2013年全国大学生数学建模大赛A题全国一等奖论文.doc

1、 2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/

2、C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1 车道被占用对城市道路通行

3、能力的影响 摘要 车道被占用会对车辆的通行有一定的影响，所以要建立模型正确估算车道被占用对 城市道路通行能力的影响程度，为交通部门采取措施提供理论依据。查阅资料对通行能 力进行修正，用 t 检验判定占道不同对通行能力的影响，然后进行拟合回归求排队长度 与其他因素的关系，最后建立微分方程求解队长达 140m 所需时间。 针对问题一，首先查阅资料得出基本通行能力的计算公式，然后统计或者查资料求 出平均车头时距，行驶速度，连续车流的车头间距等参数，计算得基本通行能力。然后 对基本通行能力进行乘法修正，考虑车道的宽度，公交车的数量，道路数等因素，在公 式前乘以各修正系数，最后按起始时间开始，每隔 1m

4、in 为单位计算每个时段的通行能 力，并绘制统计图。 针对问题二，首先对 2 个视频中显示的交通事故所在横断面的交通量进行统计，得 到原始数据，用折算系数换算标准车当量交通量，然后用 MATLAB 软件进行数据标准化 并判断数据服从正态分布，接着画出正态分布拟合图。最后根据统计换算得出的统计量 进行 t 检验， 发现同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差 异较大。 针对问题三，首先根据公式 mj mDU kk LktNtNN ty )()( )( 0 3，得出每个时段排队 长度，然后将排队长度作为因变量，事故横断面实际通行能力、事故持续时间和路段上 游车流量作为自变量建立

5、回归方程。最后用最小二乘法对该回归方程进行检验并进行分 析说明。 针对问题四，首先根据题目中的道路交通状况，做出车长与车距为定值的假设，简 化问题。题中规定横断面上流进车量为 1500pcu/h，横断面出车量我们近似的看做事故 横断面各时段车流量的均值，由进车量与出车量的差值作为微分方程的导数，再根据初 始队长为零的条件，建立车长关于时间的微分方程，求得所需时间为 3.1min。 关键词关键词：乘法修正 t 检验 线性回归 最小二乘法 微分方程 2 一、问题重述 车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面 通行能力在单位时间内降低的现象。 由于城市道路具有交通流密

6、度大、 连续性强等特点， 一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆 排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。 车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影 响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设 置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。 视频 1（附件 1）和视频 2（附件 2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面， 且完全占用两条车道。请研究以下问题： 1.根据视频 1（附件 1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实 际通行能力的变化过程。 2.根据

7、问题 1 所得结论，结合视频 2（附件 2），分析说明同一横断面交通事故所占 车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。 3.构建数学模型，分析视频 1（附件 1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事 故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。 4.假如视频 1（附件 1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为 140 米，路段下 游方向需求不变，路段上游车流量为 1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为 零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度 将到达上游路口。 二、模型假设 1.假设当视频中的车辆车头通过横断面则算作该车已通行；

8、2.我们假设此次交通事故发生点的迁移对事故所处横断面车流量的影响可以忽略； 3.问题四中的事故所处横断面的车流量可以近似为某一定值； 4.在统计车流量时，因自行车、电瓶车等小车型对整体交通通行能力的影响太小， 故我们忽略不计； 5.将所有非公交车的四轮车都算作标准车。 3 三、符号说明 符号 意义 符号 意义 0 C 一条机动车道的路 段基本通行能力 （veh/h） t h 饱和连续车流的平 均车头时距（s） v 行驶速度(km/h) L 连续车流的车头间 距（m） 0 L 停车时的车辆安全 车间距（m） 1 L 车辆的车身长度 （m） v 行驶速度（km/h） I 与车重、 路段阻力系 数、

9、 黏着系数及坡度 相关的系数 U 驾驶员在反应时间 内车辆行驶的距离 （m） n 车道数 C n 条车道的道路基本 通行能力 w f 车道宽度和路肩宽 度对通行能力的修 正系数 D f 电动车影响的修正 系数 HV f 客车影响的修正系 数 W 一条机动车道的宽 度（m） HV E 大车的修正系数为 HV P 大车占交通总量的 百分比 0 N 初始时刻上、 下游断 面之间的车辆数 )(tNU t 时刻通过上游断面 的车辆累计数 )(tND t 时刻通过下游断面 的车辆累计数 )(tN t 时刻上、下游断面 之间的车辆数。 )(ty t 时刻上、下游断面 之间的当量排队长 度 L 下游断面之间的

