高中数学必修2苏教版配套课件：122空间两条直线的位置关系.ppt

1、第第1章立体几何初步章立体几何初步12点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系1.2.2空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 栏目链接栏目链接在天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直在天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交，也不平行，它们具有怎样的位置关系呢？线，它们既不相交，也不平行，它们具有怎样的位置关系呢？旗杆与天安门广场、天安门广场与地面又有怎样的位置关系旗杆与天安门广场、天安门广场与地面又有怎样的位置关系呢？呢？栏目链接栏目链接 栏目链接栏目链接1.理解异面直线的概念，画法理解异面直线的概念，画法2.理解并掌握公理理解并掌握公理4、等角原理

2、、等角原理3.理解异面直线所成角的概念，会求异面直线所成角理解异面直线所成角的概念，会求异面直线所成角.栏目链接栏目链接 栏目链接栏目链接1空间的两条直线有如下三种关系：空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：相交直线：同一平面内，同一平面内，_；平行直线；同一平平行直线；同一平面内，面内，_公共点；公共点；异面直线：异面直线：_在任在任何一个平面内，没有公共点何一个平面内，没有公共点_和和_统统称为共面直线称为共面直线2公理公理4.文字语言：文字语言：_的两条的两条直线互相平行；符号语言：设直线互相平行；符号语言：设a、b、c是三条直线，是三条直线，ab，cb_有且只有一个公共点有且只有一个

3、公共点没有没有不同不同相交直线相交直线平行直线平行直线平行于同一条直线平行于同一条直线ac 栏目链接栏目链接3空间中的等角定理：空间中，如果两个角的空间中的等角定理：空间中，如果两个角的两边两边_并且并且_，那么这两个角，那么这两个角_4异面直线所成的角：已知异面直线异面直线所成的角：已知异面直线a、b，经，经过空间中任一点过空间中任一点O作直线作直线aa，bb，我们把，我们把a与与b所成的所成的_叫异面直线叫异面直线a与与b所成的角所成的角(夹夹角角)分别对应平行分别对应平行方向相同方向相同相等相等锐角锐角(或直角或直角)栏目链接栏目链接 栏目链接栏目链接一、空间两条直线的位置关系一、空间两

4、条直线的位置关系(1)共面：空间的几个点或几条直线，如果都在同一共面：空间的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面共面的两条直线位置关系平面内，我们就说它们共面共面的两条直线位置关系又分平行和相交两种又分平行和相交两种(2)异面直线：把既不相交也不平行的直线叫做异面异面直线：把既不相交也不平行的直线叫做异面直线异面直线判定方法：与一平面相交于一点的直线直线异面直线判定方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线 栏目链接栏目链接空间的两条直线的位置关系的判定是以平面的基本空间的两条直线的位置关系的判定是以平面的基本性

5、质和推论为重要依据的，位置关系的表示则是通过相性质和推论为重要依据的，位置关系的表示则是通过相关符号语言实现的，以下几种常用的符号语言同学们要关符号语言实现的，以下几种常用的符号语言同学们要记牢记牢点点A在直线在直线b上，记作上，记作Ab，点，点B不在直线不在直线b上，上，记作：记作：Bb；点点B在平面在平面内，记作内，记作B，点，点B不在平不在平面面内，记作：内，记作：B；直线直线a在平面在平面内，记作内，记作a，直线直线a不在平面不在平面内，记作内，记作a.栏目链接栏目链接二、公理二、公理4公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平：平行于同一条直线的两条直线互相平行用符号语言表示为：设

6、行用符号语言表示为：设a、b、c是三条直线，是三条直线，ab，cbac.公理公理4将平面内两条直线平行的传递性推广到了空将平面内两条直线平行的传递性推广到了空间中，是证明线线平行的重要依据之一，但要注意：并间中，是证明线线平行的重要依据之一，但要注意：并不是所有平面内的结论都能推广到空间中来不是所有平面内的结论都能推广到空间中来 栏目链接栏目链接三、等角定理三、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角相等且方向相同，那么这两个角相等等角定理的实质是空间中角的平移，在应用时我们需等角定理的实质是空间中角的平移，在

7、应用时我们需要注意以下两个结论的区别：要注意以下两个结论的区别：如果一个角的两边分别平行如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且两边的方向分别相同，那么这两个角相于另一个角的两边且两边的方向分别相同，那么这两个角相等；等；如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且有一如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且有一组边的方向相同，另一组边的方向相反，那么这两个角互组边的方向相同，另一组边的方向相反，那么这两个角互补其中补其中“角的两边分别平行角的两边分别平行”这个条件要特别注意，谨记这个条件要特别注意，谨记等角定理的逆命题不成立等角定理的逆命题不成立 栏目链接栏目链接四、异面直线所成的角四、异

