第讲数学在机械中的简单应用课件.ppt

1、第第3 3讲讲-数学在机械中的简单应用数学在机械中的简单应用一、曲柄存在的条件一、曲柄存在的条件二、极位夹角和摇杆摆动角的计算二、极位夹角和摇杆摆动角的计算三、三、V带传动的形式及使用特点带传动的形式及使用特点1 11.1.熟练掌握四杆机构中曲柄存在的条件；熟练掌握四杆机构中曲柄存在的条件；2.2.熟练掌握利用余弦定理求曲柄摇杆机构中极位夹角和摇杆熟练掌握利用余弦定理求曲柄摇杆机构中极位夹角和摇杆的摆动角；的摆动角；3.3.掌握掌握V V带传动中的胶带几何长度和小带轮包角的计算。带传动中的胶带几何长度和小带轮包角的计算。学习目标学习目标2 2重重 点点难难 点点1 1、极位夹角和摇杆摆动角的计

2、算；、极位夹角和摇杆摆动角的计算；2 2、胶带几何长度和小带轮包角的计算、胶带几何长度和小带轮包角的计算1 1、极位夹角和摇杆摆动角的计算；、极位夹角和摇杆摆动角的计算；2 2、胶带几何长度和小带轮包角的计算、胶带几何长度和小带轮包角的计算3 31、机械基础四杆机构中的有关知识：、机械基础四杆机构中的有关知识：(1)(1)平面铰链四杆机构的分类：平面铰链四杆机构的分类：曲柄摇杆机构；曲柄摇杆机构；双曲柄机构；双曲柄机构；双摇杆机构；双摇杆机构；一、曲柄存在的条件一、曲柄存在的条件4 4(2)(2)平面四杆机构的有关名词：平面四杆机构的有关名词：ABCD机架固定件机架固定件ABAB连杆不与机架直

3、接连接连杆不与机架直接连接CDCD连架杆与机架直接连接连架杆与机架直接连接ADAD、BCBC曲柄能做整圈回转的连架杆曲柄能做整圈回转的连架杆ADAD摇杆只能在小于摇杆只能在小于3603600 0 内摆动的连架杆内摆动的连架杆BCBC曲柄摇杆机构两连架杆中一个为曲柄曲柄摇杆机构两连架杆中一个为曲柄(AD),(AD),另一个为摇杆另一个为摇杆(BC)(BC)的四杆机构的四杆机构5 5(3)(3)极位夹角极位夹角 当主动杆、摇杆分别摆到两个极限位置时，从动曲当主动杆、摇杆分别摆到两个极限位置时，从动曲柄与连杆也相应共线，曲柄的两个对应位置所夹的锐柄与连杆也相应共线，曲柄的两个对应位置所夹的锐角称为极

4、位夹角。（如图中的角角称为极位夹角。（如图中的角）(4)(4)死点位置死点位置 当平面铰链四杆机构的从动曲柄转至该点时，使得当平面铰链四杆机构的从动曲柄转至该点时，使得机构转不动或出现运动不确定现象，机构的这种位置机构转不动或出现运动不确定现象，机构的这种位置称为死点位置。（如图中的点称为死点位置。（如图中的点D1、D2）1C2CAB1D2D2929(5)5)摇杆的摆动夹角摇杆的摆动夹角1C2CAB1D2D 当曲柄摇杆机构的曲柄与连杆两次共线时，摇杆在当曲柄摇杆机构的曲柄与连杆两次共线时，摇杆在两个极限位置之间的夹角，称为摇杆的摆动夹角。两个极限位置之间的夹角，称为摇杆的摆动夹角。（如图中的角

5、（如图中的角）3030 如图所示，图中的杆如图所示，图中的杆1 1和和3 3是连架杆，杆是连架杆，杆4 4是机架，是机架，杆杆2 2是连杆。连架杆是连杆。连架杆1 1能否成为曲柄，则取决于机能否成为曲柄，则取决于机构中各杆的长度关系和选择哪个构件为机架有关。构中各杆的长度关系和选择哪个构件为机架有关。即要使连架杆成为能整周转动的曲柄，各杆必须即要使连架杆成为能整周转动的曲柄，各杆必须满足一定的长度条件，这就是所谓的曲柄存在的满足一定的长度条件，这就是所谓的曲柄存在的条件。条件。1243ABCD下面我们就来推导一下曲柄存在的条件下面我们就来推导一下曲柄存在的条件2 2、曲柄存在的条件、曲柄存在的

