2021等比数列及其前n项和(优秀)课件.ppt

1、要点梳理要点梳理1.1.等比数列的定义等比数列的定义 如 果 一 个 数 列如 果 一 个 数 列 ，那么这个数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母通常用字母 表示表示.2.2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式 设等比数列设等比数列 a an n 的首项为的首项为a a1 1，公比为，公比为q q，则它的通，则它的通项项a an n=.6.3 6.3 等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和从第二项起，后项与相邻前项的比是从第二项起，后项与相邻前项的比是一个确定的常数（不为零）一个确定的常数（不为零）公比公比q qa a1

2、 1q qn n-1-1基础知识基础知识 自主学习自主学习3.3.等比中项等比中项 若若 ，那么，那么G G叫做叫做a a与与b b的等比中项的等比中项.4.4.等比数列的常用性质等比数列的常用性质（1 1）通项公式的推广：）通项公式的推广：a an n=a am m ,(,(n n，m mN N*).).（2 2）若）若 a an n 为等比数列，且为等比数列，且k k+l l=m m+n n，（，（k k，l l，m m，n nN N*），则），则 .（3 3）若）若 a an n，b bn n（项数相同）是等比数列，则（项数相同）是等比数列，则 a an n（00），），a an nb

3、bn n，仍是等比数列仍是等比数列.G G2 2=a ab bq qn n-m ma ak ka al l=a am ma an nna12nannba5.5.等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 等比数列等比数列 a an n 的公比为的公比为q q（q q00），其前），其前n n项和为项和为S Sn n，当当q q=1=1时，时，S Sn n=nana1 1；当；当q q11时，时，S Sn n=6.6.等比数列前等比数列前n n项和的性质项和的性质 公比不为公比不为-1-1的等比数列的等比数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，则，则S Sn n，S S2

4、 2n n-S Sn n，S S3 3n n-S S2 2n n仍成等比数列，其公比为仍成等比数列，其公比为 .qqan1)1(1.111)1(111qaqqaqqannq qn n基础自测基础自测1.1.设设a a1 1=2,=2,数列数列 a an n+1+1是以是以3 3为公比的等比数列，则为公比的等比数列，则a a4 4的值为的值为（）A.80A.80B.81B.81C.54C.54D.53D.53 解析解析 由已知得由已知得a an n+1=(+1=(a a1 1+1)+1)q qn n-1-1,即即a an n+1=33+1=33n n-1-1=3=3n n,a an n=3=3n

5、 n-1-1，a a4 4=3=34 4-1=80.-1=80.A2.2.等比数列等比数列 a an n 中，中，a a4 4=4,=4,则则a a2 2a a4 4a a6 6等于（等于（）A.4 B.8 C.32 D.64A.4 B.8 C.32 D.64 解析解析 a a4 4是是a a2 2与与a a6 6的等比中项，的等比中项，a a2 2a a6 6=16.=16.a a2 2a a4 4a a6 6=64.=64.D24a3.3.（20092009广东文，广东文，5 5）已知等比数列已知等比数列 a an n 的公比为的公比为正数，且正数，且a a3 3a a9 9=2 ,=2

6、,a a2 2=1,=1,则则a a1 1=（）A.2 B.C.D.A.2 B.C.D.解析解析 设公比为设公比为q q,由已知得由已知得a a1 1q q2 2a a1 1q q8 8=2(=2(a a1 1q q4 4)2 2,即即q q2 2=2.=2.因为等比数列因为等比数列 a an n 的公比为正数的公比为正数,所以所以q q=,=,故故a a1 1=C25a22221.22212qa24.4.在等比数列在等比数列 a an n 中，前中，前n n项和为项和为S Sn n，若，若S S3 3=7=7，S S6 6=63=63，则公比则公比q q的值是的值是（）A.2A.2B.-2B

