高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：3.1.2 复数的几何意义 精讲优练课型.ppt

1、3.1.2 复数的几何意义 【自主预习自主预习】 1.1.复平面复平面 实轴实轴 虚轴虚轴 2.2.复数的几何意义复数的几何意义 (1)(1)复数复数z=a+bi(a,bR) z=a+bi(a,bR) 复平面内的点复平面内的点 Z(a,b).Z(a,b). (2)(2)复数复数z=a+bi(a,bR) z=a+bi(a,bR) 平面向量平面向量 (O(O为坐标原点为坐标原点).). OZ 3.3.复数的模复数的模 (1)(1)定义定义: :向量向量 的的_r_r叫做复数叫做复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)的模的模. . (2)(2)记法记法: :复数复数z=a+biz=a+

2、bi的模记为的模记为_._. (3)(3)公式公式:|z|=|a+bi|=r=_(r0,rR).:|z|=|a+bi|=r=_(r0,rR). OZ 模模 |z|z|或或|a+bi|a+bi| 22 a +b 【即时小测即时小测】 1.1.已知已知a,bR,a,bR,那么在复平面内对应于复数那么在复平面内对应于复数a a- -bi,bi,- -a a- -bibi 的两个点的位置关系是的两个点的位置关系是 ( ( ) ) A.A.关于关于x x轴对称轴对称 B.B.关于关于y y轴对称轴对称 C.C.关于原点对称关于原点对称 D.D.关于直线关于直线y=xy=x对称对称 【解析解析】选选B.B

3、.在复平面内对应于复数在复平面内对应于复数a a- -bi,bi,- -a a- -bibi的两的两 个点为个点为(a,(a,- -b)b)和和( (- -a,a,- -b),b),关于关于y y轴对称轴对称. . 2.(20162.(2016保定高二检测保定高二检测) )已知已知i i为虚数单位为虚数单位, ,则复数则复数- -1 1- - i i对应的点位于坐标平面内对应的点位于坐标平面内 ( ( ) ) A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 【解析解析】选选C.C.复数复数- -1 1- -i i对应的点的坐标为对应的点的

4、坐标为( (- -1,1,- -1),1),位位 于坐标平面内的第三象限于坐标平面内的第三象限. . 3.3.复数复数z z与它的模相等的充要条件是与它的模相等的充要条件是 ( ( ) ) A.zA.z为纯虚数为纯虚数 B.zB.z是实数是实数 C.zC.z是正实数是正实数 D.zD.z是非负实数是非负实数 【解析解析】选选D.D.因为因为z=|z|,z=|z|,所以所以z z为实数且为实数且z z0.0. 4.4.在复平面内在复平面内,O,O为原点为原点, ,向量向量 对应的复数为对应的复数为- -1+2i,1+2i, 若点若点A A关于直线关于直线y=y=- -x x的对称点为的对称点为B

5、,B,则向量则向量 对应的复对应的复 数为数为 ( ( ) ) A.A.- -2 2- -i i B.B.- -2+i2+i C.1+2iC.1+2i D.D.- -1+2i1+2i OA OB 【解析解析】选选B.B.因为因为A(A(- -1,2)1,2)关于直线关于直线y=y=- -x x的对称点为的对称点为 B(B(- -2,1),2,1),所以向量所以向量 对应的复数为对应的复数为- -2+i.2+i. OB 5.5.已知复数已知复数z=a+i(z=a+i(其中其中aR,iaR,i为虚数单位为虚数单位) )的模为的模为 |z|=2,|z|=2,则则a a等于等于 ( ( ) ) A.1

6、 B.A.1 B.1 1 C. D.C. D. 【解析解析】选选D.D.因为因为|z|=2,|z|=2,所以所以a a2 2+1=4,+1=4,所以所以a=a= . . 33 3 6.6.设设z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)和复平面内的点和复平面内的点Z(a,b)Z(a,b)对应对应, ,当当 b=_b=_时时, ,点点Z Z位于实轴上位于实轴上. . 【解析解析】当当b=0b=0时时, ,复数复数z=a+bi=az=a+bi=a为实数为实数, ,即落在实轴上即落在实轴上. . 答案答案: :0 0 【知识探究知识探究】 探究点探究点1 1 复数的几何意义复数的几何意义 1.1