6、条件3131 如右图所示的曲柄摇杆机构，如右图所示的曲柄摇杆机构，其中其中ABAB为曲柄，为曲柄，BCBC为连杆，为连杆，CDCD为为摇杆，摇杆，ADAD为机架，它们的长度分为机架，它们的长度分别用别用a a、b b、c c、d d来表示，在来表示，在ABAB转转动一周中，曲柄动一周中，曲柄ABAB与机架与机架ADAD两次两次共线。共线。由图形可知：由图形可知：aABABAB21bCBCBBC2211cCDDCDC21dAD ABCD1B2B1C2CabcdabdcABCD32321BDCB11当连杆在当连杆在点时，形成点时，形成所以有所以有DBDCCB1111即即dacb-AD1B1Ccbd

7、a3333AD2B2Ccad b2BDCB22当连杆在当连杆在点时，形成点时，形成所以有所以有 2222CBDCDB得得bcad)(badc-即即DCCBDB2222得得cbad)(即即cadb -3434联立并化简为联立并化简为dacbbadccadb将式、分别两两相加，则得将式、分别两两相加，则得即即ABAB杆为最短杆。杆为最短杆。ac abad ABCD1B2B1C2Cabcd3535在曲柄摇杆机构中，要使连架在曲柄摇杆机构中，要使连架杆杆ABAB为曲柄，它必须是四杆中的为曲柄，它必须是四杆中的最短杆，且最短杆与最长杆长度最短杆，且最短杆与最长杆长度之和应小于其余两杆长度之和，之和应小于

8、其余两杆长度之和，考虑到更一般的情形，可将铰链考虑到更一般的情形，可将铰链四杆机构曲柄存在条件概括为：四杆机构曲柄存在条件概括为：(1)(1)连架杆与机架中必有一个最短杆；连架杆与机架中必有一个最短杆；(2)(2)最短杆与最长杆长度之和必小于或等于最短杆与最长杆长度之和必小于或等于 其余两杆长度之和。其余两杆长度之和。上述两条件必须同时满足，否则机构中无曲柄存在上述两条件必须同时满足，否则机构中无曲柄存在 ABCD1B2B1C2Cabcd所以曲柄存在的条件为所以曲柄存在的条件为36361.1.若铰链四杆机构中最短杆长度与最长杆长度之和小于或等若铰链四杆机构中最短杆长度与最长杆长度之和小于或等于

9、其余两杆长度之和，则可能有以下三种情况：于其余两杆长度之和，则可能有以下三种情况：以最短杆的相邻杆为机架，则最短杆为曲柄，而与机架相以最短杆的相邻杆为机架，则最短杆为曲柄，而与机架相连的另一杆为摇杆，则该机构为曲柄摇杆机构。连的另一杆为摇杆，则该机构为曲柄摇杆机构。以最短杆为机架，则其相邻两杆均为曲柄，故该机构为双以最短杆为机架，则其相邻两杆均为曲柄，故该机构为双曲柄机构。曲柄机构。以最短杆的相对杆为机架，则无曲柄存在，因此该机构为以最短杆的相对杆为机架，则无曲柄存在，因此该机构为双摇杆机构。双摇杆机构。2.2.若铰链四杆机构中最短杆长度与最长杆长度之和大于其余若铰链四杆机构中最短杆长度与最长

10、杆长度之和大于其余两杆长度之和，则无论以哪一杆为机架，均为双摇杆机构。两杆长度之和，则无论以哪一杆为机架，均为双摇杆机构。根据曲柄条件，还可作如下根据曲柄条件，还可作如下重要推论重要推论3737曲柄摇杆机构：取最短杆的邻杆为机架曲柄摇杆机构：取最短杆的邻杆为机架 双摇杆机构：取最短杆的对杆为机架双摇杆机构：取最短杆的对杆为机架 最短杆长度与最长杆长度之和大于最短杆长度与最长杆长度之和大于其余两杆长度之和其余两杆长度之和双曲柄机构：取最短杆为机架双曲柄机构：取最短杆为机架即即:ABCDabcd3838解：因为解：因为ABAB杆最长，杆最长，ADAD杆最短杆最短 AB+AD=450+200=650