7、.-2C.3C.3D.-3D.-3 解析解析 方法一方法一 依题意，依题意，q q1,1,=7 =7，=63.=63.得得1+1+q q3 3=9,=9,q q3 3=8,=8,q q=2.=2.方法二方法二 (a a1 1+a a2 2+a a3 3)q q3 3=a a4 4+a a5 5+a a6 6,而而a a4 4+a a5 5+a a6 6=S S6 6-S S3 3=56,=56,7 7q q3 3=56,=56,q q3 3=8,=8,q q=2.=2.Aqqa1)1(31qqa1)1(615.5.（2 0 0 8 2 0 0 8 浙 江 理，浙 江 理，6 6）已 知已 知

8、a an n 是 等 比 数是 等 比 数列列,a a2 2=2,=2,a a5 5=,=,则则a a1 1a a2 2+a a2 2a a3 3+a an na an n+1+1等于（等于（）A.16(1-4A.16(1-4-n n)B.16(1-2B.16(1-2-n n)C.(1-4 C.(1-4-n n)D.(1-2D.(1-2-n n)解析解析 a an na an n+1+1=4=4（）n n-1-144（）n n=2=25-25-2n n,故故a a1 1a a2 2+a a2 2a a3 3+a a3 3a a4 4+a an na an n+1+1 =2 =23 3+2+21

9、 1+2+2-1-1+2+2-3-3+2+25-25-2n nC332332.21,81325qqaa212141)41(332411)411(8nn题型一题型一 等比数列的基本运算等比数列的基本运算【例例1 1】已知】已知 a an n 为等比数列，为等比数列，a a3 3=2=2，a a2 2+a a4 4=，求，求 a an n 的通项公式的通项公式.根据等比数列的定义、通项公式及性根据等比数列的定义、通项公式及性质建立首项质建立首项,公比的方程组公比的方程组.解解 方法一方法一 设等比数列设等比数列 a an n 的公比为的公比为q q，则，则q q00，a a2 2=a a4 4=a

10、 a3 3q q=2=2q q，+2 +2q q=解得解得q q1 1=，q q2 2=3.=3.320思维启迪思维启迪,23qqaq2.32031题型分类题型分类 深度剖析深度剖析当当q q=时，时，a a1 1=18=18，a an n=18=18（）n n-1-1=2=23 33-3-n n.当当q q=3=3时，时，a a1 1=，a an n=3 3n n-1-1=2=23 3n n-3-3.综上所述，综上所述，a an n=2=23 33-3-n n或或a an n=2=23 3n n-3-3.方法二方法二 由由a a3 3=2,=2,得得a a2 2a a4 4=4=4，又，又a

11、 a2 2+a a4 4=，则则a a2 2，a a4 4为方程为方程x x2 2-x x+4=0+4=0的两根，的两根，31311318n9292320320a a2 2=a a2 2=6=6a a4 4=6 =6 a a4 4=解得解得或或.3232当当a a2 2=时时,q q=3,=3,a an n=a a3 3q qn n-3-3=2=23 3n n-3-3.当当a a2 2=6=6时，时，q q=,=,a an n=2=23 33-3-n na an n=2=23 3n n-3-3或或a an n=2=23 33-3-n n.（1 1）等比数列）等比数列 a an n 中中，a a

12、n n=a a1 1q qn n-1-1,S Sn n=中有五个量，可以知三求二；（中有五个量，可以知三求二；（2 2）注意分）注意分类讨论的应用类讨论的应用.3231探究提高探究提高qqan1)1(1知能迁移知能迁移1 1 已知等比数列已知等比数列 a an n 中，中，a a1 1=2,=2,a a3 3+2+2是是a a2 2和和a a4 4的等差中项的等差中项.（1 1）求数列）求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；（2 2）记）记b bn n=a an nloglog2 2a an n,求数列求数列 b bn n 的前的前n n项和项和S Sn n.解解 （1 1）设数列）设

