高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：3.1.1 数系的扩充和复数的概念 探究导学课型.ppt

1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 主题一：主题一：复数的概念复数的概念 【自主认知自主认知】 1.1.由由x+ =1x+ =1得得x x2 2+ =+ =- -1 1， 这与这与x x2 2+ 0+ 0矛盾的原因是什么？矛盾的原因是什么？ 提示：提示：方程方程x x2 2- -x+1=0x+1=0无实根无实根. . 2.2.方程方程x x2 2- -x+1=0x+1=0无实根的根本原因是什么？无实根的根本原因是什么？ 提示：提示：- -1 1不能开平方不能开平方. . 1 x 2 1 x 2 1 x 3.3.我们设想引入一个新数

2、，用字母我们设想引入一个新数，用字母i i表示，使这个数是表示，使这个数是- -1 1的平方根，的平方根， 即即i i2 2= =- -1 1，那么方程，那么方程x x2 2- -x+1=0x+1=0的根是什么？的根是什么？ 提示：提示： 4.4.满足满足i i2 2= =- -1 1的新数的新数i i显然不是实数，称为虚数单位显然不是实数，称为虚数单位. .虚数单位虚数单位i i与实数与实数 进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？ 提示：提示：a+bi(aa+bi(a，bR).bR). 13 i. 22 根据以上探究过程，试着写出复数的有关概念根据以

3、上探究过程，试着写出复数的有关概念. . 1.1.虚数单位虚数单位i i的意义：的意义：i i2 2=_.=_. 2.2.复数的代数形式：复数的代数形式：_._. 3.3.复数的实部与虚部：复数的实部与虚部：_与与_分别叫做复数分别叫做复数z z的实部与虚部的实部与虚部. . 4.4.复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)为实数的条件是为实数的条件是_； 复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)为虚数的条件是为虚数的条件是_； 复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)为纯虚数的条件是为纯虚数的条件是_._. - -1 1 z=a+bi(az=a+bi

4、(a，bR)bR) a a b b b=0b=0 b0b0 a=0a=0且且b0b0 【合作探究合作探究】 1.1.根据数系的扩充原则应规定虚数单位根据数系的扩充原则应规定虚数单位i i和实数之间的运算满足哪些和实数之间的运算满足哪些 运算律？运算律？ 提示：提示：乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律. . 2.2.把形如把形如a+bi(aa+bi(a，bR)bR)的数叫做复数，全体复数所构成的集合叫做的数叫做复数，全体复数所构成的集合叫做 复数集，记作复数集，记作C C，那么复数集如何用描述法表示？，那么复数集如何用描述法表

5、示？ 提示：提示：C=z|z=a+bi(aC=z|z=a+bi(a，b bR).R). 3.3.复数的实部与虚部一定是实数吗？复数的实部与虚部一定是实数吗？ 提示：提示：若复数若复数z=a+bi(az=a+bi(a，b bR)R)，则其实部为，则其实部为a a，虚部为，虚部为b b，因此复数，因此复数 的实部和虚部指的是两个实数，不能认为复数的实部和虚部指的是两个实数，不能认为复数z=a+bi(az=a+bi(a，b bR)R)的虚的虚 部是部是bibi，同时要特别注意只有当，同时要特别注意只有当a a，b bR R时，时，a+bia+bi中的中的a a与与b b才分别是才分别是 实部与虚部实

6、部与虚部. . 【过关小练过关小练】 1.1.复数复数- -3i3i的虚部是的虚部是 ( ( ) ) A.0 B.A.0 B.- -3 3 C.i C.i D.D.- -3i3i 【解析解析】选选B.B.- -3i=0+(3i=0+(- -3)i,3)i,对应对应a+bi(a,ba+bi(a,bR)R)的形式的形式, ,实部实部a=0,a=0,虚部虚部 b=b=- -3.3. 2.2.若若x,yR,z=x+yix,yR,z=x+yi是虚数是虚数, ,则有则有 ( ( ) ) A.x=0,yR B.x0,yRA.x=0,yR B.x0,yR C.xR,y=0 C.xR,y=0 D.xR,y0D.