8、面直线所成的角已知异面直线已知异面直线a、b，经过空间中任一点，经过空间中任一点O作直线作直线aa、bb，我们把，我们把a与与b所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线叫做异面直线a与与b所成的角所成的角(夹角夹角)求异面直线所成角的一般步骤是：求异面直线所成角的一般步骤是：根据定义作出或根据定义作出或找出两异面直线所成的角；找出两异面直线所成的角；使该角为某个三角形的内角；使该角为某个三角形的内角；解这个三角形求角其中通过平移法作出其所成角是关键，解这个三角形求角其中通过平移法作出其所成角是关键，解答相关题目时要谨记异面直线所成角的取值范围千万不解答相关题目时要谨记异面直线所成角的取

9、值范围千万不要把相交直线所成的钝角作为异面直线所成的角若求出的要把相交直线所成的钝角作为异面直线所成的角若求出的是钝角，应取它的补角作为异面直线所成的角是钝角，应取它的补角作为异面直线所成的角.栏目链接栏目链接 栏目链接栏目链接题型题型1异面直线的判断与证明异面直线的判断与证明例例1 如右图，在空如右图，在空间四边形间四边形ABCP中，连接中，连接AC、PB，D、E是是PC上上不重合的两点，不重合的两点，F、H分分别是别是PA、PB上的点，且上的点，且与点与点P不重合不重合求证：求证：EF和和DH是是异面直线异面直线 栏目链接栏目链接分析：分析：根据两直线异面的定义，要直接证明两直线根据两直线

10、异面的定义，要直接证明两直线异面是比较困难的，因而往往从问题的反面入手，即采用异面是比较困难的，因而往往从问题的反面入手，即采用反证法，当然，还可以直接使用异面直线的判定定理：反证法，当然，还可以直接使用异面直线的判定定理：“过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线过该点的直线是异面直线”，而进行直接的证明，而进行直接的证明 栏目链接栏目链接解析：解析：方法一方法一假设假设EF、DH不是异面直线，则由两直不是异面直线，则由两直线的位置关系知，它们必在同一个平面线的位置关系知，它们必在同一个平面内内E，D，ED，即，即

11、PC.P，C.又又H，PH.BPH，B.同理，由同理，由F可得：可得：A.由此可知，由此可知，P、A、B、C四点都在平面四点都在平面内，这与四点内，这与四点是空间四边形的四个顶点相矛盾是空间四边形的四个顶点相矛盾故假设不成立，于是故假设不成立，于是EF与与DH是异面直线是异面直线 栏目链接栏目链接方法二方法二PAPCP，PA、PC确定一个平面，不妨记平面为确定一个平面，不妨记平面为.EPC，FPA，E，F.EF.DPC，D，且，且DEF.PBP，HPB，H.EF与与DH是异面直线是异面直线 栏目链接栏目链接规律总结：规律总结：(1)异面直线的判定方法一般有两种：异面直线的判定方法一般有两种：利

12、利用异面直线的判定定理；用异面直线的判定定理；反证法反证法(2)证明两直线异面，一般要从定义出发，由于定义是证明两直线异面，一般要从定义出发，由于定义是一个否定形式的命题，因而常用反证法反证法也是常用一个否定形式的命题，因而常用反证法反证法也是常用的一种重要的思维方式和数学方法，它在立体几何中有着的一种重要的思维方式和数学方法，它在立体几何中有着广泛的应用反证法的一般步骤为：广泛的应用反证法的一般步骤为：反设：即作出与命题结论相反的假设；反设：即作出与命题结论相反的假设；栏目链接栏目链接归缪：以所作的假设为依据，通过严格的逻归缪：以所作的假设为依据，通过严格的逻辑推理，导出矛盾；辑推理，导出矛

13、盾；结论：判断产生矛盾的原因在于所作的假设结论：判断产生矛盾的原因在于所作的假设是错误的，因而原命题正确是错误的，因而原命题正确导出逻辑矛盾时常出现以下几种情形：导出逻辑矛盾时常出现以下几种情形：栏目链接栏目链接与定义、公理、定理、推论及性质等的矛盾；与定义、公理、定理、推论及性质等的矛盾；与已知条件的矛盾；与已知条件的矛盾；与假设的矛盾；与假设的矛盾；自相矛盾自相矛盾 栏目链接栏目链接变变 式式训训 练练1如右图所示，已知不共面的三条直线如右图所示，已知不共面的三条直线a、b、c相交相交于点于点P，Aa，Ba，Cb，Dc.求证：求证：AD与与BC是异面是异面直线直线 栏目链接栏目链接变变 式