11、mmAB+AD=450+200=650mm，BC+CD=400+300=700mm BC+CD=400+300=700mm 要使该机构是双曲柄机构，在满足最短杆与最长要使该机构是双曲柄机构，在满足最短杆与最长杆之和小于其余两杆之和的情况下，还必须以最短杆之和小于其余两杆之和的情况下，还必须以最短杆为机架，故以杆为机架，故以ADAD杆为机架；杆为机架；ABCD300400450200所以四杆尺寸满足最短杆与最长杆之和小于其余两杆之和。所以四杆尺寸满足最短杆与最长杆之和小于其余两杆之和。例例1:1:在铰链四杆机构中，各杆件尺寸分别为在铰链四杆机构中，各杆件尺寸分别为AB=450mm,BC=400m

12、m,CD=300mm,AD=200mmAB=450mm,BC=400mm,CD=300mm,AD=200mm。若以若以 为机架，则为双曲柄机构；为机架，则为双曲柄机构；若以若以 为机架，则为曲柄摇杆机构；为机架，则为曲柄摇杆机构；若以若以 为机架，则为双摇杆机构。为机架，则为双摇杆机构。3939ABCD300400450200例例1:1:在铰链四杆机构中，各杆件尺寸分别为在铰链四杆机构中，各杆件尺寸分别为AB=450mm,BC=400mm,CD=300mm,AD=200mmAB=450mm,BC=400mm,CD=300mm,AD=200mm。若以若以 为机架，则为双曲柄机构；为机架，则为双曲

13、柄机构；若以若以 为机架，则为曲柄摇杆机构；为机架，则为曲柄摇杆机构；若以若以 为机架，则为双摇杆机构。为机架，则为双摇杆机构。解：解：要使该机构为曲柄摇杆机构，在满足最短杆与最长杆要使该机构为曲柄摇杆机构，在满足最短杆与最长杆之和小于其余两杆之和的情况下，还必须以最短杆的相之和小于其余两杆之和的情况下，还必须以最短杆的相邻杆为机架，即以邻杆为机架，即以ABAB或或CDCD为机架；为机架；要使该机构为双摇杆机构，在满足最短杆与最长杆之要使该机构为双摇杆机构，在满足最短杆与最长杆之和小于其余两杆之和的情况下，还必须以最短杆的相对和小于其余两杆之和的情况下，还必须以最短杆的相对杆为机架，即以杆为机

14、架，即以BCBC杆为机架；杆为机架；4040例例2 2：已知如图所示铰链四杆机构已知如图所示铰链四杆机构ABCDABCD中，中，BC=50mm,CD=35mm,AD=30mmBC=50mm,CD=35mm,AD=30mm，取，取ADAD为机架，为机架，（1)1)如果该机构能成为如果该机构能成为曲柄摇杆机构曲柄摇杆机构，且，且ABAB是曲柄，求杆是曲柄，求杆ABAB的取值范围；的取值范围；解：解：（1 1）ADAD为机架，要使该机构为曲柄摇杆机构，为机架，要使该机构为曲柄摇杆机构，ABAB为曲为曲柄，必须满足最短杆与最长杆之和小于或等于其余两杆之和，柄，必须满足最短杆与最长杆之和小于或等于其余两

15、杆之和，且以最短杆的相邻杆为机架，最短杆为曲柄，即且以最短杆的相邻杆为机架，最短杆为曲柄，即ABAB杆最短。杆最短。其中已知其中已知BCBC杆为最长杆杆为最长杆,所以有所以有mmABADABCDADBCAB15ABCD355030？4141解：解：（2 2）ADAD为机架，为机架，要使该机构成为双曲柄机构，应满足必须要使该机构成为双曲柄机构，应满足必须满足最短杆与最长杆之和小于或等于其余两杆之和，最短杆为满足最短杆与最长杆之和小于或等于其余两杆之和，最短杆为机架。机架。所以所以ADAD杆最短杆最短，则最长杆可能为，则最长杆可能为BCBC杆，也可能是杆，也可能是ABAB杆，杆，也有可能一样长。也

