常数项级数的审敛法解析课件.ppt

1、一、一、正项级数正项级数及其敛散性的判别法及其敛散性的判别法二、二、交错级数交错级数及其敛散性的判别法及其敛散性的判别法三、三、绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛12.2 常数项级数的敛散性的判别法常数项级数的敛散性的判别法上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页第十二章第十二章 上页下页铃结束返回首页一、正项级数及其一、正项级数及其敛散性的判别法敛散性的判别法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.v正项级数正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.下页下页v定理定理1(正项级数收敛的充要条件正项

2、级数收敛的充要条件)即若即若,0nu1nnu则称则称为正项级数为正项级数.若若1nnu收敛收敛,收敛则nS,0nu部分和数列部分和数列nSnS有界有界,故故nS1nnu从而从而又已知又已知故有界故有界.单调递增单调递增,收敛收敛,也收敛也收敛.证证:“”“”上页下页铃结束返回首页v定理定理2(比较判别法比较判别法)设1nnu和1nnv都是正项级数 且 unvn(n1 2 )下页下页(1)若级数若级数1nnv则级数则级数(2)若级数若级数则级数则级数1nnv收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.1nnu的部分和的部分和,则有则有nnS设设和和分别表示级数分别表示级数1nnu和和1nnv

3、(1)若若1nnv则则n则则(2)若若因此因此,limnn故故也发散也发散.0nnS也收敛也收敛.发散发散,收敛收敛,故故证证:有界有界,从而从而nS有界有界,1nnu1nnu1nnvlim,nnS 1nnu上页下页铃结束返回首页v定理定理2(比较判别法比较判别法)推论推论 设1nnu和1nnv都是正项级数 且 unkvn(k0 nN)下页下页 设1nnu和1nnv都是正项级数 且 unvn(n1 2 )(1)若级数若级数1nnv则级数则级数1nnu(2)若级数若级数则级数则级数1nnv收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.1nnu(1)若级数若级数1nnv则级数则级数1nnu(2)

4、若级数若级数则级数则级数1nnv收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.1nnu上页下页铃结束返回首页例例1：判断下列级数的敛散性。：判断下列级数的敛散性。12nn=0sin11,22nnnu=sin解解:(1)因为因为所以所以,由由比较判别法可知，比较判别法可知，级数级数01sin2nn收敛收敛.它收敛它收敛,且级数且级数12nn=0112q 为为的几何级数的几何级数,上页下页铃结束返回首页 解解 下页下页v定理定理2(比较判别法比较判别法)例 1 讨论 p级数)0(11pnpn的收敛性 解 当 p1 时 nnp11 而级数所以级数pnn11也发散 nnp11 而级数11nn发散 设

5、设un和和vn都是正项级数都是正项级数 且且un kvn(k0 n N)若级数若级数vn收敛收敛 则级数则级数un收敛收敛;若级数若级数un发散发散 则级数则级数vn发散发散 11pnxn 时,因为当时,有当当11,ppnxppnx从而从而,有有上页下页铃结束返回首页11pnxn 时,因为当时,有11,ppnx所以 11111nnpppnndxdxnnx11111.1(1)pppnn2,3,n 当当 当 p1 时 1)1(111111pppnnpn(n2,3,)即即考虑级数考虑级数1121)1(1ppnnn的部分和的部分和:n11121)1(1ppnkkk11111111111223(1)pp

6、pppnn上页下页铃结束返回首页而级数1)1(1112ppnnn收敛 所以级数收敛 所以级数pnn11也收敛 结论结论:当当 p 1 时收敛时收敛;当当 p 1 时发散时发散.n1)1(11pn1故该级数收敛故该级数收敛.311211nnnnn例如例如:级数级数312p p是是的的级数，级数，p 级数级数)0(11pnpn的收敛性的收敛性:上页下页铃结束返回首页 证 因为11)1(1)1(12nnnn 证证 下页 例 2 证明级数1)1(1nnn是发散的 而级数111nn发散 故级数发散 故级数1)1(1nnn也发散 注注:应用比较判别法判定一个级数的敛应用比较判别法判定一个级数的敛散性时散性

