投影直线的投影【例2-13】求AB、CD两直线之间的距离 分析：两直线之间的距离即它们分析：两直线之间的距离即它们公垂线的实长。本题直线公垂线的实长。本题直线CDCD是铅垂是铅垂线，线，ABAB是一般位置直线，所以它们是一般位置直线，所以它们的公垂线是一条水平线（图的公垂线是一条水平线（图2 2-31b31b），符合使用直角投影定理的条件。符合使用直角投影定理的条件。XacdbadbccbedkaDECbcdeakXKbBkAacdebakcdXe (b)(b)空间分析空间分析 (c)(c)作图结作图结果果 Xac dba d b c c b e d k a DECb

34、c d eakXKbBkAac d eb a k c d Xe(a)(a)题设题设图图2-312-31求求ABAB、CDCD两直线之间的距离两直线之间的距离2.3 直线的投影直线的投影【例2-14】已知等腰三角形ABC的底边AC为一水平线，顶点B位于直线AM上，求该等腰三角形的投影。分析：求等腰三角形的顶分析：求等腰三角形的顶点点B B，即求其底边的垂直平分，即求其底边的垂直平分线和直线线和直线AMAM的交点，因的交点，因ACAC是是水平线，故其垂直平分线的水平线，故其垂直平分线的水平投影与水平投影与acac垂直垂直。acmaXcmacmaXcmbbamXmbcabc (b)(b)求求B B点

35、投影点投影 (c)(c)完成作图完成作图 acma Xc m acma Xc m bb amXm b c a bc (a)(a)题题设设 图图2-32 2-32 求等腰三角形的投影求等腰三角形的投影2.4 平面的投影平面的投影2.4.12.4.1平面的表示法平面的表示法1）用几何元素表示平面a b c aa ab bc a b c cbabdb b c cbcacc d a a acb(a)(a)不在一直线上的三点不在一直线上的三点(b)(b)一直线和直线外的一点一直线和直线外的一点(c)(c)相交两直线相交两直线(d)(d)平行两直线平行两直线(e)(e)任意平面图形投任意平面图形投影影 图

36、图2 2-33 33 用几何元素的投影表示平面用几何元素的投影表示平面由图由图2 2-3333不难看出，不在一直线上的三点是决定平面位置的基本几何元素，其不难看出，不在一直线上的三点是决定平面位置的基本几何元素，其他各种表示法则是由此派生，并可以相互转换。通常以平面形表示平面最为常他各种表示法则是由此派生，并可以相互转换。通常以平面形表示平面最为常用。用。2.4 平面的投影平面的投影2）用迹线表示平面 平面与投影面的交线，称为平面的迹线，也可以用迹线表示平面，称为迹线平面。WPXOHPZVPVHYYXPHOYWPVZPW (a)(a)(b)(b)图图2 2-3434用迹线表示平面用迹线表示平面

37、2.4 平面的投影平面的投影2.4.22.4.2各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性1）平面的基本投影特性：（1）平面垂直于投影面，其投影积聚为一条直线，平面上点或直线等的投影都重合在这条直线上，见图2-35a。（2）平面平行于投影面，其投影反映实形，见图2-35b。（3）平面倾斜于投影面，其投影呈类似形，见图2-35c。BAba(a)(b)(c)(a)(b)(c)图图2 2-3535平面的基本投影特性平面的基本投影特性2.4 平面的投影平面的投影2）平面在三投影面体系中的投影 在三投影面体系中，平面可分为特殊位置平面和一般位置平面。特殊位置平面又分为投影面垂直面和投影面平行面，下面分

38、别进行介绍：（1 1）投影面垂直面）投影面垂直面只垂直某一个投影面，而对另外两个投影面倾斜的平面称为投只垂直某一个投影面，而对另外两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。垂直于影面垂直面。垂直于V V面的平面称为正垂面，垂直于面的平面称为正垂面，垂直于H H面的平面面的平面称为铅垂面，垂直于称为铅垂面，垂直于W W面的平面称为侧垂面。面的平面称为侧垂面。表表2 2-3 3投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性2.4 平面的投影平面的投影（2）投影面平行面 平行于某一个投影面，同时垂直另外两个投影面的平面称为投影面平平行于某一个投影面，同时垂直另外两个投影面的平面称为投影面平行面。平行于行面