7、.原点原点O O在虚轴上在虚轴上, ,数数0 0是否也可以看作虚数是否也可以看作虚数? ? 提示提示: :不可以不可以. .数数0 0为实数为实数, ,不是虚数不是虚数. . 2.2.实数可用数轴上的点来表示实数可用数轴上的点来表示, ,类比一下类比一下, ,复数怎样来复数怎样来 表示呢表示呢? ? 提示提示: :任何一个复数任何一个复数z=a+bi(a,bz=a+bi(a,bR)R)都和一个有序实数都和一个有序实数 对对(a,b)(a,b)一一对应一一对应, ,因此因此, ,复数集与平面直角坐标系中的复数集与平面直角坐标系中的 点集一一对应点集一一对应. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.复

8、平面、实轴、虚轴与复数的对应复平面、实轴、虚轴与复数的对应 (1)(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应: :点点Z Z的横的横 坐标是坐标是a,a,纵坐标是纵坐标是b,b,复数复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)可用点可用点Z(a,b)Z(a,b) 表示表示. . (2)(2)实轴与复数的对应实轴与复数的对应: :实轴上的点都表示实数实轴上的点都表示实数. . (3)(3)虚轴与复数的对应虚轴与复数的对应: :除了原点外除了原点外, ,虚轴上的点都表示虚轴上的点都表示 纯虚数纯虚数, ,原点对应的有序实数对为原点对应的有序实数对为(0,

9、0),(0,0),它所确定的复它所确定的复 数是数是z=0+0i=0,z=0+0i=0,表示的是实数表示的是实数. . (4)(4)象限内的点与复数的对应象限内的点与复数的对应: : 第一象限的复数特点第一象限的复数特点: :实部为正实部为正, ,且虚部为正且虚部为正; ; 第二象限的复数特点第二象限的复数特点: :实部为负实部为负, ,且虚部为正且虚部为正; ; 第三象限的复数特点第三象限的复数特点: :实部为负实部为负, ,且虚部为负且虚部为负; ; 第四象限的复数特点第四象限的复数特点: :实部为正实部为正, ,且虚部为负且虚部为负. . 2.2.复数几何意义的两个注意点复数几何意义的两

10、个注意点 (1)(1)复数与复平面上的点复数与复平面上的点: :复数复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)的对应的对应 点的坐标为点的坐标为(a,b),(a,b),而不是而不是(a,bi).(a,bi). (2)(2)复数与向量的对应复数与向量的对应: :复数复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)的对应向的对应向 量是以原点量是以原点O O为起点的为起点的, ,否则就谈不上一一对应否则就谈不上一一对应, ,因为复因为复 平面上与平面上与 相等的向量有无数个相等的向量有无数个. . OZ 探究点探究点2 2 复数的模复数的模 1.1.复数的模可以等于该复数吗复数的模可

11、以等于该复数吗? ? 提示提示: :可以可以, ,当复数为正实数和当复数为正实数和0 0时就可以时就可以. . 2.2.任意两个复数的模能比较大小吗任意两个复数的模能比较大小吗? ? 提示提示: :复数的模为实数复数的模为实数, ,故能比较大小故能比较大小. . 【归纳总结归纳总结】 对复数模的三点说明对复数模的三点说明 (1)(1)数学上所谓大小的定义是数学上所谓大小的定义是, ,在在( (实实) )数轴上右边的比数轴上右边的比 左边的大左边的大, ,而复数的表示要引入虚数轴而复数的表示要引入虚数轴, ,在平面上表示在平面上表示, , 所以也就不符合关于大和小的定义所以也就不符合关于大和小的