7、xR,y0 【解析解析】选选D.z=x+yiD.z=x+yi是虚数是虚数, ,只需只需y y0 0即可即可. . 主题二：主题二：复数的相等和分类复数的相等和分类 【自主认知自主认知】 1.a+bi=01.a+bi=0的充要条件是什么？的充要条件是什么？ 提示：提示：a=b=0.a=b=0. 2.2.虚数集与纯虚数集之间的关系如何？虚数集与纯虚数集之间的关系如何？ 提示：提示：纯虚数集是虚数集的真子集纯虚数集是虚数集的真子集. . 3.3.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？ 提示：提示： 根据以上探究过程，总

8、结出复数相等的充要条件以及复数的分类根据以上探究过程，总结出复数相等的充要条件以及复数的分类. . 1.1.复数相等的充要条件复数相等的充要条件 设设a a，b b，c c，d d都是实数，那么都是实数，那么a+bi=c+dia+bi=c+di_._. 2.2.复数的分类复数的分类 a=ca=c，b=db=d 纯虚数纯虚数 【合作探究合作探究】 1.1.复数可以相等，是否可以比较大小呢？复数可以相等，是否可以比较大小呢？ 提示：提示：若两个复数全是实数，则可以比较大小；反之，若两个复数能若两个复数全是实数，则可以比较大小；反之，若两个复数能 比较大小，则它们必是实数比较大小，则它们必是实数.

9、.若两个复数不全是实数，则不能比较大若两个复数不全是实数，则不能比较大 小小. . 2.2.实数集实数集R R与纯虚数集与纯虚数集I I的交集为空集吗？实数集的交集为空集吗？实数集R R与纯虚数集与纯虚数集I I的并集的并集 为复数集为复数集C C吗？吗？ 提示：提示：由复数的分类可知，由复数的分类可知，RI=RI= 正确，正确，RI=CRI=C错误，事实上，错误，事实上， 实数实数虚数虚数=C=C， 实数实数虚数虚数= . . 【拓展延伸拓展延伸】实系数一元二次方程在复数集实系数一元二次方程在复数集C C中解的情况中解的情况 设一元二次方程设一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a+bx

10、+c=0(a，b b，cRcR且且a0).a0). 因为因为a0a0，所以原方程可变形为，所以原方程可变形为 2 bc xx aa ， 2 222 2 bbcbb4ac (x)()(x). 2a2aa2a4a 配方，即 (1)(1)当当=b=b2 2- -4ac04ac0时，原方程有两个不相等的实数根时，原方程有两个不相等的实数根x=x= (2)(2)当当=b=b2 2- -4ac=04ac=0时，原方程有两个相等的实数根时，原方程有两个相等的实数根x x1 1=x=x2 2= = (3)(3)当当=b=b2 2- -4ac04ac0时，时， 00， 又又 的平方根为的平方根为 此时原方程有两

11、个不相等的虚数根此时原方程有两个不相等的虚数根x=x= 2 bb4ac . 2a2a b . 2a 2 2 b4ac 4a 2 2 b4ac 4a 2 4acb i 2a ， 2 b4acb xi 2a2a 则， 2 b4acb i. 2a2a 【说明说明】实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当00时，时， 有两个实根；当有两个实根；当00时，有两个不相等的虚根时，有两个不相等的虚根. . 【过关小练过关小练】 1.1.复数复数z=(mz=(m2 2- -1)+(m1)+(m- -1)i(mR)1)i(mR)是纯虚数，则有是纯虚数，则有( (