39、。平行于V V面的平面称为正平面，平行于面的平面称为正平面，平行于H H面的平面称为水平面，平面的平面称为水平面，平行于行于W W面的平面称为侧平面。面的平面称为侧平面。表表2 2-4 4投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性2.4 平面的投影平面的投影(3)一般位置平面 即对三个投影面都倾斜的平面。如图2-36所示为一般位置平面ABC的投影,由于它对三个投影面都是倾斜的，因此一般位置平面的投影特性是：三个投影(abc、abc和abc)都是小于实形的类似形。XaAabBbYaaXbcaZcbbabYHcOYWccZCc(a)(a)(b)(b)图图2 2-3636一般位置平面的投影特性一般

40、位置平面的投影特性2.4 平面的投影平面的投影 一般位置平面在V、H、W面上都有迹线，都不平行于投影轴，并且每两条迹线相交于投影轴上的同一点.应用上述各种位置平面的投影特性，分析图2-37中机件的表面，可以得出以下判断：A-水平面；B-正平面；C-侧平面；D-侧垂面；E-正垂面；F-铅垂面；G-一般位置平面。abcdefgabcdefgabcedfg 图图2-372-37各类位置平面实例各类位置平面实例2.4 平面的投影平面的投影2.4.32.4.3平面内的点和直线平面内的点和直线1）平面内的点和直线（1）点在平面内的条件是：若点在平面内的一条直线上，则此点必定在该平面上。（2）直线在平面内的

41、几何条件（符合下列条件之一）：通过平面上的两个点。通过该平面内的一个点，且平行于该平面内的另一直线。2.4 平面的投影平面的投影【例2-15】已知点C和直线AB分别属于DEF平面内，试完成它们的另一个投影。abcc XOd e ffdeabc XOd e ffdeaa bcb c XOd e ffde1 1232 3(a)(a)题设题设 abccXOdeffdeabcXOdeffdeaabcbcXOdeffde112323 (b)求求C点水平投影点水平投影 (c)求直线求直线AB正面投影正面投影 图图2-38 2-38 求作平面上的点求作平面上的点2.4 平面的投影平面的投影【例2-16】已知

42、五边形ABCDE的正面投影，以及AB、BC边的水平投影，其中EDBC，试完成五边形的水平投影。dababccdababccX11ddababccdeeeeXXdababccdeeX平 行 b)b)作作D D点水平投影点水平投影 (c)(c)作作E E点水平投影点水平投影 (d)(d)完成作完成作图图 分析 完成五边形的水平投影，关键是作出端点D和E的水平投影d和e。可通过连接多边形的对角线，以及满足平行关系，找出端点d和e。d aba b cc d aba b cc X1 1dd aba b cc de e e eXXd aba b cc de eX平 行(a)(a)题设题设图图2-39 2-

43、39 完成五边形的水平投影完成五边形的水平投影2.4 平面的投影平面的投影2）作平面上的投影面平行线 在平面上可以作无数条直线，其中凡在平面上且平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面平行线。平面上投影面平行线的投影，既有投影面平行线的投影特性，又符合平面上直线的投影性质。同一平面上可作无数条投影面平行线，它们是相互平行的。aXa bcmOb c m n n图图2-402-40平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线 2.4 平面的投影平面的投影【例2-17】已知ABC平面的两面投影，试在平面内作出距离H面为L的水平线EF。aXa bcOb c c b Ocba Xae f feLLPV分析：所有距离H面为L的几何元素的轨迹为一个水平面，其正面投影（V面迹线）为X轴之上相距L的平行线，此面与ABC平面的交线即为所求。aXabcObccbOcbaXaef feLLPV (a)(b)(a)(b)图图2-41 2-41 在平面上作距离在平面上作距离H H面面L L的投影面平行线的投影面平行线 图图2-41 2-41 在平面上作距离在平面上作距离H H面面L L的投影面平行线的投影面平行线Thanks!