13、数列 a an n 的公比为的公比为q q,由题意知：由题意知：2(2(a a3 3+2)=+2)=a a2 2+a a4 4,q q3 3-2-2q q2 2+q q-2=0-2=0，即，即(q q-2)(-2)(q q2 2+1)=0.+1)=0.q q=2=2，即，即a an n=22=22n n-1-1=2=2n n.（2 2）b bn n=a an nloglog2 2a an n=n n22n n,S Sn n=12+22=12+222 2+32+323 3+n n22n n.2 2S Sn n=12=122 2+22+223 3+32+324 4+（n n-1-1）22n n+n

14、 n22n n+1+1.-得得-S Sn n=2=21 1+2+22 2+2+23 3+2+24 4+2+2n n-n n22n n+1+1=-2-(=-2-(n n-1)2-1)2n n+1+1.S Sn n=2+=2+（n n-1-1）22n n+1+1.题型二题型二 等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明【例例2 2】（20082008湖北文，湖北文，2121）已知数列已知数列 a an n 和和 b bn n 满足：满足：a a1 1=,=,a an n+1+1=a an n+n n-4,-4,b bn n=(-1)=(-1)n n(a an n-3-3n n+21),+21),其其

15、中中 为实数，为实数，n n为正整数为正整数.（1 1）证明：对任意实数）证明：对任意实数 ,数列数列 a an n 不是等比数列不是等比数列;（2 2）证明：当）证明：当 -18-18时，数列时，数列 b bn n 是等比数列是等比数列.（1 1）可用反证法）可用反证法.（2 2）根据递推关系推出）根据递推关系推出b bn n+1+1=-=-b bn n，用，用 -18-18说明说明b b1 100，即，即b bn n0.0.32思维启迪思维启迪32证明证明 （1 1）假设存在一个实数）假设存在一个实数 ,使使 a an n 是等比数列是等比数列,则有则有 =a a1 1a a3 3,即即

16、9=0,9=0,矛盾矛盾.所以所以 a an n 不是等比数列不是等比数列.（2 2）b bn n+1+1=(-1)=(-1)n n+1+1a an n+1+1-3(-3(n n+1)+21+1)+21=(-1)=(-1)n n+1+1(a an n-2-2n n+14)+14)=-(-1)=-(-1)n n(a an n-3-3n n+21)=-+21)=-b bn n.又又 -18-18，所以，所以b b1 1=-(+18)0.=-(+18)0.22a)494()332(2494949422323232 由上式知由上式知b bn n0,0,所以所以 (n nN N*).).故当故当 -18

17、-18时，数列时，数列 b bn n 是以是以-(+18)-(+18)为首项，为首项，为公比的等比数列为公比的等比数列.证明一个数列是等比数列的主要方法有证明一个数列是等比数列的主要方法有 两种：一是利用等比数列的定义，即证明两种：一是利用等比数列的定义，即证明 (q q0,0,n nN N*)，二是利用等比中项法，即证明，二是利用等比中项法，即证明 =a an na an n+2+20(0(n nN N*).).在解题中，要注意根据欲证明在解题中，要注意根据欲证明 的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构 造出符合等比数列定义式的形式，从而证明

18、结论造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论.探究提高探究提高321nnbb32qaann121na知能迁移知能迁移2 2 （20092009全国全国理，理，1919）设数列设数列 a an n 的的前前n n项和为项和为S Sn n,已知已知a a1 1=1=1，S Sn n+1+1=4=4a an n+2.+2.（1 1）设）设b bn n=a an n+1+1-2-2a an n，证明数列，证明数列 b bn n 是等比数列；是等比数列；（2 2）求数列）求数列 a an n 的通项公式的通项公式.（1 1）证明证明 由已知有由已知有a a1 1+a a2 2=4=4a a1 1+2,

