MATLAB课件第6章MATLAB符号计算.ppt

1、第6章 MATLAB符号计算目录目录v 在工程、应用数学和科学上经常要用到符号计算功能。MATLAB开发商Mathwork公司以maple的内核为符号计算的引擎，依赖MAOLE已有的库函数，开发了在MATLAB环境下实现符号计算的工具箱Symbolic Math Toolbox(符号数学工具箱)。v6.1 符号计算基础v6.2 符号导数及其应用v6.3 符号积分v6.4 级数v6.5 代数方程的符号求解v6.6 常微分方程的符号求解6.1 符号计算基础目录目录v符号数学工具箱是操作和解决符号表达式的版本号数学工具的集合，它包含复合、简化、微分、积分以及求代数方程和微分方程的工具。v6.1.1

2、符号对象v1.建立符号变量和符号常数v(1)sym函数v sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(a)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。例6.1考察符号变量和数值变量的差别。在 MATLAB命令窗口，输入命令：目录目录a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d);%定义4个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11;%定义4个数值变量A=a,b;c,d%建立符号矩阵AA=a,b c,d det(B)%计算数值矩阵B的行列式B=w,x;y,z%建立数值矩阵BB=10 5 -8 11ans=a*d-b*c det(A)%计算符号矩阵

3、A的行列式ans=150例6.2比较符号常数与数值在代数运算时的差别。在 MATLAB命令窗口，输入命令：pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3);%定义符号变量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%定义数值变量sin(pi1/3)%计算符号表达式值 sin(pi2/3)%计算数值表达式值sqrt(k1)%计算符号表达式值sqrt(r1)%计算数值表达式值sqrt(k3+sqrt(k2)%计算符号表达式值sqrt(r3+sqrt(r2)%计算数值表达式值目录目录ans=1/2*3(1/2)ans=0.8660ans=2*2(1/2)ans=2.

4、8284ans=(3+2(1/2)(1/2)ans=2.1010(2)syms函数syms函数的一般调用格式为：syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。目录目录2.建立符号表达式例6.3用两种方法建立符号表达式。在MATLAB窗口，输入命令：U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6)%定义符号表达式Usyms x y;%建立符号变量x、yV=3*x2+5*y+2*x*y+6%定义符号表达式V 2*U-V+6%求符号表达式的值U=3*x2+5*y+2*x*y+

5、6V=3*x2+5*y+2*x*y+6ans=3*x2+5*y+2*x*y+12例6.4计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。命令如下：syms a b c;U=a,b,c;A=1,1,1;U;U.2%建立范得蒙符号矩阵det(A)%计算A的行列式值目录目录A=1,1,1 a,b,c a2,b2,c2ans=b*c2-c*b2-a*c2+a*b2+a2*c-a2*bans=-(-c+b)*(a-c)*(a-b)factor(ans)例6.5建立x,y的一般二元函数。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms x y;f=sym(f(x,y);目录目录6.

6、1.2 基本的符号运算1.符号表达式运算(1)符号表达式的四则运算例6.6符号表达式的四则运算示例。在 MATLAB命令窗口，输入命令：syms x y z;f=2*x+x2*x-5*x+x3%符号表达式的结果为最简形式f=2*x/(5*x)%符号表达式的结果为最简形式f=(x+y)*(x-y)%符号表达式的结果不是x2-y2，而是(x+y)*(x-y)目录目录f=-3*x+2*x3f=2/5f=(x+y)*(x-y)(2)因式分解与展开factor(S)对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。expand(S)对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S)对S合并同类项，S是符

7、号表达式或符号矩阵。collect(S,v)对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。目录目录例6.7 对符号矩阵A的每个元素分解因式。命令如下：syms a b x y;A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2;4,a3-b3;factor(A)%对A的每个元素分解因式目录目录ans=2*a*b3*x2*(5*b3*x2-2*b*x+a),-x*(-3*y+5*x)4,(a-b)*(a2+b*a+b2)例6.8 计算表达式S的值。命令如下：syms x y;s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2);expand(s)%对s展开

8、collect(s,x)%对s按变量x合并同类项(无同类项)factor(ans)%对ans分解因式ans=7*x4-13*x2*y2-24*y4ans=7*x4-13*x2*y2-24*y4ans=(8*y2+7*x2)*(x2-3*y2)(3)表达式化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(S)应用函数规则对S进行化简。simple(S)调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。例6.9化简命令如下：syms x y;s=(x2+y2)2+(x2-y2)2;simple(s)%MATLAB自动调用多种函数对自动调用多种函数对s进行化简，并显示每