12、) ) A.m=A.m=1 1 B.m=B.m=- -1 1 C.m=1C.m=1 D.m1D.m1 【解析解析】选选B.B.因为复数因为复数z=(mz=(m2 2- -1)+(m1)+(m- -1)i(mR)1)i(mR)是纯虚数，是纯虚数， 所以所以 解得解得m=m=- -1.1. 2 m10 m 10 ， ， 2.2.如果用如果用C,RC,R和和I I分别表示复数集、实数集和纯虚数集分别表示复数集、实数集和纯虚数集, ,其中其中C C为全集为全集, , 那么有那么有 ( ( ) ) A.C=RI B.RI=0A.C=RI B.RI=0 C.R=CI C.R=CI D.RI=D.RI= 【

13、解析解析】选选D.D.复数复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR) 根据以上复数分类判断知根据以上复数分类判断知RI=RI= , ,故选故选D.D. b0 , a0 , (b0) (a0) 实数 纯虚数 虚数 非纯虚数 【归纳总结归纳总结】 1.1.复数概念的三个关注点复数概念的三个关注点 (1)(1)虚数单位虚数单位i i可以与实数进行加、减、乘、除的运算可以与实数进行加、减、乘、除的运算. . (2)(2)复数的定义如同指数函数的定义一样，采用形式定义，即符合复数的定义如同指数函数的定义一样，采用形式定义，即符合 a+bi(aa+bi(a，bR)bR)的形式的数就是复数的形式的

14、数就是复数. . (3)(3)复数的代数形式复数的代数形式a+bi(aa+bi(a，bR)bR)中，中，a a，b b一定是实数，否则，就一定是实数，否则，就 不是复数的代数形式不是复数的代数形式. . 2.2.对复数相等与分类的五点说明对复数相等与分类的五点说明 (1)(1)注意准确把握复数集内各子集之间的关系，有利于对复数概念的注意准确把握复数集内各子集之间的关系，有利于对复数概念的 完整理解完整理解. . (2)(2)若两个复数全是实数，则两数可以比较大小，反之，若两个复数若两个复数全是实数，则两数可以比较大小，反之，若两个复数 可以比较大小，则两个复数全是实数可以比较大小，则两个复数全

15、是实数. . (3)(3)应用复数相等的充要条件解题时要确保复数必须化成应用复数相等的充要条件解题时要确保复数必须化成a+bi(aa+bi(a， bR)bR)的形式，否则等量关系不成立的形式，否则等量关系不成立. . (4)(4)“a+bi=c+dia+bi=c+di”得得“a=ca=c且且b=db=d”成立的前提条件是成立的前提条件是a a，b b，c c，dRdR， 否则结论不一定成立否则结论不一定成立. . (5)(5)根据复数相等的定义知，在根据复数相等的定义知，在a=ca=c，b=db=d两式中，只要有一个不成立，两式中，只要有一个不成立， 那么那么a+bic+di(aa+bic+d

16、i(a，b b，c c，dR).dR). 类型一：类型一：复数的概念及分类复数的概念及分类 【典例典例1 1】(1)(1)下列命题中，正确的是下列命题中，正确的是( ( ) ) 若若aRaR，则，则(a+1)i(a+1)i是纯虚数；是纯虚数； 复数复数z=0z=0的实部和虚部均为的实部和虚部均为0 0； 若若(a(a2 2- -3a+2)+(a3a+2)+(a- -1)i1)i是纯虚数，则实数是纯虚数，则实数a=1a=1或或2 2； 两个虚数不能比较大小两个虚数不能比较大小. . A.A. B.B. C.C. D.D. (2)(2)当实数当实数m m为何值时，复数为何值时，复数z= (mz=

17、(m2 2- -2m)i2m)i为为 实数；虚数；纯虚数？实数；虚数；纯虚数？ 【解题指南解题指南】(1)(1)根据复数的概念，逐一作出判断根据复数的概念，逐一作出判断. . (2)(2)先确定复数的实部和虚部，再根据题意分别列出方程先确定复数的实部和虚部，再根据题意分别列出方程( (组组) )求解求解. . 2 mm6 m 【解析解析】(1)(1)选选B.B.在中，若在中，若a=a=- -1 1，则，则(a+1)i(a+1)i不是纯虚数，故错误；不是纯虚数，故错误； 在中，若在中，若a=1a=1，则，则(a(a2 2- -3a+2)+(a3a+2)+(a- -1)i=01)i=0为实数，故错