10、距 离 m k 上、 下游断面之间的 交通流最佳密度 j k 上、 下游断面之间的 交通流阻塞密度。 in W 进车量 out W 出车量 2 L 车距 4 四、问题分析 问题 1： 为了描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过 程，我们首先查阅资料了解车道的基本通行能力的计算公式，然后对该公式进行乘法修 正，然后我们应该按照公式中的参数，查阅资料或者统计出车辆的车身长度，车道数， 车主的反应时间等参数，最后代入公式，求解出每个时间段的通行能力，最后画出统计 图并进行分析。 问题 2： 为了求解同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异， 结合问

11、题 1 统计出的交通事故横断面的交通量，再根据视频 2 中监控画面，可以统计出 第二个交通事故横断面的交通量。采用问题一给出的折算系数，将交通量换算为标准交 通当量。再用 MATLAB 对两组数据进行标准化并判断其服从的分布，最后得到拟合正态 分布图。用 t 检验判断两组结果有无显著性差异，可以最终分析得到影响能力的差异。 问题 3： 为了分析视频中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、 事故持续时间、路段上游车流量间的关系，我们查阅资料可通过流量守恒和二流理论等 求解排队长度的计算公式，然后通过线性拟合回归求解出关于辆排队长度与事故横断面 实际通行能力、事故持续时间、路段

12、上游车流量间的回归方程，最后对该回归函数进行 显著性检验，并判定其拟合的程度。 问题 4： 为了估算从事故发生开始，车辆排队长度将到达上游路口的所需时间，假设车长与 车距为定值，简化了问题的求解。题目中规定横断面上流进车量为 1500pcu/h，横断面 出车量我们近似的看做事故横断面各时段车流量的均值，将两者的差值作为微分方程的 导数，再根据初始队长为零的条件，建立车长关于时间的微分方程，求得所需时间。 5 五、模型建立与求解 5.15.1 问题一问题一 5.1.15.1.1 模型分析模型分析 题目要求描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变 化过程，所以我们查阅资料得

13、出基本通行能力的求解公式，并且根据各项修正系数对通 行能力进行乘法修正，最后列出统计表和统计图。 5.1.25.1.2 数据处理数据处理 在交通调查中，为了确定其通行能力，应该将不同车型的交通量换算成标准车当量 数。根据交通量主要指标解释附录一，我们选取大车的折算系数为 1.5，小车的折算 系数为 1，电瓶车的折算系数为 0.2，其他车辆暂不考虑，将各时间段的总交通量和大 车交通量标准化后得到一组新的数据。 然后我们从事故发生时间开始每隔 1min 对事故所处横断面、通行量与在该时段内 大车的通行量的比例做统计分析，其中在时间段 49:3250:32 中视频有缺失我们不采用 该时段的信息，所统

14、计得 10 组数据如附录二，附录三所示。 5.1.35.1.3 模型建立与求解模型建立与求解 (1)基本通行能力 一条车道的基本通行能力， 可按车头间距和车头时距两种方法计算， 其计算公式为： t hC/3600 0 或LvC/1000 0 （1-1） 式中： 0 C一条机动车道的路段基本通行能力（veh/h）； t h饱和连续车流的平均车头时距（s）； v行驶速度(km/h); L连续车流的车头间距（m）。 连续车流条件下的车头间距可按下式计算： 2 10 vIULLL （1-2） 式中： 0 L停车时的车辆安全车间距（m）； 1 L车辆的车身长度（m）； v行驶速度（km/h）； 6 I与

15、车重、路段阻力系数、黏着系数及坡度相关的系数； U驾驶员在反应时间内车辆行驶的距离（m），TvU，sT2 . 1左右。 由于基本通行能力计算时不需要考虑道路和交通条件的影响，因此多车道的基本 通行能力可按照下式计算： o CnC （1-3） 式中：n车道数； Cn 条车道的道路基本通行能力； 0 C一条机动车道的道路基本能力。 0 L为停车时的车辆安全车间距，一般取 2m； 1 L为辆的车车身长度，我们现取标准车的 车长为 5m；在发生拥堵的城市道路中，将平均速度取为 20km/h；最后将系数I设定为 0.02。将各项数据代入式（1-2），并将式（1-2）所求得的数据代入式（1-1）得一条 机