9、步结果进行化简，并显示每步结果目录目录2.符号矩阵运算transpose(S)返回S矩阵的转置矩阵。determ(S)返回S矩阵的行列式值。colspace(S)返回S矩阵列空间的基。Q,D=eigensys(S)Q返回S矩阵的特征向量，D返回S矩阵的特征值。目录目录6.1.3 符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(S,n)函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLA

10、B将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符x最近原则确定缺省变量。目录目录6.2 符号导数及其应用6.2.1函数的极限limit函数的调用格式为：limit(f,x,a)limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x,a,right)或 limit(f,x,a,left)目录目录例6.10求极限在MATLAB命令窗口，输入命令：syms a m x;f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);limit(f,x,a)%求极限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x;limi

11、t(f)%求极限(2)limit(f,inf)%求f函数在x (包括+和-)处的极限limit(f,x,inf,left)%求极限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,right)%求极限(4)目录目录,)sin()sin(lim,lim/011xaxaxaxaxxmmaxans=a(1/m)/a/mans=2*cos(a)ans=0ans=0ans=-1/2*2(1/2)/a(1/2)6.2.2 符号函数求导及其应用MATLAB中的求导的函数为：diff(f,x,n)diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x的

12、用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1。目录目录 例例6.11求函数的导数。求函数的导数。命令如下：命令如下：syms a b t x y z;f=sqrt(1+exp(x);diff(f)%求求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos(x);diff(f,x,2)%求求(2)。求。求f对对x的二阶导数的二阶导数diff(f,x,3)%求求(2)。求。求f对对x的三阶导数的三阶导数f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1)%求求(3)。按参数方程求导公式求。按参

13、数方程求导公式求y对对x的导数的导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3%求求(3)。求。求y对对x的二阶的二阶导数导数f=x*exp(y)/y2;diff(f,x)%求求(4)。z对对x的偏导数的偏导数diff(f,y)%求求(4)。z对对y的偏导数的偏导数f=x2+y2+z2-a2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求求(5)。按隐函数求导公式求。按隐函数求导公式求z对对x的偏导数的偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z)%求求(5)。按隐函数求导公式求。按隐函数求导公式求z对对y的偏导数的偏导数目

14、录目录例6.12在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。命令如下：x=sym(x);y=x3+3*x-2;%定义曲线函数f=diff(y);%对曲线求导数g=f-4;solve(g)%求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4目录目录ans=1/3*3(1/2)-1/3*3(1/2)6.3 符号积分6.3.1不定积分在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x)int函数求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。目录目录例6.13求不定积分。命令如下：x=sym(x);f=(3-x2)3;int(f)%求不定积分

15、(1)f=sqrt(x3+x4);int(f)%求不定积分(2)g=simple(ans)%调用simple函数对结果化简目录目录ans=27*x-1/7*x7+9/5*x5-9*x3 ans=-1/48*(x3+x4)(1/2)*(-16*(x2+x)(3/2)+12*(x2+x)(1/2)*x+6*(x2+x)(1/2)-3*log(1/2+x+(x2+x)(1/2)/x/(x+1)*x)(1/2)g=1/3*(x+1)*x)(1/2)*x2+1/12*(x+1)*x)(1/2)*x-1/8*(x+1)*x)(1/2)+1/16*log(1/2+x+(x+1)*x)(1/2)6.3.2 符

16、号函数的定积分定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLAB中，定积分的计算使用函数：int(f,x,a,b)例6.14求定积分。命令如下：x=sym(x);t=sym(t);int(abs(1-x),1,2)%求定积分(1)f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf)%求定积分(2)int(4*t*x,x,2,sin(t)%求定积分(3)f=x3/(x-1)100;I=int(f,2,3)%用符号积分的方法求定积分(4)double(I)%将上述符号结果转换为数值目录目录ans=1/2 ans=pians=2*t*(sin(t)2-4)I=9789312918018730156551

17、9001875382615/1192978373971185320372138406360121344 ans=0.08205775671718例6.15求椭球的体积。命令如下：syms a b c z;f=pi*a*b*(c2-z2)/c2;V=int(f,z,-c,c)V=4/3*pi*a*b*c目录目录例6.16轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3x千克/米(其中x为距轴的端点距离)，求轴的质量。(1)符号函数积分。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms x;f=6+0.3*x;m=int(f,0,10)(2)数值积分。先建立一个函数文件fx.m：func

18、tion fx=fx(x)fx=6+0.3*x;再在MATLAB命令窗口，输入命令：m=quad(fx,0,10,1e-6)目录目录m=75例6.17求空间曲线c从点(0，0，0)到点(3，3，2)的长度。求曲线c的长度是曲线一型命令如下：syms t;x=3*t;y=3*t2;z=2*t3;f=diff(x,y,z,t)%求x,y,z对参数t的导数g=sqrt(f*f)%计算一型积分公式中的根式部分l=int(g,t,0,1)%计算曲线c的长度目录目录6.3.3 积分变换(不讲）1.傅立叶(Fourier)变换在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(fx,x,t)求函数f(

