《134 课题学习 最短路径问题》优质课件(2套).ppt(课件中无音视频)

1、13.4 课题学习 最短路径问题 第十三章 轴对称学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（重点）导入新课导入新课复习引入1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？AB最短，因为两点之间，线段最短2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PlABCDPC最短，因为垂线段最短3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？三角形三边关系：两边之和大于第三边；斜边大于直角边.4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？AlA 讲授新课讲授新课牧人饮马问题一 “两点

2、的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.ABPlABCD 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成ABl数学问题作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.实际问题ABl问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？AlBC根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交

3、点即为所求.连接AB,与直线l相交于一点C.问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B.方法揭晓作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求 ABlB C几何画板：验证路径最短.gsp问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C(与点C 不重合)，连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC

4、=AB，AC+BC=AC+BC在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC 最短ABlB CC 练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A7.5 B5 C4 D不能确定 典例精析解析：ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.点F在AD上，故BF=CF.即B

5、F+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.B方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时点C的坐标是（）A（0，3）B（0，2）C（0，1）D（0，0）解析：作B点关于y轴对称点B，连接AB，交y轴于点C，此时ABC的周长最小，然后依据点A与点B的坐标可得到BE、AE的长，然后证明BCO为等腰直角三角形即可BCEA方法总

6、结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.如图，A和B B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM造桥选址问题二BA?NMNMNM折移 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花各抒己见1.把A平移到岸边.

7、2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.BABAAB1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了2.把B平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了BA3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM+MN+BN长度有没有改变呢？问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.理由:另任作桥M1N，连接，连接AM，BN，AN.由平移性质可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.AM+MN+BN转化为，而转化为.在ANB中，因为，因为A1N1+BN1A1B.因此 AM+MN+BN.ABMNECD证明：

8、由平移的性质，得 BNEM 且且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.方法归纳解决最短路径问题的方法 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.当堂练习当堂练习1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A关

9、于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与AB和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）AP是m上到A、B距离之和最短的 点，Q是m上到A、B距离相等的点 BQ是m上到A、B距离之和最短的 点，P是m上到A、B距离相等的点 CP、Q都是m上到A、B距离之和最 短的点 DP、Q都是m上到A、B距离相等 的点 A2.如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=10在OA上有一点Q，OB上有一点R若PQR周长最小，则最小周长是（）A10 B15 C20 D30 A3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧

10、童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.ACBD河10004.如图，边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点PxyOBABP 5.如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD,EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD E EB的路程最短？ADD CCEEB解：作AFCD,且AF=河宽，作BG CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E,D.作DD,EE即为桥.理由：由作图法可知，AF/DD，AF=DD，则

11、四边形AFDD为平行四边形，于是AD=FD,同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF最小.AD CCEEBFGD 6.（1）如图，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由（2）如图，在AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由（3）如图，在AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由拓展提升ABC D P O A B N O A B M 图图图图图图P O

12、A B N O A B M ABC D C P P P E F M N E F 图图图课堂小结课堂小结原理线段公理和垂线段最短牧马人饮马 问 题解题方法造桥选址问题关键是将固定线段“桥”平移最短路径问题轴对称知识+线段公理解题方法八年级八年级 上册上册引言：引言：前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线两点的所有连线中，线 段最短段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问等的问题，我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节题现实生活中经常

13、涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题将军饮马问题”引入新知引入新知问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？最短？探索新知探索新知BAl精通

14、数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知探索新知BAl追问追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 探索新知探索新知BAl（1）从）从A 地出发，到河边地出发，到河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与

15、）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和；探索新知探索新知追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？探索新知探索新知追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直

16、线l上的点设上的点设C 为直线上的一个动点，上为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点面的问题就转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小（如图）的和最小（如图）BAlC追问追问1对于问题对于问题2，如何，如何将点将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度的长度相等？相等？探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB

17、的和最小？的和最小？BlA追问追问2你能利用轴对称的你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条件的点件的点B吗？吗？探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？BlA作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同

18、侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlABC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABC证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABCC

19、探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABCC证明：证明：在在ABC中中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+BC 最短最短若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC+BC，就说明，就说明AC+BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC追问追问1证明证明AC+BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC+BC AC+BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？

20、探索新知探索新知追问追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？BlABCC运用新知运用新知练习如图，一个旅游船从大桥练习如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥运用新知运用新知基本思路：基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必

21、经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到上找到一点一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小”ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥造桥选址问题造桥选址问题如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现要在两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从乔早在何处才能使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）行的直线，桥要与河垂直）BA思维分析思维分析BA 1、如图假定任选位