14、式训训 练练证明证明(反证法反证法)：假设假设AD与与BC共面，所确定的平面共面，所确定的平面为为，那么点，那么点P、A、B、C、D都在平面都在平面内内直线直线a、b、c都在平面都在平面内，此与已知条件内，此与已知条件a、b、c不共面相矛不共面相矛盾盾AD和和BC是异面直线是异面直线 栏目链接栏目链接题型题型2求异面直线所成的角求异面直线所成的角例例2 如右图所示，在正方体如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求：中，求：(1)异面直线异面直线AB与与A1D1所成的夹角；所成的夹角；(2)AD1与与DC1所成的夹角所成的夹角分析：分析：依据异面直线所成的角依据异面直线所成的角(或夹角

15、或夹角)的定义来求的定义来求 栏目链接栏目链接解析：解析：(1)A1B1AB，而，而A1D1A1B1，A1D1AB.AB与与A1D1所成的夹角为所成的夹角为90.(2)连接连接AB1，B1D1，AB1DC1，AB1与与AD1所成夹角即为所成夹角即为DC1与与AD1所成的夹角所成的夹角又又AD1AB1B1D1，AB1D1为正三角形为正三角形 栏目链接栏目链接AD1与与AB1所成夹角为所成夹角为60.AD1与与DC1所成夹角为所成夹角为60.规律总结：规律总结：(1)求异面直线所成的角就是要通过平求异面直线所成的角就是要通过平移转化的方法将异面直线所成角转化成同一平面内的移转化的方法将异面直线所成

16、角转化成同一平面内的直线所成的角，放到同一三角形中求解直线所成的角，放到同一三角形中求解(2)要多角度地平移，不能局限于一个平面要多角度地平移，不能局限于一个平面 栏目链接栏目链接变变 式式训训 练练2如右下图，空间四边形如右下图，空间四边形ABCD中，中，E、F分别是对角分别是对角线线BD、AC的中点，若的中点，若BCAD2EF，求直线，求直线EF与直线与直线AD所成的角及直线所成的角及直线EF与直线与直线BC所成的角所成的角 栏目链接栏目链接变变 式式训训 练练解析：解析：因为因为E是是BD中点，中点，F是是AC中点，故联想三中点，故联想三角形中位线定理，取角形中位线定理，取CD中点中点G

17、，将，将AD平移至平移至FG，故，故EF与与FG所成的角所成的角(EFG)就是平面直线就是平面直线EF与与AD所成所成的角由的角由BCAD2EF，得，得EFEGFG，所以，所以EFG为正三角形，所以为正三角形，所以EFG60，即，即EF与与AD所所成的角为成的角为60，同理，同理EF与与BC所成角也为所成角也为60.栏目链接栏目链接题型题型3平行公理的应用平行公理的应用例例3 如右图，空间四边形如右图，空间四边形ABCD中，中，E、F、G、H分分别是别是AB、BC、CD、DA的中点，且的中点，且AC与与BD所成的角为所成的角为90.求证：四边形求证：四边形EFGH是矩形是矩形 栏目链接栏目链接

18、 栏目链接栏目链接又又E、F分别为分别为AB、BC的中点，的中点，EFAC，又，又FGBD，EFG为为AC与与BD所成的角所成的角而而AC与与BD所成的角为所成的角为90，EFG90，又，又四边形四边形EFGH为平行四边形，为平行四边形，故四边形故四边形EFGH为矩形为矩形规律总结：规律总结：平行公理的本质是线线平行的传递性平行公理的本质是线线平行的传递性 栏目链接栏目链接变变 式式训训 练练3如右图所示，三棱锥如右图所示，三棱锥ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是边边AB、BC、CD、DA的中点的中点(1)求证：四边形求证：四边形EFGH是是平行四边形；平行四边形；(2)若若ACBD，求证：四，求证：四边形边形EFGH为菱形；为菱形；(3)当当AC与与BD满足什么条满足什么条件时，四边形件时，四边形EFGH是正方形？是正方形？栏目链接栏目链接变变 式式训训 练练 栏目链接栏目链接变变 式式训训 练练 栏目链接栏目链接变变 式式训训 练练 栏目链接栏目链接