19、x)的傅立叶像函数F(t)。ifourier(Fw,t,x)求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。目录目录例6.18求函数的傅立叶变换及其逆变换。命令如下：syms x t;y=abs(x);Ft=fourier(y,x,t)%求y的傅立叶变换fx=ifourier(Ft,t,x)%求Ft的傅立叶逆变换2.拉普拉斯(Laplace)变换在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：laplace(fx,x,t)求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。ilaplace(Fw,t,x)求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。目录目录例6.19计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换.命令如下：x=s

20、ym(x);y=x2;Ft=laplace(y,x,t)%对函数y进行拉普拉斯变换fx=ilaplace(Ft,t,x)%对函数Ft进行拉普拉斯逆变换目录目录3.Z变换对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：ztrans(fn,n,z)求fn的Z变换像函数F(z)iztrans(Fz,z,n)求Fz的z变换原函数f(n)例6.20求数列 fn=e-n的Z变换及其逆变换。命令如下：syms n zfn=exp(-n);Fz=ztrans(fn,n,z)%求fn的Z变换f=iztrans(Fz,z,n)%求Fz的逆Z变换目录目录4.积分变换的应用例6.21用拉普拉斯方法解微分方程。目录目录6

21、.4 级数级数6.4.1 级数的符号求和级数的符号求和级数符号求和函数级数符号求和函数symsum，调用格式为：，调用格式为：symsum(a,n,n0,nn)例例6.22求级数之和。求级数之和。命令如下：命令如下：n=sym(n);s1=symsum(1/n2,n,1,inf)%求求s1s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf)%求求s2。未指定求和变量，缺省为。未指定求和变量，缺省为ns3=symsum(n*xn,n,1,inf)%求求s3。此处的求和变量。此处的求和变量n不能省略。不能省略。s4=symsum(n2,1,100)%求求s4。计算有限级数的和。计算有限级数的和s

22、1=1/6*pi2 s2=log(2)s3=x/(x-1)2 s4=338350 6.4.2 函数的泰勒级数MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor，其调用格式为：taylor(f,v,n,a)其中f是一个符号表达式，代表要展开的解析函数；n 表示展开的阶数直到n-1 阶，默认值展开到5阶为止；v是独立变量；a是要展开的点，缺省时表示a=0.输入参数n,v,a的顺序可以是任意的，系统会根据输入参数值的特征自动进行识别。例6.23求函数在指定点的泰勒展开式。命令如下：x=sym(x);f1=(1+x+x2)/(1-x+x2);f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2

23、)(1/3);taylor(f1,x,5)%求(1)，展开到x的4次幂时应选择n=5taylor(f2,6)%求(2)ans=1+2*x+2*x2-2*x4 ans=1/6*x2+x3+119/72*x4+239/72*x5 例6.24将多项式表示成x+1的幂的多项式。命令如下：x=sym(x);p=1+3*x+5*x2-2*x3;f=taylor(p,x,-1,4)例6.25应用泰勒公式近似计算 。命令如下：x=sym(x);f=(1-x)(1/12);%定义函数，4000(1/12)=2f(96/212)g=taylor(f,4)%求f的泰勒展开式g，有4000(1/12)2g(96/21

24、2)b=96/212;a=1-b/12-11/288*b2-253/10368*b3%计算g(b)2*a%求4000(1/12)的结果4000(1/12)%用MATLAB的乘方运算直接计算 目录目录 6.4.3 函数的傅立叶级数MATLAB 5.x版中，尚未提供求函数傅立叶级数的内部函数。下面我们自己设计一个简化的求任意函数的傅立叶级数的函数文件。function mfourier=mfourier(f,n)syms x a b c;mfourier=int(f,-pi,pi)/2;%计算a0for i=1:n a(i)=int(f*cos(i*x),-pi,pi);b(i)=int(f*si

25、n(i*x),-pi,pi);mfourier=mfourier+a(i)*cos(i*x)+b(i)*sin(i*x);endreturn调用该函数时，需给出被展开的符号函数f和展开项数n，不可缺省。目录目录例6.26在-，区间展开函数为傅立叶级数。命令如下：x=sym(x);a=sym(a);f=x;mfourier(f,5)%求f(x)=x的傅立叶级数的前5项f=abs(x);mfourier(f,5)%求f(x)=|x|的傅立叶级数的前5项syms a;f=cos(a*x);mfourier(f,6)%求f(x)=cos(ax)的傅立叶级数的前6项f=sin(a*x);mfourier