16、动车道的道路基本能力94.388 0 C。 （2）基于基本通行能力修正的乘法模型 HVDwn fffCC （1-4） 式中： n C车道被占用后的实际通行能力； Cn 条车道的道路基本通行能力； w f车道宽度和路肩宽度对通行能力的修正系数； D f电动车影响的修正系数； HV f客车影响的修正系数。 由于在发生事故后车道数从 3 个减少为 1 个， 所以 n=1;在城市道路设计中， 标准车道宽 度为 3.50m，当车道宽度大于该值时，不影响通行能力；当车道宽度小于该值时，通行 能力减小。车道宽度对通行能力的修正系数 w f可按下式确定：1 mWWW mWW fw 5 . 3%100) 3/1

17、618854( 5 . 3%100)5 . 1(50 2 (1-5) 式中：W一条机动车道的宽度（m）。 将 W=3.25 代入式（1-4）得车道宽度对通行能力的修正系数875. 0 w f；电动车对 7 通行能力的影响较小，所以我们在此取其系数 z f为 1；客车对通行能力修正的计算公式 为2： )1(1/1 HVHVHV EPf （1-6） 式中 HV E大车的折算系数为 1.5； HV P大车占交通总量的百分比附录三； 最后将每个时段的 HV f代入式（1-4）得最后的结果如下表 1.1 所示。 表 1.1：事故所处横断面实际通行能力 时段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时

18、间 42:32 -43:3 2 43:32 -44:3 2 44:32 -45:3 2 45:32 -46:3 2 46:32 -47:3 2 47:32 -48:3 2 48:32 -49:3 2 50:32 -51:3 2 51:32 -52:3 2 52:32 -53:3 2 实 际 通 行 能 力 310.8 0 333.6 5 340.3 2 333.6 5 340.3 2 333.6 5 340.3 2 333.6 5 333.6 5 333.6 5 根据上表给的数据用 excel 做出实际通行能力与时间的条形统计图如图 1.1 所示。 图 1.1： 5.1.45.1.4 结果分析

19、与模型评价结果分析与模型评价 由上统计图可得， 事故发生后的 1min 内所处断面的实际通行能力最小， 而从第 2min 开始后，事故所处断面实际通行能力趋于稳定。但是由于视频后半部分时间段出现了大 量的缺失，所以我们并没有采用后半部分的数据，但是由图分析趋势可得后面时段的实 8 际通行能力应该也在 330 左右。视频最后未给出事故双方撤离的过程，所以并不能用统 计图表示。 5.2 问题二问题二 5.2.1 问题分析问题分析 问题 2 中题目要求根据问题 1 所得结论，结合视频 2（附件 2），分析说明同一横 断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。根据视频 1、2 的监 控

20、画面显示，可以统计大客车与小轿车两种车型的交通量，用折算系数换算为标准车当 量交通量，得到各个时间段的通行能力后，用 t 检验的方法，判别两个交通事故所处横 断面的通行量是否有显著性差异。 5.2.2 数据预处理数据预处理 （1）针对视频 1，将视频 1 交通事故发生时间 16:42:32 为开始时间，以 1min 为组 距，交通事故撤离时间为结束时间，划分为 14 组。统计视频中的大、小车的通行数量， 因为电瓶车、自行车的体积太小，对交通状况不易造成影响，故我们此处忽略不计。得 到初始数据后，我们由折算系数把不同车型的交通量转化为标准车当量交通量，进而得 到各个时间段的交通通行能力。 （2）

21、针对视频 2，将视频 2 交通事故发生时间为 17:34:17 开始时间，以 1min 为组 距，交通事故撤离时间为结束时间，划分为 20 组。同视频 1 的处理，得出各个时间段 的交通通行能力。 5.2.3 模型的建立与求解模型的建立与求解拟合与拟合与 t 检验检验 （1）对交通通行能力进行正态拟合 经过数据的预处理后，得到视频 1 与视频 2 的交通通行能力如下表所示： 表 2-1：视频 1 交通通行能力 视频 1 事故所处横断面实际通行能力 时段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 通行 能力 310 .80 333 .65 340 .32 333 .65

22、340 .32 333 .65 340 .32 333 .65 333 .65 333 .65 316 .58 327 .72 309 .38 316 .58 9 表 2-2：视频 2 交通通行能力 视频 2 事故所处横断面实际通行能力 时段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 通 行 能 力 312. 22 309. 38 328. 81 307. 98 328. 81 312. 22 318. 06 328. 81 319. 55 316. 58 时段 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 通 行 能 力 327. 23 340. 32 321. 06 302.