7、时,通常通常将这个级数与将这个级数与等比级数等比级数或或调和级数调和级数或或P级数级数相比较相比较.上页下页铃结束返回首页v定理定理3(比较判别法比较判别法的极限形式的极限形式)设1nnu和1nnv都是正项级数 下页下页,limlvunnn则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散;(2)当当 l=0,1收敛时且nnv(3)当当 l=+,1发散时且nnv若若(1)当当 0 l +时时,级数级数1nnu也收敛也收敛;级数级数1nnu也发散也发散.上页下页铃结束返回首页下页下页 例 3 判别级数11sinnn的收敛性 解 因为111sinlim nnn 而级数 解解 所以级数11sinn

8、n也发散 111sinlim nnn 而级数11nn发散 例 4 判别级数12)11ln(nn的收敛性 解解 11)11ln(lim 22nnn 而级数211nn收敛 所以级数12)11ln(nn也收敛 )1ln(21n21n注注:2211ln(1)limnnn因为因为2211lim1,nnn上页下页铃结束返回首页v定理定理4(极限极限判别判别法法)设1nnu为正项级数 (1)如果)lim(0limnnnnnulnu或 则级数1nnu发散;(2)如果 p1 而)0(limllunnpn 则级数1nnu收敛 因为因为 解解 1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnu

9、n根据极限根据极限判别判别法法 知所给级数收敛知所给级数收敛 1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun1)11ln(lim)11ln(limlim22222nnnnnnnnun 下页下页211ln(1)nn例例5 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.上页下页铃结束返回首页v定理定理4(极限极限判别判别法法)设1nnu为正项级数 (1)如果)lim(0limnnnnnulnu或 则级数1nnu发散;(2)如果 p1 而)0(limllunnpn 则级数1nnu收敛 222232321)(211lim)cos1(1limlimnnnnnnnunnnnn2222323

10、21)(211lim)cos1(1limlimnnnnnnnunnnnn 因为因为 解解 根据极限根据极限判别判别法法 知所给级数收敛知所给级数收敛 首页首页1cosx212x注注:11(1 cos)nnn例例6 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.上页下页铃结束返回首页 解 因为101lim 321)1(321lim lim 1 nnnuunnnnn下页下页v定理定理5(比值比值判别法判别法 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法)解解 所以所以 根据根据比值判别比值判别法可知所给级数收敛法可知所给级数收敛 例例7 证明级数证明级数 )1(3211 3211211111 n 是收敛的是收敛的 101li

11、m 321)1(321lim lim 1 nnnuunnnnn101lim 321)1(321lim lim 1 nnnuunnnnn (2)当当 1(或或)时，级数发散时，级数发散;设级数设级数为正项级数为正项级数,1nnu则则如果如果1lim,nnnuu01(1)当当时时,级数收级数收敛敛;(3)当当 1时，时，级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 比值判别法不能用比值判别法不能用.用法：常用于判别含有因子用法：常用于判别含有因子!nnann或或、的级数敛散性。的级数敛散性。上页下页铃结束返回首页所以所以 根据根据比值判别比值判别法可知所给级数发散法可知所给级数发散 下页下页解解:

12、因为因为 解 因为101lim!1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn101lim!1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn101lim!1010)!1(lim lim 11nnnuunnnnnnn v定理定理5(比值判别法比值判别法 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法)(2)当当 1(或或)时，级数发散时，级数发散;设级数设级数为正项级数为正项级数,1nnu则则如果如果1lim,nnnuu01(1)当当时时,级数收级数收敛敛;(3)当当 1时，时，级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 比值判别法不能用比值判别法不能用.2311 21 2 3!101

13、01010nn 例例8 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.!,10nnnu 11(1)!10nnnu用法：常用于判别含有因子用法：常用于判别含有因子!nnann或或、的级数敛散性。的级数敛散性。上页下页铃结束返回首页下页下页v定理定理5(比值判别法比值判别法 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法)(2)当当 1(或或)时，级数发散时，级数发散;设级数设级数为正项级数为正项级数,1nnu则则如果如果1lim,nnnuu01(1)当当时时,级数收级数收敛敛;(3)当当 1时，时，级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 比值判别法不能用比值判别法不能用.1lim1nnnuu说明说明:当当时时,级数可能

14、收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数级数:11npnnnnuu1limppnnn1)1(1lim1但但,1p级数收敛级数收敛;,1p级数发散级数发散.上页下页铃结束返回首页下页下页所以所以 根据比值判别法可知所给级数收敛根据比值判别法可知所给级数收敛 解解 11limlim1nnnnnnuxnunx所以当所以当10 x时，级数收敛；时，级数收敛；当当1x时，级数发散时，级数发散.21112(1)!limlim(1)2!nnnnnnnnunnunn 解解 例例 判断级数判断级数(0)nxxnn=1的敛散性的敛散性.1,nn=1当当1x 时，级数成为时，级数成为它发散它发散.1

