《三角形的高、中线与角平分线》优质课件(3套).ppt(课件中无音视频)

1、第十一章 三角形学习目标1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）复习回顾导入新课导入新课 定义 图示垂线线段中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5放、靠、过、0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2、 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5画.思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?复习导入导入新课导入新课三角形的高一三角形的高的定义A从三角形的一个顶点，BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足D之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如右图,线段AD是BC边上的高.和垂足的字母.注意!标明垂直的记号0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5讲授新课讲授新课思考：你还能画出一条高来吗？一个三角形有三个顶点，应该有三条高.(1)你能画

3、出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？O锐角三角形的三条高交于同一点；锐角三角形的三条高都在三角形的内部.锐角三角形的三条高如图所示；直角边BC边上的高是 ;直角边AB边上的高是 ;(2)AC边上的高是 ;直角三角形的三条高ABC(1)画出直角三角形的三条高,ABBC它们有怎样的位置关系？D直角三角形的三条高交于直角顶点.BD钝角三角形的三条高ABCDEF(2)AC边上的高呢？AB边上呢？BC边上呢？BFCEAD(3)钝角三角形的三条高 交于一点吗？(4)它们所在的直线交于 一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点；钝角三角形的三条高所在直线交于一点.视频：画钝角三角形的高

4、例1 作ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是()典例精析方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上D例2 如图所示，在ABC中，ABAC5，BC6，ADBC于点D，且AD4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为_方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”245例3 如图，已知AD是ABC的角平分线，CE是ABC的高，BAC60，BCE40，求ADB的度数解：AD是ABC的角平分线，BAC60，DACBAD30.CE是ABC的高，BCE40，B50，ADB180BBAD18030501

5、00.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median).AE是BC边上的中线.三角形的“中线”BACABE=ECE三角形的中线二(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的 位置关系?议一议三条中线，交于一点(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？折一折，画一画，并与同伴交流.三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.要点归纳典例精析例4 在ABC中，AC5cm，AD是ABC的中线，若ABD的周长比ADC的周长大2cm，则BA_.提示：将ABD与ADC的周长之差转化为边长的差.7cm三角形的角平分线三思

6、考 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗?BAC用量角器画最简便，用圆规也能.在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.折痕AD即为三角形的A的平分线.ABC三角形的角平分线的定义:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.12ABCD注意：“三角形的角平分线”是一条线段.1=2 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角 形纸片各一个.(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?(2)你能用折纸的办法得到它们吗 (3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的

7、 位置关系?做一做三角形的三条角平分线交于同一点.三角形角平分线的性质解：AD是ABC的角平分线，BAC68，DACBAD34.在ABD中，B+ADB+BAD180，ADB180BBAD 1803634110.例5 如图,在ABC中,BAC=68，B=36，AD是ABC的一条角平分线，求ADB的度数.ABDC?D?C?B?A?D?C?B?A?2?1?D?C?B?A三角形的重要线段概念图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段AD是ABC的高线.ADBCADB=ADC=90.三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 AD是ABC的BC上的中

8、线.BD=CD=BC.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段.AD是ABC的BAC的平分线 1=2=BAC 知识归纳知识归纳当堂练习当堂练习1下列说法正确的是 （）A三角形三条高都在三角形内 B三角形三条中线相交于一点C三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外D三角形的角平分线是射线B2在ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：BAD=CAD；ABE=CBE；BD=DC；AE=EC其中正确的是 （）A B C DD3.如图，ABC中C=90，CDAB，图中线段中可以作为ABC的高的有 （）A2条 B3条 C4条 D5条下列各

9、组图形中哪一组图形中AD是ABC 的BC边上的高 ()BD5.填空：（1）如图，AD,BE,CF是ABC的三条中线，则 AB=2,BD=，AE=(2)如图，AD,BE,CF是ABC的三条角平分线，则1=，3=_，ACB=2_.图图AFDC224AC12ABC126.在ABC中,CD是中线,已知BCAC=5cm,DBC 的周长为25cm,求ADC的周长.ADBC解：CD是ABC的中线，BDAD，DBC的周长BCBDCD25cm，则BD+CD25BC.ADC的周长ADCDAC BDCDAC 25-BCAC 25(BCAC)25520cm.7.如图,AE是 ABC的角平分线.已知B=45,C=60,