19、+2,解得解得a a2 2=3=3a a1 1+2=5,+2=5,故故b b1 1=a a2 2-2-2a a1 1=3.=3.又又a an n+2+2=S Sn n+2+2-S-Sn n+1+1 =4 =4a an n+1+1+2-(4+2-(4a an n+2)=4+2)=4a an n+1+1-4-4a an n,于是于是a an n+2+2-2-2a an n+1+1=2(=2(a an n+1+1-2-2a an n)，即，即b bn n+1+1=2=2b bn n.因此数列因此数列 b bn n 是首项为是首项为3,3,公比为公比为2 2的等比数列的等比数列.(2)(2)解解 由（

20、由（1 1）知等比数列）知等比数列 b bn n 中中b b1 1=3,=3,公比公比q q=2,=2,所以所以a an n+1+1-2-2a an n=3=32 2n n-1-1,于是于是因此数列因此数列 是首项为是首项为 ,公差为公差为 的等差数列的等差数列,所以所以a an n=(3=(3n n-1)2-1)2n n-2-2.,432211nnnnaanna22143,414343)1(212nnann题型三题型三 等比数列的性质及应用等比数列的性质及应用【例例3 3】在等比数列】在等比数列 a an n 中，中，a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4+a a5 5=8=

21、8且且 =2,=2,求求a a3 3.（1 1）由已知条件可得）由已知条件可得a a1 1与公比与公比q q的方程的方程组，解出组，解出a a1 1、q q，再利用通项公式即可得，再利用通项公式即可得a a3 3.（2 2）也可利用性质）也可利用性质 =a a1 1a a5 5=a a2 2a a4 4直接求得直接求得a a3 3.解解 方法一方法一 设公比为设公比为q q,显然显然q q1,1,a an n 是等比数列，是等比数列，也是等比数列，公比也是等比数列，公比 为为 .思维启迪思维启迪11a54321111aaaa23ana1q1 =（a a1 1q q2 2）2 2=4=4，a a

22、3 3=2.2.方法二方法二 由已知得由已知得 =4.=4.a a3 3=2.2.由已知条件得由已知条件得211)11(181)1(5151qqaqqa,4421qa解得23a23a.28111112323543212334242515154321aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 探究提高探究提高 在解决等比数列的有关问题时，要注在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若若m m+n n=p p+q q,则则a am ma an n=a ap pa aq q”，可以减少运算量，可以减少运算量，提高解题速度提高解题速度

23、.知能迁移知能迁移3 3 （1 1）已知等比数列）已知等比数列 a an n 中，有中，有a a3 3a a1111=4=4a a7 7，数列数列 b bn n 是等差数列，且是等差数列，且b b7 7=a a7 7,求求b b5 5+b b9 9的值的值;（2 2）在等比数列）在等比数列 a an n 中，若中，若a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4=1,=1,a a1313a a1414a a1515a a1616=8,8,求求a a4141a a4242a a4343a a4444.解解 （1 1）a a3 3a a1111=4=4a a7 7，a a7 700，a a7 7

24、=4=4，b b7 7=4=4，b bn n 为等差数列，为等差数列，b b5 5+b b9 9=2=2b b7 7=8.=8.27a（2 2）方法一方法一 a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4=a a1 1a a1 1qaqa1 1q q2 2a a1 1q q3 3=q q6 6=1.=1.a a1313a a1414a a1515a a1616=a a1 1q q1212a a1 1q q1313a a1 1q q1414a a1 1q q1515=q q5454=8.=8.：=q q4848=8=8q q1616=2=2，又又a a4141a a4242a a4343a a

25、4444=a a1 1q q4040a a1 1q q4141a a1 1q q4242a a1 1q q4343=q q166166=q q6 6q q160160=(=(q q6 6)()(q q1616)1010=12=121010=1 024.=1 024.41a41a6415441qaqa41a41a41a方法二方法二 由性质可知，依次由性质可知，依次4 4项的积为等比数列，项的积为等比数列，设公比为设公比为p p，设，设T T1 1=a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4=1=1，T T4 4=a a1313a a1414a a1515a a1616=8=8，T T4 4

