微积分学PPt标准课件24-第24讲不定积分及其计算-.ppt
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- 微积分学 PPt 标准 课件 24 不定积分 及其 计算
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1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写:刘楚中教案制作:刘楚中 第五章 一元函数的积分本章学习要求:熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿莱布尼兹公式.理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知
2、的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第五章第五章 一元函数的积分学一元函数的积分学第三节第三节 不定积分及其计算不定积分及其计算一.不定积分的概念二.不定积分的计算上的全体原函数的集合在区间 I )(xf I ,)()(|)(xxfxFxF记为上的不定积分在称为 ,I )(xf)()(d)(为任意常数CCxFxxf的一个原函数;为其中)()(,xfxF称为被积表达式;称为被积函数 d)(,)(xxfxf称为不定积分号;.称为积分常数C一.不定积分的概念,)(,的全部原函数的过程称求已知函数习惯上xf .)(的不定积分为求函数xf .运算求不
3、定积分是求导的逆 例如:;d2 ,2)(22Cxxxxx ;sin dcos ,cos)(sinCxxxxx.|lnd1 ,1)|(lnCxxxxx每一个求导公式,反过来就是一个求原函数的公式,加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式.不定积分与定积分是两个不同的概念.)(limd)(:10|niiixbaxfxxf限定积分是一种和式的极 ),()(:则算不定积分是求导的逆运xfxF .)(d)(CxFxxf 请参看第五章第二节微积分基本公式中关于函数的原函数与函数的可积性的论述.二.不定积分的计算利用不定积分的性质利用不定积分的性质换元法换元法(第一、第二第一、第二)分部积分法分部积分法部分
4、分式法部分分式法1.利用性质计算不定积分首先介绍不定积分的基本性质.),()d)(xfxxf,d)(d)(dxxfxxf,)(d)(Cxfxxf.)()(dCxfxf 逆运算则设 (I),)(),(21Rxfxf,d)(d)(d)()(2121xxfbxxfaxxbfxaf .,为常数其中ba.函数的和的形式该性质可推广至有限个 线性性质例1.d)12(33xx求解 d1)6128(d)12(24633xxxxxxxxxxxxxdd6d12d8246 .251278357Cxxxx例2.d1132 2xxxx求解)(165211322除法xxxxxxxxxxxxd)1652(d11322xxx
5、xxd116d5d2 .|1|ln652Cxxx绝对值绝对值例3.d13 22xxx求解xxxxxxxxxd113d3d1333d1322222 .arctan33Cxx利用加一项、减一项的方法.例4.1d xex求解xeexxeeeexxxxxxxd1dd111d.)1ln(Cexx?利用加一项、减一项的方法.例5.)()(d babxaxx求解xbxaxbabxaxxd111)(d xbxxaxbad1d11 .ln1Cbxaxba部分分式法例6 .dsincos2cos 22xxxx求解 dsincossincosdsincos2cos222222xxxxxxxxxxxxxdcos1ds
6、in122.tancotCxx .下面看另一种解法例6 .dsincos2cos 22xxxx求解xxxxxxxxdsincos42cos 4dsincos2cos2222xxxd)2(sin2cos2 2221vvv .2sin2Cx 有何想法?两个解法答案不同,你例7 .sin1d xx求解 d )sin1)(sin1(sin1 sin1dxxxxxxxxxdcossin12xxxxxdcossindcos122.sectanCxx想想它是谁的导数?怎么做?怎么做?利用平方差公式例8 .d2 xexx求解Ceexexexxxx)2ln()(2 d)2(d2 .2ln12Cexxaaaxxl
7、n)(例9 .d|xex求解 ,0 时当 x,dd1|Cexexexxx ,0 时当 x,dd2|Cexexexxx ,故必是连续函数由于一个函数的原函数,)(lim)(lim2010CeCexxxx ,2 21从而即有 CC .0 ,0 ,2d|xCexCexexxx.)(为积分常数C2.不定积分的换元法 利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.(1)不定积分的第一换元法
8、:公式首先看复合函数的导数 )(),(上的可构成区间设可微函数IxuuFy ),()()(xxFxF ),(则可微的复合函数xFy 它的微分形式为xxxFxFd)()()(d(),()(则记ufuF ,d)(d)()()(d(uufxxxfxF看出点什么东西没有看出点什么东西没有?原函数原函数?被积表达式被积表达式?也是被积表达式也是被积表达式?定理 ,)()(上的一个原函数在区间是设IufuF ,)(),()(且上可微在区间又JxuICuf ,)(上有则在区间JIJ .)()(d)(d)()(CxFCuFuufxxxf该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。证明过程请看书!例10解
9、.dcossin 3xxx求 ,dcosd ,sin 故则令xxuxuuuxxxddcossin33Cu 441C4sin41例11解.dsin 3xx求 ,sin)cos1(sinsinsin 223xxxxx由于 ,dsind ,cos 得从而,则故令xxuxu)d)(1(dsin)cos1(dsin223uuxxxxx ddd)1(22uuuuu.coscos313133CxCuu 常用的公式有:;)sin(d)(dcos)(sin )1(xuuufxxxf;)cos(d)(dsin)(cos )2(xuuufxxxf;)tan(d)(cosd)(tan )3(2xuuufxxxf;)s
10、in(d)1(dcossin )4(1212xuuuuxxxnmnm;)cos(d)1(dcossin )5(1212xuuuuxxxnmmn;)tan()1(ddcossin )6(12222xuuuuxxxnmmnm;)cos()1(dusind )7(222xuuxxnn;)sin()1(dcosd )8(222xuuuxxnn;)tan(d)1(sind )9(2122xuuuuxxnnn;)tan(d)1(cosd )10(122xuuuxxnn.,Znm其中例12解.dcossin 310 xxx计算 ,dcosd ,sin 于是则令xxuxuuuuxxxd)1(dcossin21
11、0310uuud)(1210Cuu1311131111.sin131sin1111311Cxx例13解.cos d 4xx计算 ,cos dd tan 2于是,则令xxuxuxxxxxxxxdcos1secdcos1cos1cosd22224xxx22cosd)tan1(.tan31tan3133CxxCuuuud)1(2例14解.dsec xx求xxxxxxxdsec sec)sec(tan dsecxxxxxdsectan)sec(tan.|sectan|lnCxxCxxCuuuuxxxxxxxx 1sin1sin ln21 11 ln21 1dsin1dcoscos dcos dsec
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