23、 51 327. 23 330. 41 327. 23 325. 67 327. 23 315. 11 正态分布检验： 用 SPSS 进行 K-S 检验，检验两组数据是否满足正态性的要求。首先数据进行标准 化处理，然后求得渐近显著性(双侧)分别为0.128 和0.502，均大于0.05，则不能拒绝 零假设，即认为两组数据都服从正态分布。 用 MATLAB 对视频 1 中得到的交通通行能力首先进行数据的标准化并且判断标准 化的数据符合何种分布，接着进行数据的拟合，得到的拟合图形如下图所示： 图 2-1：视频 1 通行能力正态拟合图： 同理， 对视频 2 所得的交通通行能力的结果进行同样的标准化与

24、拟合， 得到结果见、 图 2-2： 图 2-2：视频 2 通行能力正态拟合图： 10 用 EXCEL 软件统计两个视频得出的样本容量、均值、方差，归纳如下： 表 2-3：t 检验所需统计量： N 均值 方差 视频 1 通行能力 14 328.85 118.49 视频 2 通行能力 20 321.32 88.71 （2）t 检验 做出假设： 原假设： 210 ：H 备择假设： 211 ：H 选择检验统计量，根据备择假设确定拒绝域： 统计量： m s n s xx t xx 22 21 21 （2-1） 拒绝域： )( 2 1lttW （2-2） 其中 11 ) ) 1() 1( /()( 2 4

25、 2 4 2 22 2121 mm s nn s m s n s l xxxx （2-3） 确定显著性水平，这里选取05. 0 确定临界值，定出拒绝域： 由05. 0)( 2 1 lttP ，结合上表给出的统计量值可以得出l 0.0013。 根据表中的统计量值得出结果： 利用 SPSS 求得显著性水平取 95%时，渐近显著性(双侧)的值均小于 0.05，因此拒绝原 假设， 即认为同一横断面交通事故所占车道不同对车辆的通行能力影响有显著性差异又 由于视频 1 的交通事故发生后的通行能力均值 328.85 比视频 2 的通行能力均值 321.32 大所以视频 1 所处的交通事故发生横断面对交通通行

26、能力的影响较小 5.35.3 问题三问题三 5.3.15.3.1 问题分析问题分析 问题要求分析视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行 能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，根据查资料可通过流量守恒和二流理 论等求解排队长度的计算公式，然后通过线性拟合回归求解出关于辆排队长度与事故横 断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的回归方程。 5.3.25.3.2 模型建立与求解模型建立与求解 5.3.2.1 根据二流理论计算当量排队长度3 首先来讨论单入口单出口不可超车的单车道路段，根据流量守恒原理，可知 )()()( 0 tNtNtNN DU （3-1） 式中

27、： 0 N为初始时刻（即0t）上、下游断面之间的车辆数；)(tNU为 t 时刻通过 上游断面的车辆累计数；)(tND为 t 时刻通过下游断面的车辆累计数；)(tN为 t 时刻 上、下游断面之间的车辆数。 根据二流理论 )()()(tyLktyktN mj (3-2) 式中：)(ty为 t 时刻上、下游断面之间的当量排队长度；L为上、下游断面之间的 距离； m k为上、下游断面之间的交通流最佳密度； j k为上、下游断面之间的交通流阻 12 塞密度。 将式（3-2）代入式（3-1），得 mj mDU kk LktNtNN ty )()( )( 0 （3-3） 式（3-3）即为基于二流理论的单车道

28、当量排队长度模型。 j k为上、下游断面之间的交通流阻塞密度，取为 150 辆/km； m k为上、下游断面之 间的交通流最佳密度为 25 辆/km；L为上、 下游断面之间的距离， 我们在此取值为 120m； 通过视频一中采集到的数据代入式（3-3）中，可得每个时段车辆的排队长度如下表 3.1 所示： 表 3.1： 时段 初始车辆数 0 N 通过上游断面 车辆)(tNU 通过下游断面 的车辆)(tND 当量排队长度 )(ty 42:3243:32 13 16 19 56 43:3244:32 14 12.5 19.5 32 44:3245:32 8 15 17 24 45:3246:32 8