15、12!nnnnn例例 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.lim=1nnxxn2lim(1)nnnnnn2lim()1nnn2=1 e上页下页铃结束返回首页下页下页v定理定理6(根值根值判别法判别法 柯西判别法柯西判别法)01lim 1lim lim nnunnnnnnn所以所以 根据根据根值判别根值判别法可知所给级数收敛法可知所给级数收敛 因为因为 解解 01lim 1lim lim nnunnnnnnn01lim 1lim lim nnunnnnnnn (2)当当 1(或或)时，级数发散时，级数发散;设级数设级数为正项级数为正项级数,1nnu则则如果如果lim,nnnu1(1)当当时时,级数

16、收级数收敛敛;(3)当当 1时，时，级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 根值判别法不能用根值判别法不能用.用法：常用于判别含有因子用法：常用于判别含有因子nann或或的级数敛散性。的级数敛散性。23111123nn例例9 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.上页下页铃结束返回首页下页下页 解解:因为因为 所以所以 例例10 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.(0)1nnaann=1limlim1nnnnnnnaun01a(1)当当时时,级数收级数收敛敛;limlim1nnnnnun1a(2)当当时时,级数发级数发散散;1a(3)当当时时,有有1a 因此当因此当时时,级数发级数发散散.1

17、1lim=01(1+)nnnelim1nnanlim,1nnaan注注:如果如果lim0,nnu则级数则级数必发散必发散.1nnu上页下页铃结束返回首页下页下页时时,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.1例如例如,p 级数级数:11pnnpnnnnu1)(1n,1pnnu 但但,1p级数收敛级数收敛;,1p级数发散级数发散.说明说明；当；当 上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其二、交错级数及其收敛判别法收敛判别法v交错级数交错级数 交错级数是这样的级数交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的它的各项是正负交错的 下页下页 交错级数的一般形式为11)1(nnnu 其中0nu 1)1

18、(11nnn是交错级数 例如例如 即即1112341(1)(1)nnnnnuuuuuu 即即11111111(1)1(1)234nnnnn 上页下页铃结束返回首页v交错级数交错级数 交错级数是这样的级数交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的它的各项是正负交错的 交错级数的一般形式为11)1(nnnu 其中0nu v定理定理7(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)如果交错级数11)1(nnnu满足条件 (1)un un 1(n 1 2 3 );(2)0limnnu 则级数收敛则级数收敛 且其和且其和s u1 其余项其余项rn的绝对值的绝对值|rn|un 1 下页下页二、交错级数及其二、交错级数及其收敛

19、判别法收敛判别法即即1112341(1)(1)nnnnnuuuuuu 上页下页铃结束返回首页下页下页 证证:级数的前级数的前2k项的和写成两种形式项的和写成两种形式:21234212()()()0kkksuuuuuu212322212()()kkkksuuuuuu由第一式可知由第一式可知 递增；递增；2ks由第二式可知由第二式可知 有界有界,即即2ks21.ksu故有极限故有极限.设设21lim,kkssu21221limlim()kkkkkssu从而从而因此因此,有有lim,nnss即交错级数收敛即交错级数收敛 且其和且其和s u1 221limlimkkkksu0.ss则级数收敛则级数收敛

20、 且其和且其和s u1 如果交错级数11)1(nnnu满足条件 定理定理1(莱布尼兹定理莱布尼兹定理)(1)unun1(n1 2 3 );(2)0limnnu 上页下页铃结束返回首页(1)1111nnunnu(n1,2,)(2)这是一个交错级数这是一个交错级数 解解 由莱布尼茨定理由莱布尼茨定理 级数是收敛的级数是收敛的 且其和且其和su1 1 余项11|1nurnn 首页首页则级数收敛则级数收敛 且其和且其和s u1 其余项其余项rn的绝对值的绝对值|rn|un 1 如果交错级数11)1(nnnu满足条件 v定理定理7(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)(1)unun1(n1 2 3 );(2)0l