22、置造、如图假定任选位置造桥，连接和，从桥，连接和，从A到到B的路径是的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短那么怎样确定什么情况下最短呢？呢？2、利用线段公理解决问题我们遇到了什、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？么障碍呢？我们能否在不改变我们能否在不改变AM+MN+BN的前提的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？我们呢？思维火花思维火花各抒己见各抒己见1、把、把A平移到岸边平移到岸边.2、把、把B平移到岸边平移到岸边.3、把桥平移到和、把桥平移到和A相连相连.4、把桥平移到和、把桥平移到和B相连相连.上述方法都能做到使上

23、述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请不变呢？请检验检验.合作与交流合作与交流1、2两种方法改变了两种方法改变了.怎样调整呢？怎样调整呢？把把A或或B分别向下或上平移一个桥长分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢那么怎样确定桥的位置呢?问题解决问题解决BAA1MN如图，平移如图，平移A到到A1，使，使A1等于河宽，连接等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此交河岸于作桥，此时路径时路径最短最短.理由；另任作桥理由；另任作桥，连接，连接，.由平移性质可知，由平移性质可知，.AM+MN+BN转化为转化为，而，而转转化为化为.在在中，由线段公理知中，由线段公理知A1N1+BN1A1B因此因此

24、AM+MN+BN问题延伸一问题延伸一如图，如图，A和和B两地之间两地之间有两条河，现要在两有两条河，现要在两条河上各造一座桥条河上各造一座桥MN和和PQ.桥分别建在何处桥分别建在何处才能使从才能使从A到到B的路径的路径最短？（假定河的两最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）要与河岸垂直）思维分析思维分析如图，问题中所走总路径是如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+桥桥MN和和PQ在中间，且方向不在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用能改变，仍无法直接利用“两两点之间，线段最短点之间，线段最短”解决问题，解决问题，只有利用平移变换转移到两侧只有利用平移变换

25、转移到两侧或同一侧先走桥长或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移平移的方法有三种：两个桥长都平移到到A点处、都平移到点处、都平移到B点处、点处、MN平移平移到到A点处，点处，PQ平移到平移到B点处点处思维方法一思维方法一 1、沿垂直于第一条河岸的方向平移、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至点至AA1使使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题，此时问题转化为问题基本题型两点（型两点（A1、B点）和一条河建桥（点）和一条河建桥（PQ）2、利用基本问题的解决方法确定桥、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至至A2，使使

26、A1A2=PQ.（2）连接）连接A2B交交A2的对岸的对岸Q点，在点处建桥点，在点处建桥PQ.3、确定、确定PQ的位置，也确定了的位置，也确定了BQ和和PQ，此时问题，此时问题可转化为由可转化为由A点、点、P点和第一条河确定桥点和第一条河确定桥MN的位置的位置.连接连接A1P交的对岸于点，在点处建桥交的对岸于点，在点处建桥问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把点、，使点、，使，；连接交于点相邻连接交于点相邻河岸于点，建桥；河岸于点，建桥；连接交的对岸连接交的对岸于点，建桥；于点，建桥；从点到点的最短路径从点到点的最短路径为为MMN思维方法二思维方法二 沿垂直于第一条河岸方

27、沿垂直于第一条河岸方向平移点至点，沿向平移点至点，沿垂直于第二条河岸方向平移垂直于第二条河岸方向平移点至点，连接点至点，连接A1B1 分别交分别交A、B的对岸于的对岸于N、P两点，建桥两点，建桥MN和和PQ.最短路径最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法三思维方法三沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把B点平移至点平移至B、B，使，使BBPQ，BBMN；连接连接BA交于交于A点相邻河点相邻河岸于岸于M点，建桥点，建桥MN；连接连接BN交交B的对岸于的对岸于P点，建桥点，建桥PQ；从点到点的最短路径从点到点的最短路径为为MMNNP转化转化为为AB

28、2+B2B1+B1B问题延伸二问题延伸二如图，如图，A和和B两地之间两地之间有三条河，现要在两有三条河，现要在两条河上各造一座桥条河上各造一座桥MN、PQ和和GH.桥分别建在桥分别建在何处才能使从何处才能使从A到到B的的路径最短？（假定河路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）桥要与河岸垂直）思维分析思维分析如图，问题中所走总路径是如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB桥桥MN、PQ和和GH在中间，且方在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”解决解决问题，只有利用平移变换转