12、定义, ,而且定义复数的大而且定义复数的大 小也没有什么意义小也没有什么意义, ,所以我们说两个复数不能比较大小所以我们说两个复数不能比较大小. . (2)(2)数的角度理解数的角度理解: :复数复数a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的模的模|a+bi|=|a+bi|= , ,两个虚数不能比较大小两个虚数不能比较大小, ,但它们的模表示实但它们的模表示实 数数, ,可以比较大小可以比较大小. . (3)(3)几何角度理解几何角度理解: :表示复数的点表示复数的点Z Z到原点的距离到原点的距离.|z.|z1 1- - z z2 2| |表示复数表示复数z z1 1,z,z2 2对应的点之间

13、的距离对应的点之间的距离. . 22 ab 易错警示易错警示: :两个复数不能比较大小两个复数不能比较大小, ,但是复数的模能比但是复数的模能比 较大小较大小. . 类型一类型一 复数与复平面内点的关系复数与复平面内点的关系 【典例典例】1.(20161.(2016潍坊高二检测潍坊高二检测) )复数复数z= +iz= +i2 2对对 应的点在复平面的应的点在复平面的( ( ) ) A.A.第一象限内第一象限内 B.B.实轴上实轴上 C.C.虚轴上虚轴上 D.D.第四象限内第四象限内 3 2.2.在复平面内表示复数在复平面内表示复数z=(mz=(m- -3)+2 i3)+2 i的点在直线的点在直

14、线y=xy=x 上上, ,则实数则实数m m的值为的值为_._. m 3.3.在复平面内在复平面内, ,若复数若复数z=(mz=(m2 2- -m m- -2)+(m2)+(m2 2- -3m+2)i3m+2)i对应点对应点 (1)(1)在虚轴上在虚轴上. . (2)(2)在第二象限在第二象限. . (3)(3)在直线在直线y=xy=x上上. . 分别求实数分别求实数m m的取值范围的取值范围. . 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中复数对应的点是什么？中复数对应的点是什么？ 提示：提示：( ( - -1 1，0).0). 3 2.2.典例典例2 2中复数对应的点有什么特点中复数对应

15、的点有什么特点? ? 提示提示: :复数对应的点坐标中横坐标与纵坐标相等复数对应的点坐标中横坐标与纵坐标相等. . 3.3.典例典例3 3中复数中复数z=(mz=(m2 2- -m m- -2)+(m2)+(m2 2- -3m+2)i3m+2)i对应点的坐标对应点的坐标 是什么是什么? ? 提示提示: :(m(m2 2- -m m- -2,m2,m2 2- -3m+2).3m+2). 【解析解析】1.1.选选B.B.因为因为z= +iz= +i2 2= = - -1R1R， 所以所以z z对应的点在实轴上对应的点在实轴上. . 2.2.复数复数z z在复平面上对应的点为在复平面上对应的点为(m

16、(m- -3,2 ),3,2 ), 所以所以m m- -3=2 ,3=2 ,即即m m- -2 2 - -3=0.3=0.解得解得m=9.m=9. 答案答案: :9 9 m mm 33 3.3.复数复数z=(mz=(m2 2- -m m- -2)+(m2)+(m2 2- -3m+2)i3m+2)i的实部为的实部为m m2 2- -m m- -2,2,虚部为虚部为 m m2 2- -3m+2.3m+2. (1)(1)由题意得由题意得m m2 2- -m m- -2=0.2=0. 解得解得m=2m=2或或m=m=- -1.1. (2)(2)由题意得由题意得 所以所以 所以所以- -1 . 其中当其

17、中当c=9c=9时时, ,此时此时A,B,CA,B,C三点共线三点共线, ,故故c9.c9. 所以所以c c的取值范围是的取值范围是 49 11 49 c|c,c9. 11 且 【延伸探究延伸探究】 1.1.若若BACBAC为锐角为锐角, ,求实数求实数c c的取值范围的取值范围. . 【解析解析】要使要使BACBAC为锐角为锐角, ,由余弦定理得由余弦定理得 |AB|AB|2 2+|AC|+|AC|2 2- -|BC|BC|2 20,0,且且A,B,CA,B,C不共线不共线, , 25+(325+(3- -c)c)2 2+(4+(4- -2c+6)2c+6)2 2- -cc2 2+(2c+(

