全国初中数学优秀课一等奖：勾股定理-教学设计（陈阳岚）.doc

1、 17.117.1 勾股定理（第勾股定理（第 1 1 课时） 课时） 对对 话话 式式 教教 案案 教学环节 教学素材 老师的话 学生的话 1. 复习旧知，复习旧知， 引入新课引入新课 1.出示等腰直角三角板教具，教师 边指边讲。 师师： 同学们： 这是一个等腰直角三角板， 它有三个内角， 三条边，这三个内角之和？（拖长“和”音，待学 生回答） 师：师：它的三条边呢？（待学生回答） 师：师：除不等关系之外，有没有相等关系？ 师：师：两腰相等之外，还有其它数量关系吗？今天我们 就一起来研究它的这种关系。 生生：三个内角之和为 180. 生生：任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边。 生

2、生：两腰相等。 2. 观察思考观察思考， 体现转化体现转化 等腰直 角三角形的 三边具有怎 样的数量关 系？ 师师：大家请看这个图形，正方形 P 和正方形 Q 的之和 与正方形 R 的面积有什么关系？ 师师：对，你是怎么看出来的？ 师师：很好，我们也可以将一个正方形 P、Q 各分割成 2 个三角形，拼补成一个大正方形，看出正方形 P、Q 的 面积之和等于正方形 R 的面积。 师师：同学们再看，正方形 P、Q 的边长有什么关系？ 生生：相等。 生生：正方形 P、Q 由 2 个三角形 组成，正方形 R 由 4 个三角形 组成， 所以正方形 P 加正方形 Q 的面积等于正方形 R 的面积。 生生：相

3、等。 P Q R 师师：这个两边相等的三角形是一个什么样的三角形？ 师师：我们知道，正方形的面积用边长的平方表示，也 就是说正方形 P、 Q 的面积之和就是两直角边的平方和， 正方形 R 的面积就是斜边的平方。根据刚才发现的面 积关系，我们说：等腰直角三角形两直角边的平方和 等于 师师：我们把它表示出来就是：a2+ a 2=c2.（板书） 生生：等腰直角三角形。 生生：斜边的平方。 3. 探究发现探究发现， 突破难点突破难点 一般直 角三角形的 三边具有怎 样的数量关 系？ 师师：等腰直角三角形的三边有这样的关系，其它直角 三角形的三边是不是也有这样的关系呢？ 我们借助方格来研究。 请同学们拿

4、出课堂活动记录表 ，先在方格纸上 任意画出顶点在格点上的直角三角形。 师师：老师也画了一个这样直角三角形，接下来，分别 以这个直角三角形的三边向外作三个正方形 P、Q、R。 老师的图画好了，你们也画一画。 师师：现在，请你们计算自己画的三个正方形面积，观 察它们的面积关系，能得到直角三角形的边长关系 吗？动手算一算。 师师： 同学们， 这里有个疑问， 正方形 R 的面积好求吗？ （学生动手画图，约 1 分钟） （学生动手画图，约 1 分钟） （学生活动， 教师巡视， 发现正 方形 R 的面积有同学会算，有 同学不会，此时，老师及时发 问。 ） 师师：正方形 R 的边长不是整数边，那我们可以怎么

5、求 正方形 R 的面积呢？ 师师：你来说说。 师师：你的意思是用拼补的方法，还有其他的办法吗？ 师师：这样也可以。同学们说的两种方法都很好，对于 计算不规则图形面积的时候，我们往往会将它割补成 规则的图形来进行计算，这是数学中常用的一种方法 叫割补法。现在你会用割补法计算正方形 R 的面 积了吗？ （继续巡视） （做完，学生展示） 师师：有结果了吗？谁能上台将自己的探究结果展示出 来？ 生生：不好求。 （有的学生会做，有学生不会 做，请会做的说说怎么做的。 ） 生生： 把它拼补成一个边长在整数 格线上的大正方形， 用大正方形 的面积减去 4 个直角三角形的 面积即可求得。 生生： 将它分割成

6、4 个直角三角形 和中间一个小的正方形来计算 面积。 生生：会。 生生：我画的是直角边长分为 3， 4 的 Rt，所以正方形 P、Q 的 面积是 9 和 16，正方形用割补 法求得面积是 25，9+16=25，化 为边长关系是 32+42=52，我发 师师：其他同学也是这样的结论吗？ 现我画的 Rt两直角边的平方 和等于斜边的平方。 生生：是。 4. 数学实验，数学实验， 大胆猜想大胆猜想 师师：上面我们对两种特殊的直角三角形，即等腰直角 三角 形和直角边长为整数的直角三角形进行探究，发现都 有“两 直角边的平方和等于斜边的平方”这一结论，那么， 对于 任意的直角三角形，三边也存在这样的关系吗

7、？ 下面，老师用几何画板做一个数学实验。 （操作几何画板） 师师：通过实验，我们发现，改变直角三角形两直角边 长时， 两直角边的平方和仍等于斜边的平方。于是我们提出 如下 猜想： 命题 1：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、b、 斜边长为 c，那么 a2+b2=c2. 5.5. 拼图拼图证明证明， 得出得出定理定理 图 1 图 2 图 3 师师：这个猜想怎么证明的呢？我们再回头看看探究活 动中的这个图形（图 1） 。 这个大正方形分割出来的 4 个直角三角形与我们 要研究的直角三角形（即白色之间三角形）形状、大 小相同吗？ 师师：那我们要研究的直角三角形的三边关系就是研究 这个直角三角形

