全国初中数学优秀课一等奖：用配方法推导一元二次方程的求根公式-教学设计（李梦琼）.doc

1、 21.2.2 公式法 李妙琼 乌鲁木齐市第十一中学 一、内容和内容解析 1、内容 用配方法推导一元二次方程的求根公式。 2、内容解析 一元二次方程是初中数学的一个重要内容，它是一元一次方程、二元一次方 程(组)等内容的深入和发展。而一元二次方程求根公式和根的判别式又分别是本 章的一种方法和思想。它涉及到以后学生对二次函数和一元二次不等式的学习， 同时，一元二次方程模型在生活中又普遍存在。 本节内容是在学完直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，对一般形 式的一元二次方程)0(0 2 acbxax通过配方法发现求根公式，培养学生化 归思想、分类讨论思想及由特殊到一般的数学思想。另外学生在八上

2、实数一 章中，学习了被开方数的非负性，并掌握了开平方运算，为这节课理解求根公式 的应用条件奠定了基础。但部分学生在学习了公式法后，仍然不理解为什么要学 习，导致在后续的使用过程中，出现直接套用公式的现象。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：一元二次方程的判别式和求根公式 的理解和应用。 二、目标和目标解析 1.目标 （1）学生能理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，掌握 运用公式法解一元二次方程的方法 （2）在教师的指导下，经历观察、推导、交流、归纳等活动推导出一元二次 方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结的能力。 （3）通过理解为什么要学习公式法培养学生的理性精神。

3、探究公式过程中培 养学生的独立思考的习惯和与大家的合作交流意识。学生在探究习题过程中,体 验黄金分割中蕴含的数学美及通过雷锋雕像的研究渗透英雄主义的教育思想。 2. 目标解析 达成目标（1）的标志是：能自己或依靠小组交流理解求根公式的推导过程， 并能正确运用公式对一元二次方程的根进行计算。 达成目标（2）的标志是：学生思维可以经历连贯的探索过程，并自主发现 推导一元二次方程求根公式的方法， 通过对公式的讨论能进一步培养思维的严谨 性。 达成目标（3）的标志是：学生认识到学习公式法的必要性，即“为什么要 学习公式法” 。能积极主动的参与到课堂数学活动中并勇于提出自己的想法。在 学习本节课后，能对

4、数学中存在的美有新的认识，感受到数学的美。 三、教学问题诊断分析 学生已掌握一元二次方程的一般形式，已学习了直接开平方法和配方法，对 数的开方已积累了一定的经验；但有少数学生对配方法解一元二次方程不熟练， 其主要体现在： （1）不能准确配方； （2）运算不熟练，特别是化简二次根式。这 两点导致学生在对)0(0 2 acbxax进行配方时，可能无从下手，并对 2 2 4 4 a acb 的开方计算有困难。在对方程)0(0 2 acbxax进行配方时，进行 到 2 2 2 4 4 2a acb a b x 时，部分学生因为对平方根定义没有完全的理解和掌握, 却对配方流程化操作中的“配方-开方”过程

5、已经形成了定式思维，导致在没有 对 2 2 4 4 a acb 正负性进行讨论的情况下， 忽略符号问题直接开方， 这是一个易错点， 对有些学生来说也是一个难点。 综上所述，本节课的难点确定为： 难点：正确地推导出一元二次方程的求根公式，理解acb4 2 对一元二次方 程根的影响。 四、教学支持条件分析 以 Powerpoint 软件为制作平台，运用超链接、图片等多媒体手段直观演示 学习公式法的必要性及用配方法推导求根公式和运用求根公式解一元二次方程 的步骤等,边播放边讲述,以达到形象化、具体化的目的。 五、教学过程分析 （5）教学过程。 教学过程设计教学过程设计 问题与情境 师生行为 设计意图

6、 一、创设情境，回顾旧知 1.12x 2 1nx 2 p 2 nx 2.请同学们试着用配方法解决下面三 个问题并说明解题过程。 （1） 044 2 xx （2） 04 2 xx （3） 0145 2 xx 观察三个方程及它们的根，你们发现 了什么？ 教师通过提问，引导学生复 习配方法解一元二次方程的思 想及方法。 教师及时的进行总结 和归纳。 第三题让一名学生上台板 演。 板演学生对用配方法解具体 系数的一元二次方程说明过程， 有问题的地方教师及时补充或 更正。 通过具体的数学问题中让 学生自然的对配方的思想 和方法进行回顾。 过程中渗 透了由特殊到一般的数学 思想和分类讨论的数学思 想， 并

7、强调所有的方程只要 化为p 2 nx的形式 用现有的知识都可以对方 程的根求解， 再次巩固了化 归的思想。 以上内容都为后 续学习做了铺垫。 通过用配方法解决具体数 字系数的一元二次方程让 学生回顾了配方法解题的 具体步骤。 为后续运用配方 法解决字母系数的一元二 次方程做铺垫。突破难点。 通过提问让学生通过观察 将落脚点放在根和系数上， 直观感受到系数对根有直 接影响。 为后续学习公式法 3.有没有一种方法能让我们更快速的 求得一元二次方程的根呢？今天老 师带来一个工具，只要确定了一般形 式)0(0 2 acbxax中的a、 b、c的值，这个工具通过某种流程 操作，就可以直接计算出方程的根，