26、=T T1 1p p3 3=1=1p p3 3=8=8，p p=2.=2.T T1111=a a4141a a4242a a4343a a4444=T T1 1p p1010=2=21010=1 024.=1 024.题型四题型四 等差、等比数列的综合应用等差、等比数列的综合应用【例例4 4】（1212分）已知等差数列分）已知等差数列 a an n 的首项的首项a a1 1=1,=1,公公差差d d0 0，且第，且第2 2项、第项、第5 5项、第项、第1414项分别是等比数项分别是等比数列列 b bn n 的第的第2 2项、第项、第3 3项、第项、第4 4项项.（1 1）求数列）求数列 a a

27、n n 与与 b bn n 的通项公式；的通项公式；（2 2）设数列）设数列 c cn n 对对n nN N*均有均有 =a an n+1+1成成立，求立，求c c1 1+c c2 2+c c3 3+c c2 0102 010.（1 1）可用基本量法求解；（）可用基本量法求解；（2 2）作差）作差a an n+1+1-a an n=nnbcbcbc2211思维启迪思维启迪.nnbc解解 （1 1）由已知有）由已知有a a2 2=1+=1+d d,a a5 5=1+4=1+4d d,a a1414=1+13=1+13d d,（1+41+4d d）2 2=(1+=(1+d d)(1+13)(1+1

28、3d d).).解得解得d d=2(=2(d d0).20).2分分a an n=1+(=1+(n n-1)2=2-1)2=2n n-1.3-1.3分分又又b b2 2=a a2 2=3,=3,b b3 3=a a5 5=9,=9,数列数列 b bn n 的公比为的公比为3,3,b bn n=33=33n n-2-2=3=3n n-1-1.5.5分分（2 2）由）由 得得当当n n22时时,两式相减得两式相减得:n n22时时,=,=a an n+1+1-a an n=2.8=2.8分分.112211nnnabcbcbc12211nnnabcbcbcnnbcc cn n=2=2b bn n=2

29、3=23n n-1-1(n n2).2).又当又当n n=1=1时，时，=a a2 2,c c1 1=3.=3.3 3(n n=1)=1)23 23n n-1-1(n n2).2).10 10分分c c1 1+c c2 2+c c3 3+c c2 0102 010=3+=3+(-3+3=3+=3+(-3+32 0102 010)=3)=32 0102 010.12.12分分 在解决等差、等比数列的综合题时，重在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前通项公式及前n n项和公式项和公式.本题第（本题第

30、（1 1）问就是用基本量）问就是用基本量公差、公比求解；第（公差、公比求解；第（2 2）问在作差）问在作差a an n+1+1-a an n时要注意时要注意n n2.2.探究提高探究提高11bcc cn n=313260102知能迁移知能迁移4 4 已知数列已知数列 a an n 中，中，a a1 1=1,=1,a a2 2=2,=2,且且a an n+1+1=(1+=(1+q q)a an n-qaqan n-1-1(n n2,2,q q0).0).（1 1）设）设b bn n=a an n+1+1-a an n(n nN N*),),证明：证明：b bn n 是等比数是等比数列；列；（2

31、2）求数列）求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；（3 3）若）若a a3 3是是a a6 6与与a a9 9的等差中项，求的等差中项，求q q的值，并证明：的值，并证明：对任意的对任意的n nN N*,a an n是是a an n+3+3与与a an n+6+6的等差中项的等差中项.（1 1）证明证明 由题设由题设a an n+1+1=（1+1+q q）a an n-qaqan n-1-1 （n n22），），得得a an n+1+1-a an n=q q(a an n-a an n-1-1),),即即b bn n=qbqbn n-1-1,n n2.2.由由b b1 1=a a2 2