18、误；为实数，故错误； 正确正确. . (2)(2)当当 即即m=2m=2时，复数时，复数z z是实数是实数. . 当当m m2 2- -2m02m0，且，且m0m0，即，即m0m0且且m2m2时，复数时，复数z z是虚数是虚数. . 当当 即即m=m=- -3 3，复数，复数z z是纯虚数是纯虚数. . 2 m2m0 m0 ， ， 2 2 mm6m0 m0 m2m0 ， ， ， 【规律总结规律总结】复数分类的关键复数分类的关键 (1)(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列 出实部、虚部应满足的关系式出实部、虚部应满

19、足的关系式. .求解参数时，注意考虑问题要全面，求解参数时，注意考虑问题要全面， 当条件不满足代数形式当条件不满足代数形式z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)时应先转化形式时应先转化形式. . (2)(2)注意分清复数分类中的条件注意分清复数分类中的条件 设复数设复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)，则，则z z为实数为实数b=0b=0，z z为虚数为虚数b0b0， z z为纯虚数为纯虚数a=0a=0，b0.b0.z=0z=0a=0a=0，且，且b=0.b=0. 【巩固训练巩固训练】以以3i3i- - 的虚部为实部，以的虚部为实部，以3i3i2 2+ i+ i的实部为虚

20、部的的实部为虚部的 复数是复数是( ( ) ) A.3A.3- -3i3i B.3+iB.3+i C.C.- - + i+ i D. + iD. + i 【解析解析】选选A.3iA.3i- - 的虚部为的虚部为3 3，3i3i2 2+ i=+ i=- -3+ i3+ i的实部为的实部为- -3 3，故，故 z=3z=3- -3i.3i. 22 2222 222 【补偿训练补偿训练】1.(20151.(2015石家庄高二检测石家庄高二检测) )若复数若复数z=(m+1)+(mz=(m+1)+(m2 2- -9)i09)i0， 则实数则实数m m的值等于的值等于( ( ) ) A.A.- -1 1

21、 B.B.3 3 C.3C.3 D.D.- -3 3 【解析解析】选选D.D.由由(m+1)+(m(m+1)+(m2 2- -9)i09)i0， 得得 解得解得m=m=- -3.3. 2 m 10 m90 ， ， 2.m2.m为何实数时，复数为何实数时，复数z= (mz= (m2 2+8m+15)i+8m+15)i是实数？虚数？纯是实数？虚数？纯 虚数？虚数？ 【解析解析】(1)(1)当当 即即m=m=- -3 3时，时，z z是实数是实数. . (2)(2)当当m m2 2+8m+150+8m+150，且，且m+50m+50， 即即mm- -3 3且且mm- -5 5时，时，z z是虚数是虚

22、数. . (3)(3)当当 =0=0，且，且m+50m+50，m m2 2+8m+150+8m+150，即，即m=2m=2时，时，z z是纯虚数是纯虚数. . 2 mm6 m5 2 m8m 150 m50 ， ， 2 mm6 m5 类型二：类型二：复数的相等复数的相等 【典例典例2 2】( (1 1) )设复数设复数z z1 1=(x=(x- -y)+(x+y)+(x+3 3)i)i，z z2 2=(=(3 3x+x+2 2y)y)- -yiyi，若若z z1 1=z=z2 2，实实 数数x=x= ，y=y= . . ( (2 2) )已知关于已知关于x x的方程的方程x x2 2+(+(1