8、 大家感兴趣吗？我们就以刚才三道 题为例看看它的表现。 4.在数学中，到底有没有一种方法， 可以让我们避免像刚才那样每解一 个方程就要把这种重复性、大量的配 方过程再做一遍的情况，而能达到像 刚才工具一样的效果： 只要确定 a、 b、 c 的值，就能直接计算出方程的根 呢？这就是我们今天要探究的内容。 二、合作交流，探究新知 1、对一般形式的一元二次方程 )0(0 2 acbxax，你觉得可 以用配方法求根吗？有什么思路？ 教师操作“工具” ，演示答案， 并与学生一起进行验证。 教师提出问题，学生思考。 教师引导学生主动思考解决 问题的办法， 让学生主动发现推 导求根公式的方法。 研究一般形式

9、的一元二次 方程做铺垫。 更加重要的是 让学生自己感受到， 只要有 微小的系数变化， 想要求得 一元二次方程的根， 就只能 把一模一样的流程化操作 再进行一遍，比较繁琐。 这个环节的设计目的首先 是引起学生探究的兴趣， 其 次是为后续公式法的学习 做铺垫，即 “需要化为一般 形式； 需要确定一般形式中 的a、b、c；需要通过某 种流程操作” 三个环节让学 生有初步的感受。 这里是为了让学生从直观 感受到理性的体会， 全面认 识到“为什么” 要学习公式 法。 由于前面问题的铺垫， 学生 基本能想到需要把方程化 为 2 xnp的形式再 进行开方去求解， 实际上这 2.试着用配方法求 )0(0 2

10、acbxax的根，在求 解过程中有困难的同学可以与同桌 交流或参考刚才做的具体数字系数 方程的解题过程。 2. 以 四 人 为 一 个 小 组 ， 分 别 对 04 2 acb、04 2 acb、 04 2 acb 三种情况下求出一元二次方程的根。 一名同学在黑板上展示，教 师巡视其他同学的完成情况并 给予适当的点拨和引导。 黑板上 的同学完成后， 口述过程， 教师 和学生一起分析， 对有问题的地 方教师指正。 学生合作探究，教师及时了 解讨论的情况， 对有困难的小组 和个人进行适时的点拨与帮助。 就是运用配方法求解， 这个 配方过程是在让学生体会 了观察-归纳类比的数 学思考的基础上进行的。

11、 学生亲自体会公式推导的 全过程， 提高学生推理技能 和逻辑思维能力从而提高 自身的观察能力、 分析问题 和解决问题的能力， 在展 示的同学直接进行开方运 算时，个别学生发现要对 2 4bac进行讨论， 这样的 环节培养了思维的严谨性， 让 每 一 名 同 学 都 对 2 4bac分类的必要性有 了更加清晰的认识。 这种合作的形式将更多的 时间留给学生， 增加了这样 学生感觉到成功的机会， 从 而有一种积极的学习态度， 同时考虑到在小组合作交 流时要关注到不同层次学 生的发展，问题难度不一， 使不同的学生在交流中都 3、哪 位 同 学 可 以 归 纳 一 下 ， 当 acb4 2 取不同范围时

12、， 根的情况？ 4、观察方程 2 4 2 bbac x a 右边的式子，由几个字母组成？有什 么限制条件？ 5. 也 就 是 说 ， 只 要 我 们 保 证 04 2 acb，在这个情况下，方程 的实根就可以用公式 a acbb x 2 4 2 来表示， 这个公 式可以解决一类问题，它就是一元二 次方程的求根公式。用求根公式解方 程的方法叫做公式法，这就是我们今 天要学习的内容。 6.观察公式的结构，哪位同学能试着 分析一下？ 学生归纳，教师点评。 学生观察后口答，教师注意 引导。 教师进行说明，板书补充课题。 给学生观察和思考的时间， 学生 回答时教师进行正确的引导和 能体现自己的作用， 小

13、组成 员共同提高。 培养学生观察-归纳的能 力。 第一个问题说明了根的结 果由a、b、c唯一确定， 与引课中的问题呼应。 第二个问题培养学生的观 察和归纳能力， 并再次潜移 默化的强调使用公式法的 前提是04 2 acb。 从教师的语言表述中让学 生明白下面几点：1.公式法 使用前提为04 2 acb； 2.公式法是一种通法，是可 以解决一类问题的。 一元二次方程求根公式的 记忆对学生来说是难点。 通 三、学以致用，巩固新知 1.（1）利用根的判别式判断方程 072 2 xx根的情况。 （2）关于 x 的一元二次方程 02 2 mxx有两个实根，则 m 的取值范围是 . 1.用公式法解下列方程