29、移问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有四种：三个桥长都平移平移的方法有四种：三个桥长都平移到到A点处；都平移到点处；都平移到B点处；点处；MN、PQ平移到平移到A点处；点处；PQ、GH平移到平移到B点处点处问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A点平点平移至移至A、A、A3，使，使AAMN，AAPQ，A2A3=GH；连接连接A3B交于交于B点相邻河岸于点相邻河岸于H点，建桥点，建桥GH；连接连接A2G交第二河与交第二河与G对岸的对岸的P点，建桥点，建桥PQ；连接连接A1P交第一条河与交第一条河与A的对岸的对岸于于N点，建桥点

30、，建桥MN.此时从此时从A到到B点路径最短点路径最短.沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A点平点平移至移至A、A、A3，使，使AAMN，AAPQ，A2A3=GH；连接连接A3B交于交于B点相邻河岸于点相邻河岸于H点，建桥点，建桥GH；连接连接A2G交第二河与交第二河与G对岸的对岸的P点，建桥点，建桥PQ；连接连接A1P交第一条河与交第一条河与A的对岸的对岸于于N点，建桥点，建桥MN.此时从此时从A到到B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A点平移点平移至至A，使，使AAMN，平移，平移B点至点至B1、B2,使使BB1GH，B1B2=PQ；

31、连接连接A1B2交第一条河与交第一条河与A点相对河点相对河岸于岸于N点，交第二条河与点，交第二条河与N相邻河岸相邻河岸于于P点，建桥点，建桥MN、PQ；连接连接B1Q交第三条河与交第三条河与Q相邻河岸相邻河岸的的G点，建桥点，建桥GH；此时从此时从A到到B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A点平移点平移至至A、A2，使，使AAMN，平移，平移B点至点至B1,使使BB1GH；连接连接AB交第三条河与点相对交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，建桥、河岸于点，建桥、PQ；连接连接1交第一条河与相邻河岸交第一条

32、河与相邻河岸的点，建桥；的点，建桥；此时从此时从A到到B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决延伸小结延伸小结同样，当、两点之间有、同样，当、两点之间有、，条河时，我们仍可以利用，条河时，我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题平移转化桥长来解决问题 例如例如：沿垂直于河岸方向平移点依次至沿垂直于河岸方向平移点依次至、3，An,平移距离分平移距离分别等于各自河宽，别等于各自河宽，AnB交第交第n条河近条河近B点河岸于点河岸于Nn,建桥建桥MnNn,连接连接MnAn-1交第交第(n-1）条河近）条河近B点河岸与点河岸与Nn-1,建桥建桥Mn-1Nn-1，.，连接，连接M1A交第一条河近交第一条河近B

33、点河岸于点河岸于N1，建桥，建桥M1N1,此时所走路径最短此时所走路径最短.abNABAMNM作业作业1 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）分析：由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小，这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？可以通过将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A，则AAMN，AM+NBAN+NB，当AB在一条直线上时，根据“两点之间，线段最短”，可得AN+NB的值最小，则路径AMNB

34、最短。解：在直线a上取任意一点M，作MNb于点N，平移AM，使点M移动点N的位置，点A移动到点A的位置，连接AB交直线b于点N，过点N作MNa于点M，则路径AMNB最短。理由如下：如图，点M为直线a上任意一点（不与点M重合），线段AN是线段AM平移得到的 AAMN，ANAM AM+MN+BNAN+AA+BN MN平行AA且MNAA MN可以看作是AA经过平移得到的 ANAM AM+NBAN+NB 根据两点之间线段最短，得AN+NBABAN+BN AM+NBAM+BN MNMN AM+MN+NBAM+MN+NB，即路径AMNB最短。【跟踪练习跟踪练习】baCEAABD1、如图，某牧童在A外放牛，

35、其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且ACBD，若A到河岸CD的中点的距离为500米。牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短？试通过作图找出这一点；最短路程是多少？解：作点A关于直线b的对称点A，连接AB交直线b于点E，则AE+BEAE+BEAB，根据两点之间线段最短，AE+BE的路程最短。点A与点A关于直线b对称 AEAE，ACAC AECAEC BEDAEC AECBED ACEBDE90，ACBD AECBED(AAS)ECED，BEAE 点A到河岸CD的中点的距离为500米 BEAE500 AE+BE1000（米），即最短路是1000米。【点拨精讲点拨精讲】1、在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。2、证明路线最短常采取作对称点的依法，利用两点之间线段最短及三角形三边关系来解决问题。