10、求BAE和AEB的度数.A AB BC CE E解：E是ABC的角平分线，BAC+B+C=180,BAC=180BC=1804560=75，BAE=37.5.AEB=CAE+C，CAE=BAE=37.5，AEB=37.5+60=97.5.CAE=BAE=BAC.12 8.如图，在ABC中，AD是ABC的高，AE是 ABC的角平分线，已知BAC=82，C=40，求DAE的大小.解：AD是ABC的高，ADC90.ADC+C+DAC=180，DAC=180(ADC+C)=1809040=50.AE是ABC的角平分线，且BAC=82，CAE=41，DAE=DACCAE=5041=9.BACD E课堂小

11、结课堂小结三角 形 重要 线 段高钝角三角形两短边上的高的画法中 线会把原三角形面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线新人教版-八年级（上）数学-第十一章11.1.2 三角形的高、中线与角平分线1.理解三角形的高、中线和角平分线的含义,并会作出这三种重要的线段。2.了解三角形的高、中线、和角平分线的性质,并能应用它解决一些问题。3.感受数学知识的广泛用途和科学探究精神。重点：三角形的高、中线和角平分线的定义。难点：掌握各种线在三角形中分得的角和线段之间的倍分关系。学习目标：你还记得你还记得“过一点画已知直线的垂线过一点画已知直线的垂线

12、”吗吗?画法过三角形的一个顶点，你能画出它到对边的垂线段吗?BAC回顾与思考A从三角形的一个顶点BC向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足D之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高。如图,线段AD是BC边上的高.任意画一个锐角ABC,垂直的记号和垂足的字母请你画出BC边上的高.标明标明D三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高三角形的高。A AB BC CD DADBC，则AD是ABC的BC边上的高AD是ABC的BC边上的高,则ADBC,ADB=900三角形的高的理解锐角三

13、角形的三条高(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？锐角三角形的三条高交于同一点.O(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高都在三角形的内部。ABCDEF直角三角形的三条高(1)画出直角三角形的三条高,直角边BC边上的高是直角边AB边上的高是它们有怎样的位置关系？斜边AC边上的高是钝角三角形的三条高ABCDEF钝角三角形的三条高交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点它们所在的直线交于一点吗？小结:三角形的高从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。三角形的三条高的特性：高所在的直线是否

14、相交高所在的直线是否相交高之间是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量高在三角形内部的数量钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角形31相交不相交相交相交相交三角形的三条高所在直线交于一点三角形的三条高所在直线交于一点三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定下列各组图形中 哪一组图形中AD是ABC 的高()BD拓展与练习在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线.ABCDAD是是 ABC的中线的中线BD=C

15、D=12BC任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么?三角形的三条中线相交于一三角形的三条中线相交于一点点,交点在三角形的内部交点在三角形的内部.三角形中线的理解三角形中线的理解EFO三角形的中线也就是说：三角形的任意一条中线把这个三角形三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。分成了两个面积相等的三角形。EABCD如右图D是BC的中点BD=DC而ABD的面积=BDAE ADC的面积=DCAE故ABD的面积=ADC的面积2121例1：如图,在ABC中,AD,AE分别是BC边上的中线和高.试判断ABD和ADC的面积有何关系？中线的性质三角形的中线

16、是一条线段线段。任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交与一点。三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。三角形中线的特点叫做三角形的角平分线。ABCDAD是 ABC的角平分线 BAD=CAD=BAC任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部12三角形的角平分线BE是ABC的角平分线_=_=_21ACB=2_=2_ABE CBEABCACFCF是ABC的角平分线BCF思思考考三角形的角平分线是一条线段三角形的角

17、平分线是一条线段,角的平分线是一条射线。角的平分线是一条射线。三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？角平分线的理解例2:如图,已知:ABC中,BD、CE分别是ABC的两条角平分线,相交于点O.(1)当ABC=60,ACB=80时,求BOC的度数A AB BC CE ED DO O例题讲解解:BD、CE分别是ABC的角平分线30602121ABCDBC40802121ACBECB)(180ECBDBCBOC)4030(180110例2:如图,已知:ABC中,BD、CE分别是ABC的两条角平分线,相交于点O.A AB BC CE ED DO O（2）当A=40时，求BOC的度数例题讲解解:BD、