29、15 17.5 20 46:3247:32 9 10 15 8 47:3248:32 7 20.5 20.5 32 48:3249:32 10 15 19 24 49:3250:32 该段视频有缺失，信息不采用 50:3251:32 17 17.5 21.5 80 51:3252:32 19.5 23.5 18.5 172 52:3253:32 26.5 17.5 18.5 180 5.3.2.2 多元线性回归分析 将每个时段的当量排队长度，事故断面实际通行能力，事故持续时间，上游车流量 等信息做计算与统计并将其计入表 3.2 所示 表 3.2：各时段的当量排队度，事故断面实际通行能力，持续时

30、间，上游段流量参数 13 时段 当量排队长度 )(ty（min） 事故横断面实际 通行能力 n C 事故持续时间 L T（min） 路段上游车流量 )(tNU（辆/min） 42:3243:32 56 310.8 1 16 43:3244:32 32 333.65 2 12.5 44:3245:32 24 340.32 3 15 45:3246:32 20 333.65 4 15 46:3247:32 8 340.32 5 10 47:3248:32 32 333.65 6 20.5 48:3249:32 24 340.32 7 15 49:3250:32 该段视频有缺失，信息不采用 50:3

31、251:32 80 333.65 9 17.5 51:3252:32 172 333.65 10 23.5 52:3253:32 180 333.65 11 17.5 （1）理论模型建立 假设因变量排队长度)(ty为 y，事故横断面实际通行能力 n C，能力事故持续时间 L T， 路段上游车流量)(tNU为自变量 321 ,xxx，共有 10 组实验观测数据。是均值为零，方 差为0 2 的不可观测的随机变量，称为误差项，我们通常假定), 0( 2 N。 对于 10 次独立观测，我们得到 32 组独立观测样本，则有： 103 ,1032,10212,10110 23 , 232, 221 , 2

32、12 13 , 132, 121 , 111 xxxy xxxy xxxy 其中 i 是相互独立的随机变量，并且服从), 0( 2 N。 令 10 2 1 y y y Y 3 ,102,101 ,10 2,102, 21 , 2 1 ,101 , 21 , 1 xxx xxx xxx X 14 3 2 1 3 2 1 则上式表示为： ), 0( 2 n IN XY （2）参数的最小二乘估计与误差方差 2 的估计 设 TT XYXYQ)(则Q为误差平方和，Q表示在 10 次试验中误差的 平方和，则Q越小越好，由于Q是未知函数非负的二次函数，因此取Q达到最小值时的 的估计值 作为参数的点估计值。

33、将Q对求导，并令导数为 0，可得： 0 )( d XYXYd d dQ T 可以解出YXXX TT1 )( 对于剩余向量e，XYYYe 则剩余平方和为：YXYYeeQ TTTT e 由于XYE)(,由此可得： )()( 2 mneeE T ee mn T 1 2 （2）多元线性回归方程的检验模型建立 复相关系数 复相关系数是测量一个变量与其他多个变量之间线性相关程度的指标。它不能直接 测算，只能采取一定的方法进行间接测算。 为了测定一个变量 y 与其他多个变量 321 ,xxx之间的相关系数，可以考虑构造一个 关于 321 ,xxx的线性组合，通过计算该线性组合与 y 之间的简单相关系数作为变

34、量 y 与 321 ,xxx之间的复相关系数。具体计算过程如下： 第一步，用 y 对 321 ,xxx作回归，得： 33110 xxy 15 第二步，计算简单相关系数即为 y 与 321 ,xxx之间的复相关系数。复相关系数的计 算公式为： 22 )()( )( yyyy yyyy R 之所以用 R 表示复相关系数，是因为 R 的平方恰好就是线性回归方程的决定系数。 这种关系的简单推导如下：在上面的式子中，分子可化为： 22 2 )()( yyyyyy 2 2 2 )( )( yy yy R 复相关系数与简单相关系数的区别是简单相关系数的取值范围是-1,1， 而复相关系 数的取值范围是0,1。

