复变函数项级数课件.ppt

1、4.2 复变函数项级数复变函数项级数一、复变函数项级数一、复变函数项级数定义定义4.4域域D内有定义，内有定义，表达式表达式称为称为复变函数项级数复变函数项级数，称为函数项级数称为函数项级数(1)(1)的的部分和函数部分和函数。设复变函数序列设复变函数序列()(1,2,)nfzn 在区在区12()()()nf zfzfz1()nnfz它的前项和它的前项和 记作记作1(),nnfz12()()()()nnSzf zfzfz(1)若极限若极限0lim()nnSz存在，存在，则称则称0z为函数项级数为函数项级数(1)的的收敛点；收敛点；若极限若极限1lim()nnSz不存在，不存在，则称则称1z为函

2、数项为函数项级数级数(1)的发散点。的发散点。的的一切收敛点所组成的集合一切收敛点所组成的集合1()nnfz函数项级数函数项级数称为它的收敛域。称为它的收敛域。若区域若区域D是函数项级数是函数项级数1()nnfz的收敛域，的收敛域，则函数则函数1()lim()(),()nnnnS zSzfzzD(2)称为它的和函数。称为它的和函数。二二 幂级数幂级数0nnnC z形如形如或或00()nnnCzz的函数项级数称为的函数项级数称为幂幂级数级数。幂级数的收敛域幂级数的收敛域 v z=0是级数的收敛点是级数的收敛点。定理定理1(Abel)如果幂级数如果幂级数0nnnC z在在00zz处收处收敛，敛，那

3、么对满足那么对满足|0zz 的一切的一切z，0nnnC z级数级数必必绝对收敛绝对收敛。若幂级数若幂级数0nnnC z在在1zz处发散，处发散，则对满足则对满足1|zz的一切的一切z，必发散必发散。0nnnC z级数级数Abel定理证明定理证明00nnnC z收敛，收敛，由于级数由于级数根据级数收根据级数收敛的必要条件有敛的必要条件有0lim0,nnnC z因而存在正数因而存在正数M,使使对一切自然数对一切自然数n，有有0|;nnC zM从而从而|nnC z00|nnnzC zz0|nzMz(0,1,2,)n 0|,zz如果如果那么级数那么级数00nnzMz收敛，收敛，根据正项级根据正项级收敛

4、，收敛，数的比较判别法知级数数的比较判别法知级数0nnnC z即当即当0|zz时，时，绝对收敛。绝对收敛。幂级数幂级数0nnnC z另一部分的证明用反证法：另一部分的证明用反证法：若当若当1|zz时，时，幂级数幂级数0nnnC z收敛，收敛，则由上面的讨论知，则由上面的讨论知，级数级数10nnnC z绝绝对收敛，对收敛，与题设矛盾。与题设矛盾。幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径利用阿贝尔定理，利用阿贝尔定理，可以确定幂级数可以确定幂级数的收敛范围。的收敛范围。对幂级数对幂级数0nnnC z来来说，它的收敛情况可以分为下列说，它的收敛情况可以分为下列3种：种：v只在原点只在原点z=0=0处收敛，其

5、它点处处发散，如幂处收敛，其它点处处发散，如幂级数级数0nnnn z；v在全复平面上处处绝对收敛，如级数在全复平面上处处绝对收敛，如级数 0nnnzn；v在复平面上有非零的收敛点，也有发散点；在复平面上有非零的收敛点，也有发散点；xyo1z2zR收收敛敛圆圆定义定义4.5 若存在实数若存在实数0,R 使幂级数使幂级数0nnnC z在圆域在圆域内绝对收敛内绝对收敛，|zR内发散，内发散，而在而在|zR则称则称|zR为幂级数为幂级数的的收敛圆收敛圆，0nnnC zR为为收敛半径收敛半径。对于前面所说的幂级数的对于前面所说的幂级数的3种收敛情况，可知：种收敛情况，可知：v若只在原点收敛，则收敛半径若

