1.3二项式定理(通用).ppt

1、1（一）、创设情境（一）、创设情境引出问题引出问题 问题问题:7天后的这一天是星期几呢？15天后的这一天呢？算法：用各个数除以7，看余数是多少，再用二加余数来推算)()nabnN（的的展展开开式式是是什什么么？若今天是星期二若今天是星期二,再过再过8100天后的那一天是星期几天后的那一天是星期几?的余数是多少？除以 78100100100)17(8推陈出新推陈出新()1ab()2ab()3ab()4ab=?（二）、存疑设问（二）、存疑设问222aabbab?对对 展开式的分析展开式的分析2)(ba(a+b)2是是2个个(a+b)相乘，即相乘，即(a+b)2=(a+b)(a+b)=(a+b)(a

2、+b)=aa+ab+ba+bb每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有22=22项，而且每一项而且每一项a,b次数和都是次数和都是2且每且每一项都是一项都是 的形式。a2-kbk(k=0,1,2)(a+b)2(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种，则种，则ab前的系数为前的系数为C21恰有恰有2个取

3、个取b的情况有的情况有C22 种，则种，则b2前的系数为前的系数为C22每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C20,则则a2前的系前的系数为数为C20(a+b)2 =a2+2ab+b2 C20 a2+C21 ab+C22 b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33 b3对对(a+b)(a+b)2 2展开式的分析展开式的分析 知识，只有以我们自主探知识，只有以我们自主探索的方式获得才显得更为珍贵。索的方式获得才显得更为珍贵。尝试猜想尝试猜想)()(*Nnban?=?.()nab =?请同学们猜一猜请同学们猜一猜:4)ba（猜想

4、猜想:(a+b)n展开式又是怎样的呢？展开式又是怎样的呢？nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba110)()(*Nn初步归纳初步归纳1()nnnn kknabaababb（）（）（）（）二项式二项式二项展开式二项展开式1k 记作记作:1kn kkknTC ab二项式定理（二项式定理（binomial theorem)(NnnnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba110)(这个公式叫做这个公式叫做na b右边的多项式叫做右边的多项式叫做二项式定理二项式定理,左边的多项式叫做左边的多项式叫做二项式二项式,的的二项展开式，二项展开式，其中各项的系数其中各项的系数0,1,2knC

5、 kn称为称为二项式系数，二项式系数，式中的式中的knkknC ab展开式的第展开式的第 项项,叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项，通项，它是二项它是二项1二项式系数规律：二项式系数规律：nnnnnCCCC、2102.指数规律：指数规律：（1）各项的次数均为）各项的次数均为n；（2）a的次数按降幂排列，由的次数按降幂排列，由n降到降到0，b的次数按升幂排列，由的次数按升幂排列，由0升到升到n.3.项数规律：项数规律：展开式共有展开式共有n+1个项个项二项式二项式二项展开式二项展开式1k 第第 项的二项式系数项的二项式系数通项通项nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba 110例例:

6、求求 的展开式的展开式5)21(X5432555445335225115005532808040101)2()2)2()2()2()2()21xxxxxxCxCxCxCxCxCx（解：（5)21x（401040)2(125223253项的系数为二项式系数为CxxCT76543212844867256028084141xxxxxxx 70613243342516072121212121212121xxxxxxxxx7 77 76 67 75 57 74 47 73 37 72 27 71 17 70 07 77 7C CC CC CC CC CC CC CC C)2 2（1 11 1333373

7、3737132802)2(1xxCxCT解：解：(2 2)所以展开式所以展开式第第4项项的系数是的系数是280而展开式而展开式第第4项的二项式系数项的二项式系数3537C(3)展开式一共有展开式一共有8项，倒数第项，倒数第4项是第项是第5项，项，44347556021xxCT 课堂训练课堂训练 引例：引例：今天是星期二，若今天是星期二，若 天后的这一天是星天后的这一天是星期几呢？期几呢？1008rrCCC1001009911001000100100100777178）（010010019910077CC解解:被被7除的余数是除的余数是1，因此，因此 天后的这天后的这一天是星期三一天是星期三.100810081.知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。2.方法收获：正确区分方法收获：正确区分“项的系数项的系数”和和“二项式系数二项式系数”二项式定理二项式定理二项式二项式二项式展开式二项式展开式011nnnkn kknnnnnna bC aC a bC abC b1k 第第 项的二项式系数项的二项式系数通项通项类比思想，类比思想，从特殊从特殊 一般一般 特殊，特殊，归纳猜想的数学思想归纳猜想的数学思想3.思维收获思维收获 习题习题1.3 A组组 2、437P