21、imnnu 因为此级数满足因为此级数满足(n1,2,)(2)01limlimnunnn 例 10 证明级数 1)1(11nnn收敛 并估计和及余项 例例11 上页下页铃结束返回首页 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛v绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 下页下页 例如例如 级数1211)1(nnn是绝对收敛的 级数111)1(nnn是条件收敛的 若级数若级数1|nnu收敛收敛 则称级数则称级数1nnu 绝对收敛；绝对收敛；则称级数则称级数1nnu 条件收敛条件收敛.收敛收敛,而级数而级数1|nnu发散发散,若级数若级数1nnu(1)(2)定义定义:对任意项级数对任意项级数,1nnu

22、上页下页铃结束返回首页v定理定理8(绝对收敛与收敛的关系绝对收敛与收敛的关系)应注意的问题应注意的问题 如果级数1|nnu发散 我们不能断定级数1nnu也发散 下页下页 证证:设设1(),2nnnvuu则则0,nnvu由由1nnu收敛收敛,可知可知1nnv收敛收敛,从而从而12nnv收敛收敛.又因为又因为2,nnnuvu1nnu因此级数因此级数必定收敛必定收敛.例如例如111(1)nnn11111(1)nnnnn发散发散,收敛收敛.而级数而级数 如果级数1nnu绝对收敛 则级数1nnu必定收敛 上页下页铃结束返回首页 解 因为|221|sinnnna 而级数 解解 下页下页 如果级数1nnu绝

23、对收敛 则级数1nnu必定收敛 v定理定理8(绝对收敛与收敛的关系绝对收敛与收敛的关系)12|sin|nnna也收敛 从而级数221|sinnnna 而级数211nn是收敛的 所以级数 是收敛的 所以级数 从而级数12sinnnna绝对收敛 例 11 判别级数12sinnnna的收敛性 例例12 上页下页铃结束返回首页 如果级数1nnu绝对收敛 则级数1nnu必定收敛 v定理定理8(绝对收敛与收敛的关系绝对收敛与收敛的关系)例例13 21(1)nnnne判断级数判断级数的敛散性。的敛散性。解解:令令22(1),nnnnnnuee nnnuu1lim limn12)1(nennen2211lim

24、nnen11e因此因此12)1(nnnen12)1(nnnen收敛收敛,绝对收敛绝对收敛.上页下页铃结束返回首页 如果级数1nnu绝对收敛 则级数1nnu必定收敛 v定理定理8(绝对收敛与收敛的关系绝对收敛与收敛的关系)解 由2)11(21|nnnnu 有 解解 121)11(lim21|limenunnnnn121)11(lim21|limenunnnnn121)11(lim21|limenunnnnn 0limnnu 因此级数12)11(21)1(nnnnn发散 例 12 判别级数12)11(21)1(nnnnn的收敛性 例例14 lim0,nnu从而从而,得得上页下页铃结束返回首页v定理

25、定理9(任意项级数任意项级数敛敛散的判别法散的判别法)对任意项级数对任意项级数,1nnu(2)当当 1(或或)时，级数发散时，级数发散.如果如果1limnnnuu 则则01(1)当当时时,级数级数绝对绝对收收敛敛;或或lim,nnnu上页下页铃结束返回首页结束结束1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法正项级数审敛法必要条件必要条件0limnnu不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法 limn1nunu根值审敛法根值审敛法nnnulim1收收 敛敛发发 散散1不定不定 比较审敛法比较审敛法另法判别另法判别部分和极限部分和极限1内

26、容小结内容小结:上页下页铃结束返回首页(1)Leibniz判别法判别法:01nnuu0limnnu则交错级数则交错级数nnnu1)1(收敛收敛.3.任意项级数审敛法任意项级数审敛法 如果级数1nnu绝对收敛 则级数1nnu必定收敛 (2)若级数若级数1|nnu收敛收敛 则称级数则称级数1nnu 绝对收敛；绝对收敛；则称级数则称级数1nnu 条件收敛条件收敛.收敛收敛,而级数而级数1|nnu发散发散,若级数若级数1nnu(1)(2)定义定义:对任意项级数对任意项级数,1nnu上页下页铃结束返回首页结束结束设正项级数设正项级数1nnu收敛收敛,能否推出能否推出12nnu收敛收敛?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知由比较判敛法可知12nnu收敛收敛.注意注意:(1)反之不成立反之不成立.例如例如:121nn收敛收敛,11nn发散发散.思考与练习思考与练习:(2)若若1nnu不是正项级数且不是正项级数且收敛收敛,则则12nnu可能收敛可能收敛 也可能发散也可能发散.1(1)nnn例如例如:收敛收敛,11nn发散发散.