26、(f,4)%求f(x)=sin(ax)的傅立叶级数的前4项目录目录6.5代数方程的符号求解6.5.1线性方程组的符号求解MATLAB中提供了一个求解线性代数方程组的函数linsolve，其调用格式为：linsolve(A,b)目录目录例6.27求线性方程组AX=b的解。解方程组(1)的命令如下：A=34,8,4;3,34,3;3,6,8;b=4;6;2;X=linsolve(A,b)%调用linsolve函数求(1)的解Ab%用另一种方法求(1)的解解方程组(2)的命令如下：syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b1 b2 b3;A=a11,a12,

27、a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33;b=b1;b2;b3;X=linsolve(A,b)%调用linsolve函数求(2)的解XX=Ab%用左除运算求(2)的解目录目录6.5.2 非线性方程组的符号求解求解非线性方程组的函数是solve，调用格式为：solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN)例6.28 解方程。命令如下：x=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2),x)%解方程(1)f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1);x=solve(f)%解方程(2)x=solve(2*sin(3*x-pi/4)=

28、1)%解方程(3)x=solve(x+x*exp(x)-10,x)%解方程(4)。仅标出方程的左端目录目录例6.29】求方程组的解。命令如下：x y=solve(1/x3+1/y3=28,1/x+1/y=4,x,y)%解方程组(1)x y=solve(x+y-98,x(1/3)+y(1/3)-2,x,y)%解方程组(2)Warning:Explicit solution could not be found.In C:MATLABR11toolboxsymbolicsolve.m at line 136x=empty sym y=对方程组(2)MATLAB给出了无解的结论，显然错误，请看完全与

29、其同构的方程组(3)。输入命令如下：u,v=solve(u3+v3-98,u+v-2,u,v)%解方程组(3)x v=solve(x2+y2-5,2*x2-3*x*y-2*y2)%解方程组(4)目录目录6.6常微分方程的符号求解MATLAB的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数dsolve。该函数的调用格式为：dsolve(eqn1,condition,var)该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解。参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。dsolve在求微分方程组时的调用格式为：ds

30、olve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,conditionN,var1,varN)函数求解微分方程组eqn1、eqnN在初值条件conditoion1、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、varN给出求解变量。目录目录例6.30 求微分方程的通解。命令如下：y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x)%解(1)。方程的右端为0时可以不写y=dsolve(Dy*x2+2*x*y-exp(x),x)%解(2)y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x)%解(3)目录目录 例6.31 求微分方程的特解。命令如下：y=

31、dsolve(Dy=2*x*y2,y(0)=1,x)%解(1)y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x)%解(2)目录目录 例例6.32用微分方程的数值解法和符号解法解方程，并对结果进行比用微分方程的数值解法和符号解法解方程，并对结果进行比较。较。在在MATLAB命令窗口，输入命令：命令窗口，输入命令：y=dsolve(Dy+2*y/x-4*x,y(1)=2,x)%用符号方法得到方程的解析解用符号方法得到方程的解析解为了求方程的数值解，需要按要求建立一个函数文件为了求方程的数值解，需要按要求建立一个函数文件fxyy.m：function f=fxyy(x,y)f=(4*x2

32、-2*y)/x;%只能是只能是y=f(x,y)的形式，当不是这种形式时，要变形。的形式，当不是这种形式时，要变形。return输入命令：输入命令：t,w=ode45(fxyy,1,2,2);%得到区间得到区间1，2中的数值解，以向量中的数值解，以向量t、w存存储。储。为了对两种结果进行比较，在同一个坐标系中作出两种结果的图形。输入命为了对两种结果进行比较，在同一个坐标系中作出两种结果的图形。输入命令：令：x=linspace(1,2,100);y=x.2+1./x.2;%为作图把符号解的结果离散化为作图把符号解的结果离散化plot(x,y,b.,t,w,r-);目录目录6.6.3 常微分方程组

33、求解例6.33 求微分方程组的解。命令如下：x,y=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t)%解方程组(1)x,y=dsolve(D2x-y,D2y+x,t)%解方程组(2)目录目录x=C1+C2*exp(3*t)y=1/2*C2*exp(3*t)+2*C1x=-C1*exp(1/2*2(1/2)*t)*sin(1/2*2(1/2)*t)-C2*exp(-1/2*2(1/2)*t)*sin(1/2*2(1/2)*t)+C3*exp(1/2*2(1/2)*t)*cos(1/2*2(1/2)*t)+C4*exp(-1/2*2(1/2)*t)*cos(1/2*2(1/2)*t)y=-C1*exp(1/2*2(1/2)*t)*cos(1/2*2(1/2)*t)+C2*exp(-1/2*2(1/2)*t)*cos(1/2*2(1/2)*t)-C3*exp(1/2*2(1/2)*t)*sin(1/2*2(1/2)*t)+C4*exp(-1/2*2(1/2)*t)*sin(1/2*2(1/2)*t)