18、2c- -6)6)2 20,0, 解得解得 4949 cc 1111 ，故 2.2.在本例中在本例中, ,求求|z|z1 1+z+z3 3| |的最小值的最小值. . 【解析解析】z z1 1+z+z3 3=c+3+(2c=c+3+(2c- -2)i,2)i, |z|z1 1+z+z3 3| |2 2=(c+3)=(c+3)2 2+(2c+(2c- -2)2)2 2=5c=5c2 2- -2c+132c+13 当当c= c= 时时, , |z|z1 1+z+z3 3| |2 2取得最小值取得最小值 即即|z|z1 1+z+z3 3| |的最小值为的最小值为 2 164 5c 55 ()， 1

19、5 64 5 ， 8 5 5 【方法技巧方法技巧】求解关于复数模最值问题的两种方法求解关于复数模最值问题的两种方法 (1)(1)转化为函数式求最值转化为函数式求最值: :将将z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)直接代入直接代入 所要求的式子中去所要求的式子中去, ,把所要求的模用把所要求的模用x,yx,y的函数表示出的函数表示出 来来, ,转化为函数最值问题转化为函数最值问题. . (2)(2)数形结合求最值数形结合求最值: :因为复数和图形有着密切的关系因为复数和图形有着密切的关系, , 可以利用这种关系把所给条件转化为图形直观地求出可以利用这种关系把所给条件转化为图形直观地求出

20、 最大值和最小值最大值和最小值. . 【补偿训练补偿训练】设设zC,zC,满足下列条件的点满足下列条件的点Z Z的集合分别的集合分别 是什么图形是什么图形? ? (1)|z|=4.(1)|z|=4. (2)22的解集是圆的解集是圆|z|=2|z|=2外部所有的点组成的外部所有的点组成的 集合集合, ,这两个集合的交集就是不等式组这两个集合的交集就是不等式组 z4, z2. z4 z2 ， 所表示的集合所表示的集合. .容易看出容易看出, ,点点Z Z的集合是以原点的集合是以原点O O为圆心为圆心, , 以以2 2及及4 4为半径的圆所夹的圆环为半径的圆所夹的圆环, ,但不包括圆环的边界但不包括

21、圆环的边界. . 类型三类型三 复数与平面向量的一一对应复数与平面向量的一一对应 【典例典例】1.1.向量向量 对应的复数是对应的复数是5 5- -4i,4i,向量向量 对应对应 的复数是的复数是- -5+4i,5+4i,则则 对应的复数是对应的复数是 ( ( ) ) A.A.- -10+8i B.1010+8i B.10- -8i8i C.0 D.10+8iC.0 D.10+8i 1 OZ 2 OZ 12 OZOZ 2.2.在复平面内在复平面内,A,B,C,A,B,C三点对应的复数分别为三点对应的复数分别为1,2+i,1,2+i, - -1+2i.1+2i. (1)(1)求向量求向量 对应的

22、复数对应的复数. . (2)(2)判定判定ABCABC的形状的形状. . ABACBC， ， 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中 怎样用坐标表示怎样用坐标表示? ? 提示提示: : =(5,=(5,- -4), =(4), =(- -5,4).5,4). 2.2.典例典例2 2中中 对应的复数怎样求对应的复数怎样求? ? 提示提示: : 12 OZOZ和 2 OZ1 OZ ABACBC， ， ABOB OA;ACOC OA;BCOC OB. 【解析解析】1.1.选选C.C.因为向量因为向量 对应的复数是对应的复数是5 5- -4i,4i,向量向量 对应的复数是对应的复数是- -5+

23、4i,5+4i,所以所以 =(5,=(5,- -4), =(4), =(- -5,4),5,4), 所以所以 =(5,=(5,- -4)+(4)+(- -5,4)=(0,0),5,4)=(0,0), 所以所以 对应的复数是对应的复数是0.0. 2 OZ 1 OZ 1 OZ 2 OZ 12 OZ OZ 12 OZ OZ 2.(1)2.(1)由复数的几何意义知由复数的几何意义知: : =(1,0), =(2,1), =(=(1,0), =(2,1), =(- -1,2),1,2), 所以所以 =(1,1),=(1,1), 所以所以 对应的复数分别为对应的复数分别为1+i,1+i,- -2+2i,2