32、-a a1 1=1,=1,q q0,0,所以所以 b bn n 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为q q 的等比数列的等比数列.（2 2）解解 由（由（1 1），），a a2 2-a a1 1=1,=1,a a3 3-a a2 2=q q,a an n-a an n-1-1=q qn n-2-2(n n2).2).将以上各式相加，得将以上各式相加，得a an n-a a1 1=1+=1+q q+q qn n-2-2(n n2)2)，即即a an n=a a1 1+1+1+q q+q qn n-2-2(n n2).2).所以当所以当n n22时，时，（3 3）解解 由（由（2 2），当），当

33、q q=1=1时，显然时，显然a a3 3不是不是a a6 6与与a a9 9的的等差中项，故等差中项，故q q1.1.由由a a3 3-a a6 6=a a9 9-a a3 3可得可得q q5 5-q q2 2=q q2 2-q q8 8,由由q q00得得q q3 3-1=1-1=1-q q6 6,上式对上式对n=n=1 1显然成立显然成立.1,1,1111qnqqqann整理得（整理得（q q3 3）2 2+q q3 3-2=0,-2=0,解得解得q q3 3=-2=-2或或q q3 3=1=1（舍去）（舍去）.于是于是q q=.=.另一方面，另一方面，a an n-a an n+3+3

34、=a an n+6+6-a an n=由由可得可得a an n-a an n+3+3=a an n+6+6-a an n,即即2 2a an n=a an n+3+3+a an n+6+6,n nN N*.所以对任意的所以对任意的n nN N*,a an n是是a an n+3+3与与a an n+6+6的等差中项的等差中项.32),1(113112qqqqqqnnn).1(116151qqqqqqnnn方法与技巧方法与技巧1.1.等比数列的判定方法有以下几种：等比数列的判定方法有以下几种：(1)(1)定义：定义：=q q(q q是不为零的常数，是不为零的常数，n nN N*)a an n 是

35、等比数列是等比数列.(2)(2)通项公式：通项公式：a an n=cqcqn n(c c、q q均是不为零的常数均是不为零的常数,n nN N*)a an n 是等比数列是等比数列.(3)(3)中项公式中项公式:=a=an na an n+2+2(a an na an n+1+1a an n+2+20,0,n nN N*)a an n 是等比数列是等比数列.nnaa121na思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.方程观点以及基本量（首项和公比方程观点以及基本量（首项和公比a a1 1,q q）思想仍）思想仍 然是求解等比数列问题的基本方法：在然是求解等比数列问题的基本方法：在a a1 1,

36、q q,n n,a an n,S Sn n 五个量中，知三求二五个量中，知三求二.3.3.分类讨论的思想：当分类讨论的思想：当a a1 10,0,q q 1 1或或a a1 10,00,0q q 1 1时，时，a an n 为递增数列；当为递增数列；当a a1 10,0,q q1 1或或a a1 10,0,0 0q q1 1时，时，a an n 为递减数列；当为递减数列；当q q0 0时，时，a an n 为摆动数列；当为摆动数列；当q q=1=1时，时，a an n 为常数列为常数列.失误与防范失误与防范1.1.特别注意特别注意q q=1=1时，时，S Sn n=nana1 1这一特殊情况这

37、一特殊情况.2.2.由由a an n+1+1=qaqan n,q q0,0,并不能立即断言并不能立即断言 a an n 为等比数为等比数 列，还要验证列，还要验证a a1 10.0.3.3.S Sn n+m m=S Sn n+q qn nS Sm m.一、选择题一、选择题1.1.（20092009广东理，广东理，4 4）已知等比数列已知等比数列 a an n 满足满足a an n0,0,n n=1,2,=1,2,且且a a5 5a a2 2n n-5-5=2=22 2n n(n n3)3)，则当，则当n n11时，时，loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a3 3+log+l