35、这是因为，在两个变量的情况下，回归系数有正负之分，所以在 研究相关时，也有正相关和负相关之分；但在多个变量时，偏回归系数有两个或两个以 上，其符号有正有负，不能按正负来区别，所以复相关系数也就只取正值。 显著性检验 是事先对总体（随机变量）的参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用样本信 息来判断这个假设（备则假设）是否合理，即判断总体的真实情况与原假设是否有显著 性差异。或者说，显著性检验要判断样本与我们对总体所做的假设之间的差异是纯属机 会变异，还是由我们所做的假设与总体真实情况之间不一致所引起的。 显著性检验是 针对我们对总体所做的假设做检验，其原理就是“小概率事件实际不可能性原理”来接

36、 受或否定假设。 为了检验自变量与因变量之间有无显著的线性关系，我们提出原假设与备择假设： 0 0 1 3100 值不为：至少有一个 ，： H H 若 0 H成立，则 x 与 y 之间没有显著的线性关系。 基于方差分析，构造如下统计量： YXYYSJYY n YXS mn S V M S V V V F TT e TT R e e R R e R , 1 , 1 其中 16 J表示一个元素全为 1 的 n 阶矩阵。 R S是回归平方和，反应线性拟合值与均值的偏差，即由变量变化引起因变量的波 动。 R S越大，说明因变量与自变量之间的线性关系就越显著，其自由度是 m-1。 e S是残 差平方和，

37、反映其他变量引起的数据波动， e S越大，说明观测值和线性拟合之间的偏差 就越大,其自由度是 n-m。 当 0 H为真时，可以证明), 1(mnmFF，当 0 H为假，F 值有偏大的趋势，因此 给定显著性水平，查 F 分布表的临界值), 1(mnmF ，接受 0 H,即显著性水平下， 认为线性关系不显著；若大于或等于，则拒绝原假设。 模型求解与检验 将表 3.2 中的排队长度)(ty为因变量，事故横断面实际通行能力 n C，能力事故持续时 间 L T，路段上游车流量)(tNU为自变量，用 spss 进行线性回归求解，并绘制效果图如图 3-1 所示 )(ty=-3.140 n C+15.281

38、L T+1.956)(tNU+989.195 （3-4） 图 4.1：多元线性回归效果图 回归方程方程所对应的复相关系数、均方误差、显著性检验 F 值和回归方程的显著 程度如下表： 表 3.1： 复相关系数 均方误差 显著性检验 F 值 回归方程是否显著 0.873 0.664 6.416 显著 17 5.3.25.3.2 结果分析结果分析 对于上述得到的多元线性回归方程，我们可以看到复相关系数 2 R为 0.873 表明变 量之间的线性相关程度越密；均方误差 RMSE 反应回归的残差大小，数值越小表示回归 的越好。根据显著性分析，可以看出上述多元线性回归方程的拟合效果较好。 5.45.4 问

39、题四问题四 5.4.15.4.1 问题四的分析问题四的分析 问题四的题目中要求估算从事故发生开始，车辆排队长度将到达上游路口所必须的 时间。对题目中给出的信息，首先做出假定，令车辆长度与车辆距离均为定值，由此简 化问题。建立微分方程求解得到所需时间。 5.4.25.4.2 模型准备模型准备 因为问题四的题目中要求交通事故所处横断面距离上游路口变为 140 米，即要求自 交通事故的横断面起车辆的排队长度为 140 米，故我们建立微分方程。假设道路上车身 长度为定值5 1 L米，车辆之间的距离也为定值2 2 L米。车道数3n。各车近似的看 做依次进入车道。 由于进车量 in W是路段上游的车流量是

40、一个定值 1500pcu/h, 路段下游方向需求不 变，出车量 out W是事故发生横断面的车流量。我们假设此次交通事故发生点的迁移对事 故所处横断面车流量的影响可以忽略，且事故所处横断面的车流量可以近似为某一定 值。根据问题一可得各个时间段的车流量，将所有时间段的车流量相加求得平均，便可 以近似的求得事故发生横断面的出车量 out W为：328.85 5.4.35.4.3 模型的建立与求解模型的建立与求解 我们建立如下模型： n LLtN ty 21 )( )( （4-1） 式中： 18 )(ty为排队长度，)(tN为 t 时刻断面之间的车辆数，即塞车数量， 1 L为车身长度， 2 L为车距