23、1- -2 2i)x+(i)x+(3 3m m- -i)=i)=0 0有实数根有实数根，则实数则实数m m的值的值 为为 ，方程的实根方程的实根x x为为 . . 【解题指南解题指南】(1)(1)根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组 求解求解. . (2)(2)设出方程的实数解，代入原式整理为设出方程的实数解，代入原式整理为a+bi=0(aa+bi=0(a，bR)bR)的形式解的形式解 决决. . 【解析解析】( (1 1) )由复数相等的充要条件得由复数相等的充要条件得 解得解得 答案：答案：- -9 9 6 6 xy3x2y x3y ，

24、， x9 y6. ， ( (2 2) )设设a a是原方程的实根是原方程的实根， 则则a a2 2+(+(1 1- -2 2i)a+(i)a+(3 3m m- -i)=i)=0 0， 即即(a(a2 2+a+a+3 3m)m)- -( (2 2a+a+1 1)i=)i=0 0+ +0 0i i， 所以所以a a2 2+a+a+3 3m=m=0 0且且2 2a+a+1 1= =0 0， 所以所以a=a=- - 且且 + +3 3m=m=0 0， 所以所以m=m= . . 答案：答案： 1 2 2 11 ()() 22 1 12 1 12 1 2 【延伸探究延伸探究】 1 1. .( (变换条件变

25、换条件) )若将题若将题( (2 2) )中的方程改为：中的方程改为：x x2 2+mx+mx+2 2xi=xi=- -1 1- -mimi如何求解如何求解？ 【解析解析】设实根为设实根为x x0 0，代入方程代入方程，由复数相等定义由复数相等定义，得得 因此因此，当当m=m=- -2 2时时，原方程的实根为原方程的实根为x=x=1 1， 当当m=m=2 2时时，原方程的实根为原方程的实根为x=x=- -1 1. . 2 0000 0 x1x1xmx1 m2m22xm ， 解得或 ， 2.(2.(变换条件变换条件) )若将题若将题(2)(2)中的方程改为中的方程改为3x3x2 2- - x x

26、- -1=(101=(10- -x x- -2x2x2 2)i)i， 如何求解？如何求解？ 【解析解析】设方程实根为设方程实根为x x0 0，则原方程可变为，则原方程可变为 - -1 1 =(10=(10- -x x0 0- - )i)i，由复数相等定义，得：，由复数相等定义，得： 因此，当因此，当m=11m=11时，原方程的实根为时，原方程的实根为x=2x=2； 当当m=m=- - 时，原方程的实根为时，原方程的实根为x=x=- - . . 2 00 m 3xx 2 2 0 2x 2 0 000 2 00 5 m x 3xx10x2 2 2 71m11 m10x2x0 5 ， ， 解得或 ，

27、 71 5 5 2 m 2 【规律总结规律总结】复数相等问题的解题技巧复数相等问题的解题技巧 (1)(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部 相等列方程组求解相等列方程组求解. . (2)(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程 思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. . (3)(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的如果两个复数都是实数，可以比较大小，否

28、则是不能比较大小的. . 【拓展延伸拓展延伸】复数问题实数化复数问题实数化 两个复数相等的充要条件是求复数及解相关方程或不等式的主要依据，两个复数相等的充要条件是求复数及解相关方程或不等式的主要依据， 是把复数问题实数化的桥梁，运用两复数相等的充要条件时，首先要是把复数问题实数化的桥梁，运用两复数相等的充要条件时，首先要 把把“= =”左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列 出方程出方程( (组组) )求解求解. . 【补偿训练补偿训练】1.1.已知已知(m(m2 2+7m+10)+(m+7m+10)+(m2 2- -5m5m- -14)i=014)i=0，则实数，则实数m=m= . . 【解析解析】由已知得由已知得 解得解得m=m=- -2.2. 答案：答案：- -2 2 2 2 m7m 100 m5m 140 ， ， 2.2.已知已知x+yx+y- -xyi=24ixyi=24i- -5 5，其中，其中x x，yRyR，求，求x x，y y的值的值. . 【解析解析】因为因为x x，yRyR，所以，所以x+yRx+yR，xyRxyR， 依题意得依题意得 xy5 xy24 ， ， x3x8 y8y3. ， 解得或