8、（图 2 中 4 个全等形之一）的三边关 系。 师师：请同学们利用手中的 4 个全等直角三角形拼成这 个图形（图 2） 。 师师：假设这个直角三角形的两直角边长分别为 a、b， 斜边长为 c，那这个大正方形的面积可以表示为 师师：它还可以看成哪几个图形的面积之和？ 师师：用式子表示出来是 师师：这两个式子表示的是同一个正方形的面积，所以 他们相等。 生生：相同。 （学生动手拼图） 生生： 2 c 生生： 4 个全等直角三角形的面积 加小正方形的面积。 生生： 2 4 2 1 baab （学生口述化简过程，老师板 2 4 2 1 cbaab 化简这个等式 所以 222 abc 师师：这说明我们的

9、猜想是正确的。 师师：事实上，我国汉代的数学家赵爽也用拼图的方法 验证了这一结论，我们看看他是怎么验证的。 （播放拼图动画，边看边讲解拼图过程） 师师：我们把这个与直角三角形有关的命题称为“勾股 定理” 。 （板书课题：勾股定理） 如果直角三角形的两直角边长分别为 a , b ， 斜边 长为 c，那么 222 abc 书） 6.6. 应用定理应用定理， 解决问题解决问题 例 1 设直角三角形的两条直角边 长分别为 a 和 b，斜边长为 c，已知 a=5,b=12，求 c. 师师： （例 1）你会做吗？说说看你是怎么做的？ 师师：你列这个等式的根据是什么? 师师：那么你在解题时，写清：根据勾股定

10、理 生生：a=5, b=12 169125 22222 bac 13169 c 生生：勾股定理 a b c 例 2在 RtABC 中，已知 C=90，AB=10，AC=9，求 BC 的 长。 A B C 169125 22222 bac 13169 c 师师：通过例 1，我们知道已知直角三角形两直角边长， 利用勾股定理可以求出斜边长，那么知道 Rt的一条 直角边和斜边长，能否利用勾股定理求出另一条直角 边的长度呢?看看例 2。 师师：谁能说说这道题怎么做？ 师师：你的思路正确。但我们在书写解题过程的时候， 会先写已知条件， 在ABCR t中， C=90， AB=10， AC=9，根据勾股定理，

11、把要求的边写在前面， 19910 22222 ACABBC 19BC 师师：好，会写了吗？知道直角三角形一条直角边和斜 边长，也可以利用勾股定理求出另一条直角边长，也 就是说，已知直角三角形的任意两边长，都利用勾股 定理求出第三边的长度. 生生：根据勾股定理知， AC2+BC2=AB2，因为 AC=9， AB=10 所以 222 109 BC 所以 19BC 7.7. 变式变式训练训练， 巩固新知巩固新知 在ABCR t中，90C， 30A，2BC，求直角边 AC 的长。 解解：在ABCR t中，90C， 30A，2BC 4222 BCAB 根据勾股定理， 1224 22222 BCABAC

12、3212 AC 师师：现在请同学们独立思考并完成以下练习. （学生做， 学生自己讲， 老师指 导书写格式） 8.8. 回顾反思，回顾反思， 归纳小结归纳小结 你想： （1）对自己，你想说些什么 （2）对同学，你想说些什么 （3）对老师，你想说些什么 师师：课上到这，已经接近尾声了，回顾今天所学的内 容，你想对自己说些什么？比如说这节课你学习了哪 些内容？掌握了哪些知识？ 师师：对同学，你想说些什么？解题的时候要注意哪些 地方？ 生生： 1.学了勾股定理， 如果直角三角 形 的两条直角边长分别为 a,b，斜 边长为 c，那么 a2+b2=c2 2.在 Rt中， 已知两边， 可以运 用勾股定理求出

13、第三边。 3.会用拼图方法验证勾股定理。 4.对于不规则的图形可以通过 割补成规则的图形去求面积。 生生： 1.要在直角三角形的情况下使 用勾股定理。 2.做题时要看清题目要求是哪 一条边。 3.计算的最后结果取正数。 师师：对老师你想说些什么呢？这节课还有不清楚或有 疑惑的地方吗？好，有疑问的话，课后我们继续探讨。 9.9. 因材施教因材施教， 分层作业分层作业 必做题：必做题： 课本第 28 页习题 17.1 第 1 题。 选做题：选做题： 1.已知直角三角形的两边长分 别为5cm和12cm，求第三边的长。 2.查阅有关勾股定理的历史资 料及多种勾股定理的证明方法。 师师：本节课的作业分为做题和选做题。 必做题，完成教材 P28 习题 17.1 第 1 题，有兴趣 有同学挑战一下选做题 1， 已知直角三角形的两边分别 为 5cm 和 12cm，求第三边的长。看看你们算得的第三 边长度一样吗？ 2.查阅有关勾股定理的历史资料及多种勾股定理 的证明方法。