16、有可能一样长。例例2 2：已知如图所示铰链四杆机构已知如图所示铰链四杆机构ABCDABCD中，中，BC=50mm,CD=35mm,AD=30mmBC=50mm,CD=35mm,AD=30mm，取，取ADAD为机架，为机架，（2)2)如果该机构能成为如果该机构能成为双曲柄机构双曲柄机构，求杆，求杆ABAB的取值范围；的取值范围；ABCD355030？若若ABAB杆为最长杆杆为最长杆,有有AB+ADBC+CD,AB+ADBC+CD,所以有所以有AB55mm,AB55mm,即即 50mmAB55mm 50mmAB55mm若若BCBC杆为最长杆杆为最长杆,有有BC+ADAB+CDBC+ADAB+CD，

17、所以有，所以有AB45mm,AB45mm,即即 45mmAB50mm45mmABAD+CD,AB+BCAD+CD,所以有所以有AB15mmAB15mm若若ADAD杆最短，最长杆可能是杆最短，最长杆可能是BCBC杆，也可能是杆，也可能是ABAB杆，杆，当当BCBC杆最长时杆最长时,有有AD+BCAB+CD,AD+BCAB+CD,所以有所以有AB45mm ABBC+CD,AD+ABBC+CD,所以有所以有AB55mm AB55mm 综上分析：综上分析：ABAB杆的取值范围为：杆的取值范围为：15mmAB45mm15mmAB45mmABCD355030？4343ABCabc先回顾一下余弦定理：在先回

18、顾一下余弦定理：在ABC 中中Abccbacos2222bcacbA2cos222bcacbA2arccos222或或bcacbA2cos2221二、极位夹角和摇杆摆动角和数学计算二、极位夹角和摇杆摆动角和数学计算4444CDABABACBCABACCAB2arccos222ABACBCABACCAB2cos222如右图所示，根据余弦定理有如右图所示，根据余弦定理有所以有所以有同理可得同理可得ABADBDABADDAB2arccos2224545CDABBDABADBDABABD2arccos222BCABACBCABABC2arccos222CDABABADBDABADABACBCABACD

19、ABCABCAD2arccos2arccos222222BCABACBCABBDABADBDABABCABDCBD2arccos2arccos222222极位夹角极位夹角的具体计算为：的具体计算为：摇杆摆动角摇杆摆动角的具体计算为：的具体计算为：例例3：某磨床采用如图所示的四杆机构，已知曲柄长某磨床采用如图所示的四杆机构，已知曲柄长r=80mmr=80mm，连杆长，连杆长L=310mmL=310mm，摆杆长，摆杆长b=150mmb=150mm，曲柄转动，曲柄转动中心到摆杆中心的距离中心到摆杆中心的距离H=325mmH=325mm，试求：（，试求：（1 1）曲柄转）曲柄转动一周时，摆杆摆动最大角

20、度动一周时，摆杆摆动最大角度有多大？（有多大？（2 2）极位夹）极位夹角角多大？多大？这里要用到余弦定理和反三角函这里要用到余弦定理和反三角函数的记法以及科学型计算器数的记法以及科学型计算器(即携带即携带函数功能的计算器函数功能的计算器,现在的高中生曾现在的高中生曾用过的计算器也可用过的计算器也可)4848解解:由机械基础知识画出其相应的数学图形以便于计算由机械基础知识画出其相应的数学图形以便于计算1501501C2CAB2303903251D2D8334641503252230150325arccos1503252390150325arccos2arccos2arccosABC-ABC022

21、222212121222222212 BCABACBCABBCABACBCAB49498334641503252230150325arccos1503252390150325arccos0222222 科学型计算器上的按键顺序为科学型计算器上的按键顺序为shiftshiftcoscos(325325x x2 2+150150 x x2 2-390390 x x2 2)(2 2325325150150)-。,shiftshiftcoscos(325325x x2 2+150150 x x2 2-230230 x x2 2)(2 2325325150150)=5050833464150325223