18、CE分别是ABC的角平分线ABCDBC21ACBECB21)(21180ACBABCBOC)180(21180AA2190110例2:如图,已知:ABC中,BD、CE分别是ABC的两条角平分线,相交于点O.A AB BC CE ED DO O（3）当A=x时，求BOC的度数(用含x代数式表示）例题讲解解:BD、CE分别是ABC的角平分线ABCDBC21ACBECB21)(21180ACBABCBOC)180(21180AA2190 x2190名称名称基本图形基本图形画法画法性质性质高高用边的垂线用边的垂线三角板画顶三角板画顶点到对段点到对段三条高线相交于三条高线相交于三角形内部、外三角形内部、

19、外部或边上一点部或边上一点中线中线用直尺画两用直尺画两点之间的线点之间的线段段三条中线相交于三条中线相交于三角形内一点，三角形内一点，且把三角形分成且把三角形分成面积相等的两部面积相等的两部分分角平角平分线分线利用量角器利用量角器画角的平分画角的平分线的一部分线的一部分三条角平分线相三条角平分线相交于三角形内一交于三角形内一点点DACBDACBDACB高、中线与角平分线的比较如图,在ABC中,1=2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CFAD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.ABCDE12FGHAD是ABE的角平分线 ()BE是ABD边AD上的中线()BE是ABC边

20、AC上的中线 ()CH是ACD边AD上的高 ()三角形的高、中线与角平分线都是线段三角形的高、中线与角平分线都是线段拓展练习小结三角形的角平分线、中线、高线的比较相同点：（1）都是线段（2）都从顶点画出（3）所在直线都相交于一点不同点：角平分线反映的是角的相等关系中线反映的是线段的相等关系高线反映的是它和对边或对边所在直线的垂直关系ABC.把一根橡皮筋的一端固定在ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C.DEF G观察移动过程中形成的无数条线段（AD、AE、AF、AG）中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置?ABC.DABC.EABC.F2.线段中点的定义：3.角平

21、分线的定义：1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.复习过一点画已知直线的垂线0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?BAC三角形的高A从三角形的一个顶点BC向它的对边所在直线作垂线顶点 和垂足D之间的线段叫做三角形这边的高，简称三角形的高.如图

22、,线段AD是BC边上的高.任意画一个锐角ABC,和垂足的字母.A请你画出BC边上的高.标明 垂直的记号D三角形的高剪一个锐角三角形纸片.你能画出这个三角形的三条高吗?这三条高之间有怎样的位置关系？你能用折纸的办法得到它们吗?O锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?ABCDEF使折痕过顶点,顶点的对边边缘重合这三条高之间有怎样的位置关系？锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?OABCDEF在纸上画出一个直角三角形.画出直角三角形的三条高,直角边BC边上的高是直角边AB边上的高是它们有怎样的位置关系？斜边AC边上的高是ABCDEF钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？

23、AD是 ABC的高，AD BDA=CDA=90.三角形的高的表示法从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边上的高.三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形31相交不相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线.ABCDABCDAD是 ABC的中线，BD=CD=12BCABCD三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.EFOABCD12ABCDAD是 ABC的角平分线，BAD=CAD=BA

24、C.12任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部.ACBFEDO三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？思考三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线如图，ABC中，AB边上的高是 ，BC边上的高是 ，AC边上的高是 今天我们学了什么呀？本课小结三角形的三角形的重要线段重要线段概念概念图形图形表示法表示法三角形三角形的高线的高线从三角形的一个顶从三角形的一个顶点向它的对边所在点向它的对边所在的直线作垂线的直线作垂线,顶点顶点和垂足之间的线段和垂足之间的线段AD是是ABC的边的边BC上的高上的高线线，ADBC，ADB=ADC=90.三角形三角形的中线的中线三角形中三角形中,连接一个连接一个顶点和它对边中点顶点和它对边中点的线段的线段 AD是ABC的边BC上的中线，BD=CD=BC.三角形的三角形的角平分线角平分线三角形一个内角的三角形一个内角的平分线与它的对边平分线与它的对边相交相交,这个角的顶点这个角的顶点与交点之间的线段与交点之间的线段AD是ABC的内角BAC的平分线，1=2=BAC.?D?C?B?A?D?C?B?A?2?1?D?C?B?A2121