《经济数学》-第四章不定积分课件.ppt

1、4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质4.2 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法4.3 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法第第4章章 不定积分不定积分结束前页前页结束结束后页后页 又如又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以所以sec x是是sec x tan x的原函数的原函数.定义定义 设设f(x)在某在某区间上区间上有有定义定义，如果对该区间的任意，如果对该区间的任意点点x都有都有 F(x)=f(x)或或 dF(x)=f(x)dx则称则称F(x)为为 f(x)在在该区间上的一个原函数该区间上的一个原函数.4.1.1 原函数的概念原函数的概念 例如例如:

2、，是函数是函数 在在 上的原函数上的原函数.,sin x是是cos x在在 上的原函数上的原函数.(,)32()3xx 2x33x(,)(sin)cos x x4.1 4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质前页前页结束结束后页后页 (2)(2)如果如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的不是唯一的,且有无穷多个且有无穷多个注注:(1):(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在在例如例如而而在在 上上 是是 的原函数的原函数(,)sin1,sin2xxsin xcosxsin1,sin3xx也

3、是它的原函数也是它的原函数即即 加任意常数都是加任意常数都是 的原函数的原函数.sinxcosx (3)若函数若函数 f(x)在区间在区间 I 上存在原函数，则其任上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项意两个原函数只差一个常数项.前页前页结束结束后页后页定义定义2 2 如果函数如果函数F(x)是是f(x)在在区间区间 I 上上的一个原函数，那的一个原函数，那么么f(x)的全体的全体原函数原函数F(x)C(C为任意常数为任意常数)称为称为f(x)在在区区间间 I 上上的不定积分的不定积分.记作记作()df xx其中记号其中记号 称为积分号称为积分号，f(x)称为被积函数，称为被积函数，f

4、(x)dx称称为被积表达式，为被积表达式，x称为积分变量，称为积分变量，C为积分常数为积分常数.()d()f x xF xC，即2.不定积分的概念不定积分的概念前页前页结束结束后页后页例例2 求求21d.1xx21(arctan)()1 ，x xx解解2 1darctan.1 所所以以在在上上有有xxxCx例例1 求求.d4xx54()5由由于于，xx解解54d.5xCxx所所以以前页前页结束结束后页后页例例3 求求.d1xx,1)1(1)(1)ln(0 xxxxxx 时，有当解解)0(lnd1 .1)(ln0 xCxxxxxx时，有当1dln (0).xxCxx所所以以,0 )ln(,0 l

5、nlnxxxxx当当1dln().xxCx又又前页前页结束结束后页后页3 3 不定积分与微分的关系不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算微分运算与积分运算互为逆运算.(1)()d()d()d()df xx f xf xxf xx或或，特别地，有特别地，有d.xx C(2)()d()d()()F xxF xCF xF xC或或，前页前页结束结束后页后页(6)sin dcosxxxC(1)d kxkxC4.1.24.1.2不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式d(3)ln|.xxCx(5)d.eexxxC1(2)d (1).1xxxC (4)d.lnxxxCaaa前页前页结束结束后

6、页后页22d(8)csc d cot.sinxxxxCx(10)sec tan dsec.xxxxC(7)cos dsin.xxxC22d(9)sec dtan.cosxxxxCx(11)csc cot dcsc.xxxxC 21(12)darcsin.1xxCx21(13)darctan.1xxCx前页前页结束结束后页后页例例4 计算下列积分计算下列积分.d1(3).d1(2).d)1(23xxxxxx.43131134131CCxxxxxxd d1(2)21解解xxxxd d(1)313xxxxdd1(3)22.22111 211CxCx.112112CxCx前页前页结束结束后页后页例例5

7、 计算下列积分计算下列积分(1)2.().21d (2)d (3)dxxxxxex解解 (1)22 dln 2xxxC(3).deexxxC11111()d()()122ln 2 2ln2xxxxCC (2)前页前页结束结束后页后页4.1.3 不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面号的前面.()d()dkf xxk f xx).0(kk是常数，性质性质2可以推广到有限多个函数的情形，即可以推广到有限多个函数的情形，即1212()()()d ()d()d()d.nnxxxxxxxxxxffffff性质性质2 两

8、个函数的和两个函数的和(或差或差)的不定积分等于各函数的不定积分等于各函数不定积分的和不定积分的和(或差或差)，即，即 ()()d()d()d.f xg xxf xxg xx前页前页结束结束后页后页例例6 求求32543)d.(2xxxx32 2d5d4d3 dxxx xxxx3232 543)d 2d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解解43215 23.23xCxxx 注注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可要写出一个任意常数即可 前页

9、前页结束结束后页后页例例7 求求xxxd)sin23(xxxxxxxdsin2d d)sin233(解解2(cos)2cos.ln3ln333xxxCxC 例例8 求求2d.(1)xxx 531222221()(所所以以xxxxxxxd)d53122222,(1)xxxxx解解xxxxxxdd2d212325.325472232527Cxxx前页前页结束结束后页后页.xexC1)d(xxe21(1)(1)dd11xxxxxxxeeeee解解21d.1xxxee例例11 求求前页前页结束结束后页后页cos2d.sincosxxxx cossin.xx C例例12 求求cos2(sincos)(s

10、incos)ddsincossincosxxxxxxxxxxx解解(sincos)xx dx 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数的积分后，便可逐项积分求得结果如例的积分后，便可逐项积分求得结果如例9 91212。前页前页结束结束后页后页,d2d,2xuxu得令uuxxdcos21d2cos 解解.2sin21sin21CxCu，则有得uxd21d.d2cosxx求例例14.2 4.2 换元积分法换元积分法4.2.1 4.2.1 第一类换元法第一类换元法前

11、页前页结束结束后页后页 )()()d(有具有连续导数，则如果，设xuCuFuuf ()()d ()(1)fx xxFxC定理定理1前页前页结束结束后页后页根据不定积分的定义，则有根据不定积分的定义，则有.)(d)()(CxFxxxf 公式公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法积分法.也称也称“凑微分凑微分”法法 应用定理应用定理1 1求不定积分的步骤为求不定积分的步骤为()d()()d()d()g xxfxxxfxx凑微分()d()()()()f uuF u

12、CFxCxuux变量代换还原前页前页结束结束后页后页例例2 求求.d)13(2008xx d31 d 20082008)13(uxux于是有，得，得令uxxuxud31d3dd13解解uud31=200820092009111(31).320096027CxCu前页前页结束结束后页后页设设 是单调可导的函数，是单调可导的函数，且且定理定理2)(tx()0t()()d()ftttF tC那么那么()d()()d()f xxftttF tC1()FxC应用第二类换元法求不定积分的步骤为应用第二类换元法求不定积分的步骤为 ()d()()d()d()()f xxftttg ttF tCxt 换换元元()tx 还还原原1()FtC 前页前页结束结束后页后页由函数乘积的微分公式由函数乘积的微分公式d()d()d()uvvuuv，移项得移项得d()d()d()uvuvvu，dd (1)u vuvv u对上式两端同时积分，得对上式两端同时积分，得公式公式(1)或公式或公式(2)称为分部积分公式称为分部积分公式.dd (2)uv xuvu v x或或4.34.3 分部积分法分部积分法前页前页结束结束后页后页例例1 求求.dsinxxx cosdddsind，则，则，令xvxuxxvxu解解xxxxxxxd )cos(cos dsin.sincosCxxxxxxxd coscos