22、0150325arccos1503252390150325arccos0222222 电脑计算器上的按键顺序为电脑计算器上的按键顺序为(325325x x2 2+150150 x x2 2-390390 x x2 2)(2 2325325150150)-钩上钩上Hyp-Hyp-再点再点dmsdmscoscos(325325x x2 2+150150 x x2 2-230230 x x2 2)(2 2325325150150)=钩上钩上InvInvcoscos钩上钩上InvInv5151827323903252150390325arccos2303252150230325arccos2arcco

23、s2arccosBAC-BAC022222222222212121221 ACABBCACABACABBCACAB1501501C2CAB2303903251D2D5252827323903252150390325arccos2303252150230325arccos0222222 科学型计算器上的按键顺序为科学型计算器上的按键顺序为shiftshiftcoscos(325325x x2 2+230230 x x2 2-150150 x x2 2)(2 2325325230230)-。,shiftshiftcoscos(325325x x2 2+390390 x x2 2-150150 x

24、x2 2)(2 2325325390390)=5353827323903252150390325arccos2303252150230325arccos0222222 电脑计算器上的按键顺序为电脑计算器上的按键顺序为(325325x x2 2+230230 x x2 2-150150 x x2 2)(2 2325325230230)-钩上钩上Hyp-Hyp-再点再点dmsdmscoscos(325325x x2 2+390390 x x2 2-150150 x x2 2)(2 2325325390390)=钩上钩上InvInvcoscos钩上钩上InvInv54541 1、如图所示铰链四杆机构

25、中，各构件长度分别为、如图所示铰链四杆机构中，各构件长度分别为AB=28mmAB=28mm，BC=52mmBC=52mm，CD=50mmCD=50mm，AD=72mm AD=72mm。求该机。求该机构的极位夹角构的极位夹角、摇杆、摇杆CDCD的最大摆角的最大摆角。练习练习:55552 2、在图示的曲柄滑块机构中。已知偏距在图示的曲柄滑块机构中。已知偏距e=10mme=10mm，曲，曲柄长柄长a=20mma=20mm且为主动件，连杆长且为主动件，连杆长b=60mmb=60mm，试求出极位，试求出极位夹角夹角和滑块的行程和滑块的行程 。练习练习:56563 3、如图所示的一曲柄摇杆机构，已知、如图

26、所示的一曲柄摇杆机构，已知DCDC=DC=32mm,B=DC=32mm,B C C=BC=43mm,AB=A=BC=43mm,AB=A B B=12mm=12mm，试根据图示尺寸计算摇杆试根据图示尺寸计算摇杆3 3摆动的最大角度摆动的最大角度和极位夹角和极位夹角。练习练习:57574、如图所示为一种常用、如图所示为一种常用 的四杆机构，的四杆机构，AB为曲柄，为曲柄，可绕可绕A点转动；点转动；BC是连杆；是连杆；CD是摆杆。当是摆杆。当A、B、C三点在一条直线上时，是摆杆摆动方向改变的三点在一条直线上时，是摆杆摆动方向改变的转折位置，转折位置，B1AC1连线与连线与AB2C2连线间的夹角连线间

27、的夹角=1-2。设曲柄长。设曲柄长r=50mm，连杆长，连杆长L L=350mm，摆杆长摆杆长R=100mm，曲柄转动中心，曲柄转动中心A到摆杆摆动中到摆杆摆动中心心D的距离的距离H=300mm，求摆杆的摆动角，求摆杆的摆动角。ABCDRHlr1C2CAD1B2B练习练习:5858三、平带传动中的数学计算三、平带传动中的数学计算 在机械基础中出现了平带传动的胶带几何长度在机械基础中出现了平带传动的胶带几何长度和小带轮包角的计算。和小带轮包角的计算。众所周知，平带众所周知，平带传动形式有三种：开口传动形式有三种：开口式式传动、交传动、交叉叉式式传动和半交叉传动和半交叉式式传动传动.平带传动形式和