38、og2 2a a2 2n n-1-1=（）A.A.n n(2(2n n-1)B.(-1)B.(n n+1)+1)2 2 C.C.n n2 2 D.(D.(n n-1)-1)2 2 解析解析 由题意知由题意知a an n=2=2n n,log,log2 2a a2 2n n-1-1=2=2n n-1,-1,log log2 2a a1 1+log+log2 2a a3 3+log+log2 2a a2 2n n-1-1=1+3+(2=1+3+(2n n-1)=-1)=n n2 2.C定时检测定时检测2.2.（20092009辽宁理，辽宁理，6 6）设等比数列设等比数列 a an n 的前的前n

39、n项和为项和为S Sn n,若若 =3,=3,则则 =（）A.2A.2B.C.D.3B.C.D.3 解析解析 由题意知由题意知 q q3 3=2.=2.B36SS69SS3738,31111)1(1)1(336316136qqqqqaqqaSS.374181)(1)(1111)1(1)1(233369619169qqqqqqaqqaSS3.3.等比数列等比数列 a an n 中，其公比中，其公比q q0 0，且，且a a2 2=1-=1-a a1 1,a a4 4=4-=4-a a3 3,则则a a4 4+a a5 5等于等于（）A.8A.8B.-8B.-8C.16C.16D.-16D.-16

40、 解析解析 a a1 1+a a2 2=1=1，a a3 3+a a4 4=4=4=（a a1 1+a a2 2）q q2 2，又又q q0 0，q q=-2.=-2.a a4 4+a a5 5=（a a3 3+a a4 4）q q=4=4（-2-2）=-8.=-8.B4.4.在数列在数列 a an n 中，中，a an n+1+1=cacan n(c c为非零常数为非零常数)，且前，且前n n项项和为和为S Sn n=3=3n n+k k，则实数，则实数k k的值为的值为（）A.0A.0B.1B.1C.-1C.-1D.2D.2 解析解析 a an n 为等比数列的充要条件是为等比数列的充要条

41、件是S Sn n=由由S Sn n=3=3n n+k k知知k k=-1.=-1.C),1(11nqqa5.5.等比数列等比数列 a an n 的公比为的公比为q q，其前，其前n n项的积为项的积为T Tn n，并且满足，并且满足条件条件a a1 11,1,a a9999a a100100-1-10 0，0.0.给出下列结论：给出下列结论：0 0q q1 1；a a9999a a101101-1-10 0；T T100100的值是的值是T Tn n中最大中最大的；的；使使T Tn n1 1成立的最大自然数成立的最大自然数n n等于等于198.198.其中正确其中正确的结论是的结论是 （）A.

42、A.B.B.C.C.D.D.1110099aa解析解析 中，中，正确正确.a a9999a a101101=a a1001002 2 0 0a a1001001 1 T T100100=T T9999a a100100 0 0a a1001001 1101110)1)(1(1009911009910099aaaaaaa),1,0(99100aaq中，中，a a9999a a1011011,1,正确正确.T T100100T T9999,错误错误.中，中，中，中，T T198198=a a1 1a a2 2a a198198=(=(a a1 1a a198198)()(a a2 2a a1971

43、97)(a a9999a a100100)=()=(a a9999a a100100)99991,1,T T199199=a a1 1a a2 2a a198198a a199199=（a a1 1a a199199）(a a9999a a101101)a a100100=a a1001001991991,1,正确正确.答案答案 A6.6.在正项等比数列在正项等比数列 a an n 中，中，a an n+1+1a an n，a a2 2a a8 8=6=6，a a4 4+a a6 6=5,=5,则则 等于等于 （）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 设公比为设公比为q q,则由则由a a

44、n n+1+1a an n知知0 0q q1,1,由由a a2 2a a8 8=6=6，得，得 =6.=6.a a5 5=，a a4 4+a a6 6=解得解得q q=D75aa6556322325a6.566qq.23)26(1,622275qaa二、填空题二、填空题7.7.（20092009浙江，浙江，1111）设等比数列设等比数列 a an n 的公比的公比q q=前前n n项和为项和为S Sn n，则，则 =.解析解析 S S4 4=a a4 4=a a1 1q q3 3,1515,2144aS,1)1(41qqa.152121211)1(1)1()1(3434314144qqqqqa