24、+2i,- -3+i.3+i. OAOBOC AB OB OA AC OC OA2,2 BC OC OB3,1， ， ABACBC， ， (2)(2)因为因为 所以所以 所以所以ABCABC是以是以BCBC为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形. . AB2 AC2 2 BC10， 222 ABACBC， 【方法技巧方法技巧】复数与平面向量的对应关系复数与平面向量的对应关系 (1)(1)根据复数与平面向量的对应关系根据复数与平面向量的对应关系, ,可知当平面向量可知当平面向量 的起点在原点时的起点在原点时, ,向量的终点对应的复数即为向量对应向量的终点对应的复数即为向量对应 的复数的复数. .反

25、之复数对应的点确定后反之复数对应的点确定后, ,从原点引出的指向从原点引出的指向 该点的有向线段该点的有向线段, ,即为复数对应的向量即为复数对应的向量. . (2)(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时解决复数与平面向量一一对应的问题时, ,一般以复一般以复 数与复平面内的点一一对应为工具数与复平面内的点一一对应为工具, ,实现复数、复平面实现复数、复平面 内的点、向量之间的转化内的点、向量之间的转化. . 【变式训练变式训练】(2016(2016大连高二检测大连高二检测) )设复数设复数z z1 1,z,z2 2在复在复 平面内对应的点关于虚轴对称平面内对应的点关于虚轴对称, ,且且z

26、z1 1=2+i,=2+i,则则z z2 2=(=( ) ) A.2+iA.2+i B.B.- -2+i2+i C.2C.2- -i i D.D.- -2 2- -i i 【解析解析】选选B.B.因为因为z z1 1=2+i,=2+i,所以所以z z1 1在复平面内对应点的在复平面内对应点的 坐标为坐标为(2,1),(2,1), 由复数由复数z z1 1,z,z2 2在复平面内对应的点关于虚轴对称在复平面内对应的点关于虚轴对称, ,可知可知z z2 2 在复平面内对应的点的坐标为在复平面内对应的点的坐标为( (- -2,1),2,1), 所以所以z z2 2= =- -2+i.2+i. 【补偿

27、训练补偿训练】复数复数z=3+4iz=3+4i对应的向量对应的向量 所在直线的所在直线的 斜率为斜率为_._. 【解题指南解题指南】先利用复数与向量的对应关系先利用复数与向量的对应关系, ,确定出向确定出向 量量 的坐标的坐标, ,再利用直线的斜率公式求直线斜率再利用直线的斜率公式求直线斜率. . OZ OZ 【解析解析】由由z=3+4iz=3+4i知知, =(3,4), =(3,4), 所以直线的斜率所以直线的斜率:k= .:k= . 答案答案: : 4 3 4 3 OZ 自我纠错自我纠错 复数与复平面内点的对应关系复数与复平面内点的对应关系 【典例典例】在复平面内在复平面内,O,O为原点为

28、原点, ,已知复数已知复数z=xz=x- - i i所对所对 应的点都在单位圆内应的点都在单位圆内, ,则实数则实数x x的取值范围是的取值范围是_._. 1 3 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :错误的根本原因是误认为复数错误的根本原因是误认为复数z=xz=x- - i i所对应的所对应的 点为点为z z 而导致错误而导致错误. .正确的解答过程如下正确的解答过程如下: : 1 3 1 x,i 3 () 【解析解析】因为复数因为复数z=xz=x- - i i所对应的点所对应的点Z Z 都在单都在单 位圆内位圆内, ,所以所以|OZ|1,|OZ|1,即即 所以所以 即即 解得解得 答案答案: : 1 3 1 x,i 3 () 22 1 x1, 3 () 2 1 x1, 9 2 8 x, 9 2 22 2 x . 33 2 22 2 x 33