41、，n为车道数量。 阻塞车辆数=进车量-出车量 （4-2） outin WWtN)( （4-2） 式中)(tN为 t 时刻断面之间的车辆数， in W为进车量， out W为出车量。 设 t 时刻的车辆排队长度为 y(t)，于是，在时间间隔为t，t+dt的时间内， 有： 进车量：dtdt15001500 出车量 out W：328.85 从而，车辆的排队长度为： 12 (1500) (328.85) ,2732.68 dtdtLLdy dy wdt （4-3） 又因为题目中表明事故发生时车辆初始排队长度为零，故0)0(y，带入这个 条件得到车辆长度随排队时间的变化规律：( )2732.68y t

42、t，最后带入140)(ty， 可以解得：3.1(min)t 。 5.4.45.4.4 结果分析结果分析 根据上述求解结果，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上 游路口。结合实际情况进行可行性分析，结论与实际相符合，在可以接受的合理范 围内。 六、模型评价 6.1 模型的评价 1.模型的优点： 在第一问建立模型的过程中，首先确立基本通行能力，然后对其进行修正， 使模型更加符合实际情况； 19 在分析问题及建立模型过程中，我们比较了多种建模的方法，对我们的模型 进行逐步优化，使我们的模型更加全面，也更符合客观实际； 在模型求解和分析的过程中，我们运用了多种编程软件和绘图工具，使我们

43、的模型更加直观、具体。 2.模型的缺点： 在观察视频做出统计时，由于视频的画质与连续性性问题，对于跳过的片段 我们直接忽略，结果可能有一定误差。 6.2 模型的进一步讨论 我们模型是对交通事故所处的横断面的通行能力进行讨论的，但是如果时间充 裕，我们会对交通事故发生路段上游的两个岔路口和前方的十字路口处的交通状况 以及信号灯引起交通流量改变的情况作进一步的讨论。 并且，根据我们在网络上查到的其余算法，例如退火算法、遗传序列算法等可以对 我们的模型作进一步的优化。 六、参考文献 1陈宽民，严宝杰，道路通行能力分析M.北京:人民交通出版社,2003 2王炜，过秀成.交通工程学M.南京：东南大学出版

44、社，2011. 3姚荣涵,王殿海,曲昭伟. 基于二流理论的拥挤交通流当量排队长度模型J. 东南大学学报(自然科学版),2007,03:521-526. 4陈静. 混合交通条件下交叉口通行能力的分析与仿真D.西南交通大学,2010. 5卢智军. 高速公路混合车流车速及通行能力的仿真研究D.湖南大学,2008. 附录 附录一：交通量主要指标解释 附录二：事故所处横断面单位时间通行量 时 段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时 间 42:32 -43:3 2 43:32 -44:3 2 44:32 -45:3 2 45:32 -46:3 2 46:32 -47:3 2 47:32 -48:

45、3 2 48:32 -49:3 2 50:32 -51:3 2 51:32 -52:3 2 52:32 -53:3 2 车 辆 总 数 19 19.5 17 17.5 15 20.5 19 21.5 18.5 18.5 附录三：事故所处横断面单位时间大车占交通总量的百分比 时段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时 间 42:32 -43:3 2 43:32 -44:3 2 44:32 -45:3 2 45:32 -46:3 2 46:32 -47:3 2 47:32 -48:3 2 48:32 -49:3 2 50:32 -51:3 2 51:32 -52:3 2 52:32 -53

46、:3 2 18.7% 4.00% 0.00% 4.48% 0.00% 3.80% 0.00% 3.61% 4.23% 4.23% 附录四：视频 1 事故所处横断面实际通行能力 事故所处横断面实际通行能力 时段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间 42:3 2-43 :32 43:3 2-44 :32 44:3 2-45 :32 45:3 2-46 :32 46:3 2-47 :32 47:3 2-48 :32 48:3 2-49 :32 50:3 2-51 :32 51:3 2-52 :32 52:3 2-53 :32 HV EHVP HV P 实际 通行 能力 310. 8 333. 6 340. 3 333. 6 340. 3 333. 6 340. 3 333. 6 333. 6 333. 6 附录五：视频 2 事故所处横断面实际通行能力 视频 2 事故所处横断面实际通行能力 时段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 通行能 力 312. 22 309. 38 328. 81 307. 98 328. 81