6、只在原点收敛，则收敛半径0R ；v若在全平面上处处收敛，则收敛半径若在全平面上处处收敛，则收敛半径R ；v若既有收敛的点，也有发散点，若既有收敛的点，也有发散点，则收敛半径满足则收敛半径满足0R。01nnnzzz 解：解：11nnSzz 1(1),1nzzz所以所以当当时，时，|1z 1lim,1nnSz级数收敛；级数收敛；而当而当|1,z n 时，时，nS不收敛，不收敛，级数发散。级数发散。所以，原级数所以，原级数的收敛半径为的收敛半径为1R ，|1,z 收敛域为收敛域为并且并且01=1nnzz(1)z 例例1 求下列级数的收敛半径求下列级数的收敛半径定理定理4.8设幂级数设幂级数0,nnn

7、C z若下列条件之一若下列条件之一成立成立1）1limnnnclc（比值法达朗贝尔公式（比值法达朗贝尔公式)。2）lim|nnnlc（根值法柯西公式（根值法柯西公式)。则它的收敛半径则它的收敛半径0100lRlll 例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径1）02nnnzq其中其中1|q2）0!nnnznn3）0!nnzn解解：1）lim|lim|nnnnnlcq0,R ；2）11limlim1(1)nnnnnclcn1,eeR；3）1(1)!limlim!nnnncnlcn,0R。三、幂级数的运算和性质1.幂级数的四则运算幂级数的四则运算设设0nnna z及及0nnnb z的收敛半

8、径为的收敛半径为R1 和和R2，且且012min,0,RR R则则0000(1)()nnnnnnnnnna zb zab zzR0000(2)nnnnnnnnna zb zC zzR0nnkn kkCa b其中其中2幂级数的复合运算幂级数的复合运算设幂级数设幂级数0(),nnnc zf zzR而而函数函数g(z)在在zr内解析内解析,且满足且满足(),g zR则则特别地，若特别地，若0(),nnna zf zzR则幂级数则幂级数0000()(),nnnczzf zzzzR此时，此时，也称也称R为幂级数为幂级数00()nnnc zz的收敛半径，的收敛半径，0zzR为它的收敛圆。为它的收敛圆。求幂

9、级数求幂级数13)1(nnnz的收敛域。的收敛域。解解：1,11limlim31Rnncclnnnn收敛圆为收敛圆为1|1|z，在，在1|1|z上上13131)1(nnnnnz是收敛的，是收敛的，所以所以原级数的收敛域为原级数的收敛域为1|1|z例例3例例4求以下幂级数的收敛半径求以下幂级数的收敛半径121121(i)2nnnnnz解：解：幂级数幂级数+1021(i)2nnnnnz的收敛半径的收敛半径112limlim2|21nnnnnRcn即它在即它在|2z 内收敛，内收敛，在在|2z 内发散，内发散，由幂级数由幂级数的复合运算法则知幂级数的复合运算法则知幂级数12121102121(i)(

10、i)22nnnnnnnnnnzzz在在2|2z内收敛，内收敛，在在2|2z内发散，内发散，即它的收敛即它的收敛2R。半径为半径为例例5试把试把231)(zzf表示成形如表示成形如0)2(nnnzC的幂级数。的幂级数。解：解：将将 f(z)变形，变形，使之成为使之成为z-2的函数。的函数。1()32f zz13(2)4z11341(2)4z013(1)()(2)44nnnnz3(2)0，在收敛圆内部的和函数在收敛圆内部的和函数 f(z),即即00()()nnnCzzf z0|-|z zR则在收敛圆内部有以下性质：则在收敛圆内部有以下性质：（1）和函数在收敛圆域内解析；）和函数在收敛圆域内解析；（2）逐项积分：）逐项积分：沿收敛圆域内的任一条简单光滑沿收敛圆域内的任一条简单光滑(或分段光滑或分段光滑)曲线可对积分，曲线可对积分，并且对级数可逐并且对级数可逐项积分，项积分，且收敛半径不变，且收敛半径不变，即有即有000()()nnllnf z dzCzzdzzzR（3）逐项求导：）逐项求导：在收敛圆域内可逐项求导，在收敛圆域内可逐项求导，且收敛且收敛半径不变，半径不变，即有即有00()()nnndf zdCzzdzdz0zzR（4）幂级数幂级数00)(nnnzzC的系数与和函数的关系：的系数与和函数的关系：()0()(0,1,2)!nnfzCnn