45、qaaS8.8.（20092009海南文，海南文，1515）等比数列等比数列 a an n 的公比的公比q q0.0.已知已知a a2 2=1=1，a an n+2+2+a an n+1+1=6=6a an n，则，则 a an n 的前的前4 4项和项和S S4 4=.解析解析 a an n 是等比数列，是等比数列，a an n+2+2+a an n+1+1=6=6a an n可化可化 为为a a1 1q qn n+1+1+a a1 1q qn n=6=6a a1 1q qn n-1-1,q q2 2+q q-6=0-6=0 q q0,0,q q=2,=2,S S4 4=21521)21(2

46、11)1(441qqa2159.9.（20092009江苏，江苏，1414）设设 a an n 是公比为是公比为q q的等比数列，的等比数列，|q q|1,1,令令b bn n=a an n+1(+1(n n=1,2,)=1,2,)，若数列，若数列 b bn n 有连续有连续 四项在集合四项在集合-53,-23-53,-23，1919，3737，8282中，则中，则6 6q q=.解析解析 由题意知，数列由题意知，数列 b bn n 有连续四项在集合有连续四项在集合-53,-53,-23,19,37,82 -23,19,37,82中，说明中，说明 a an n 有连续四项在集合有连续四项在集合

47、-54,-54,-24,18,36,81 -24,18,36,81中，由于中，由于 a an n 中连续四项至少有一项中连续四项至少有一项 为负，为负，q q0,0,又又|q q|1,1,a an n 的连续四项为一的连续四项为一24,36,-54,81.24,36,-54,81.q q=6=6q q=-9.=-9.-9-9,232436三、解答题三、解答题10.10.等比数列等比数列 a an n 满足满足:a a1 1+a a6 6=11,=11,a a3 3a a4 4=，且公，且公 比比q q(0,1).(0,1).（1 1）求数列）求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；（2

48、2）若该数列前）若该数列前n n项和项和S Sn n=21=21，求，求n n的值的值.解解 （1 1）a a3 3a a4 4=a a1 1a a6 6=，由条件知由条件知a a1 1,a a6 6是方程是方程x x2 2-11-11x x+=0+=0的两根，的两根，解得解得x x=或或x x=93293293231.332 又又0 0q q1,1,a a1 1=,=,a a6 6=.=.q q5 5=即即q q=a an n=a a6 6q qn n-6-6=()=()n n-6-6.（2 2）令）令 =21=21，得，得 ,n n=6.=6.31332,32116aa,213121211

49、)21(1 332n641)21(n11.11.数列数列 a an n 中，中，a a1 1=2,=2,a a2 2=3,=3,且且 a an na an n+1+1 是以是以3 3为公比的为公比的等比数列，记等比数列，记b bn n=a a2 2n n-1-1+a a2 2n n(n nN N*).).（1 1）求）求a a3 3,a a4 4,a a5 5,a a6 6的值；的值；（2 2）求证：）求证：b bn n 是等比数列是等比数列.（1 1）解解 a an na an n+1+1 是公比为是公比为3 3的等比数列，的等比数列，a an na an n+1+1=a a1 1a a2

50、233n n-1-1=23=23n n，a a3 3=6=6，a a4 4=9=9，a a5 5=18=18，a a6 6=27.=27.2232a3332a5532a4432a（2 2）证明证明 a an na an n+1+1 是公比为是公比为3 3的等比数列，的等比数列，a an na an n+1+1=3=3a an n-1-1a an n，即，即a an n+1+1=3=3a an n-1-1，a a1 1，a a3 3，a a5 5,，a a2 2n n-1-1，与与a a2 2,a a4 4,a a6 6，a a2 2n n，都是公比为都是公比为3 3的等比数列的等比数列.a a