14、 07-4- 2 xx 0122-21 2 xx 13-52 2 xxx xx8173 2 补充。 学生口答思路，教师引导点 评。完成后教师对两题进行归 纳。 第一题由教师提问， 学生口 答，教师板书规范解题格式，并 带领学生口头归纳解题过程。 后 三小题要求学生仿照例 1 的格 式独立完成。 其中第 2 题请一名 同学上台板书过程， 完成后要求 再次归纳出用公式法解题的过 过对结构的分析， 不但再次 强调acb4 2 的重要性， 而 且为学生记忆公式提供了 一种方法。 此题设计目的有：1.让学生 直观感受到判别式的意义， 明白对一元二次方程而言， 先用acb4 2 判断根的情 况是一个最佳方

15、法；2.强调 “有实根”代表两种情况， 即有两个不相等或者相等 的实根；3.通过将常数项由 数字变字母的过程， 再次让 学生体会“从特殊到一般” 的数学思想。5.通过教师归 纳，渗透了“充要条件”的 概念， 为后续几何学习做铺 垫。 第一题由学生自己说思路 教师进行补充更正并板书， 起到示范作用。 其他三小题 交给学生自己完成， 巩固公 式法的使用方法。 在巩固的 过程中要求学生及时对解 题方法和规律进行概括， 有 问：第 2 题在本节课前一部分我们有 没有接触过？对比两种解法，你认为 哪种更简单？在解决具体问题时要 先分析选择什么样的解法比较合适。 2（1） 、本章引言中的问题，在设计 人体

16、雕像时，使雕像上部与下部的高 度比，等于下部与全部的高度比，可 以增加视觉美感。按此比例，如果雕 像的高为 2m，那么它的下部应设计 为多高？（精确到 0.001） 2（2） 、题目中说到“雕像上部与下 部的高度比，等于下部与全部的高度 比” ，这个比值大约是多少？ 程，教师进行流程图展示。 在完 成过程中， 教师注意观察学生完 成情况并进行巡视指导点拨。 第 1、3 两题实物投影展示结果， 教师点评。 通过板书对比， 学生发现对于第 2 题公式法较简单，教师及时给 予归纳总结， 对于不同的问题要 注意选择不同的方法。 要求学生运用公式法解决 问题， 在学生计算出方程两根之 后引导学生思考是不

17、是两个根 都可以要， 落脚点放在“实际问 题需要考虑根的取舍情况”上。 学生计算出0.618这个比值， 教师对这个数字在数学中的地 位进行说明的同时， 渗透英雄主 义教育思想。 利于发展学生的思维能力。 同时， 学生上台展示分享的 过程中， 建立了对数学的信 心，加深了对数学的兴趣， 自信心得到充分满足。 此环节设计让学生从实例 中意识到学习公式法的必 要性。 数学来源于生活并最终 服务于生活。 本题设计在这 里就是为了让学生在对理 论学习完成后能意识到数 学在生活中的应用价值。 这 里对精确度的设计为下一 步讲解黄金分割做铺垫。 设计此环节，目的有 3 个： 首先， 是让学生了解数学中 的最

18、美比例-黄金分割，培 养学生对数学的兴趣。其 次， 通过雕像运用黄金分割 去设计， 告诉学生运用黄金 分割塑造了雷锋的英雄美 感，渗透英雄主义教育思 3、大家还记得在本节课最开始时老 师为大家展示的工具吗？通过本节 课的学习，大家能猜出它的操作流程 到底是什么吗？ 四：小结收获、布置作业 1、学生谈收获。 2、布置作业。 巩固型作业： 习题 21.2 第五题、第十题 提升型作业： 1.关于 x 的一元二次方程 教师展示完整流程， 全班一起再 次回顾公式法解题过程。 让学生谈谈这节课学习的 体会，回答过程中教师给予帮 助，让学生的语言表达更准确。 学生课后完成。 想。最后， 这里对黄金分割 的了

19、解为后续“黄金分割 数”的阅读思考做了铺垫。 这个环节的设计不但呼应 了引课的内容， 并再一次回 顾了用公式法解方程的一 般过程。 学生小结的过程实际上对 所学知识从内容、方法、 思 想等方面进行梳理和再次 巩固。 作业的布置是为了巩固和 升华本节课所学的知识。 其 中提升型作业第一题有意 将二次项系数设置为字母 m，培养学生讨论的思想。 2-2 70mxx有两个实根， 则 m 的 取值范围是 . 2. 方程 2 0(0)axbxca 是否还有其他的配方方法呢？ 五：阅读材料 阿贝尔定理 学生朗读， 教师适时的提出 问题，引发学生的思考。 提升型作业的第二题开发 学生思维， 发展一题多解的 思想，培养学生的探究意 识。 设计此环节目的有三个： 1. 让学生理解高次方程 解法实际上就是通过 降低化为低次方程，渗 透化归思想。 2. 激发有兴趣的学生对 高次方程进行进一步 的了解。 3. 回顾本节课学习内容 -对公式法进行探究。