28、有关参数计平带传动形式和有关参数计算如表所示算如表所示.5959开口式简图开口式简图小带轮包角小带轮包角胶带几何长度胶带几何长度01203.57180addaddddaL4)()(22212216060交叉式简图交叉式简图小带轮包角小带轮包角胶带几何长度胶带几何长度addddaL4)()(222122101203.57180add6161半交叉式简图半交叉式简图小带轮包角小带轮包角胶带几何长度胶带几何长度0103.57180adaddddaL4)()(2221221626201203.57180addaddddaL4)()(2221221交叉式简图交叉式简图小带轮包角小带轮包角胶带几何长度胶带

29、几何长度6363下面来推导开口式的小带轮包角和胶带几何长度：下面来推导开口式的小带轮包角和胶带几何长度：、由平面几何得，由平面几何得，由于角由于角很小，故很小，故如图所示如图所示小带轮包角为小带轮包角为大带轮的包角为大带轮的包角为0360两轮的中心距为两轮的中心距为a大轮、小轮的直径分别为大轮、小轮的直径分别为 和和2d1d21800addadd222sin12126464上式中的角上式中的角为弧度制，化为角度制为为弧度制，化为角度制为0123.572add 或或代入代入 得得2180001203.57180add21dda6565再来推导胶带几何长度，胶带的几何长度为劣弧再来推导胶带几何长度

30、，胶带的几何长度为劣弧ADAD、优弧优弧BCBC、弦、弦ABAB及弦及弦CDCD的长度之和，即为：的长度之和，即为：cos2)2(2221ddL212(2)2(1)222dda2121221212()1()2()21222ddddddddaaaa 22112()2()24ddadda21cos2当当很小时，很小时，6666解：解：初算胶带长度为初算胶带长度为 22112()2()24ddLadda2(280 140)2 800(140280)24 8002265.33mm 2118057.3add280 14018057.3787.240169.810169 48 36小带轮包角为：小带轮包角

31、为：所以合用所以合用67670120在实际工作中，小带轮的包角在实际工作中，小带轮的包角不宜过小，以免降不宜过小，以免降低传动的工作能力低传动的工作能力.一般要求一般要求.例例4：设计某机床上电动机与主轴箱的：设计某机床上电动机与主轴箱的V带传动，三班带传动，三班制工作，开口式传动制工作，开口式传动.若取小带轮的基准直径为若取小带轮的基准直径为d1=140mm，大带轮的基准直径为，大带轮的基准直径为d2=280mm，初选，初选中心距为中心距为a=800mm，实际中心距，实际中心距a=787.24mm，试，试计算初算带长计算初算带长L和小带轮包角和小带轮包角，并判断小带轮包角，并判断小带轮包角是

32、否合适是否合适.6868小小 结结你能总结一下本讲的主要内容吗？你能总结一下本讲的主要内容吗？69691、某带式输送机的、某带式输送机的V带传动，三班制工作，开口式传带传动，三班制工作，开口式传动动.若取小带轮的基准直径为若取小带轮的基准直径为d1=160mm，大带轮的基，大带轮的基准直径为准直径为d2=400mm，初选中心距为，初选中心距为a=800mm，实，实际中心距际中心距a=801mm，试计算初算带长，试计算初算带长L和小带轮包角和小带轮包角，并判断小带轮包角，并判断小带轮包角是否合适是否合适.练练 习习70702 2、某带式输送机的、某带式输送机的V V带传动，原动机为电动机，工作带传动，原动机为电动机，工作机为破碎机，采取两班制工作，开口式传动机为破碎机，采取两班制工作，开口式传动.若取小若取小带轮的基准直径为带轮的基准直径为d d1 1=125mm=125mm，大带轮的基准直径为，大带轮的基准直径为d d2 2=250mm=250mm，初选中心距为，初选中心距为a=500mma=500mm，实际中心距，实际中心距a=501.25mma=501.25mm，试计算初算带长，试计算初算带长L L和小带轮包角和小带轮包角，并，并判断小带轮包角判断小带轮包角是否合适是否合适.练练 习习7171祝你学习进步！祝你学习进步！祝你工作愉快！祝你工作愉快！7272