(研究生课件应用数学基础)4线性赋范空间.ppt
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- 研究生课件应用数学基础 研究生 课件 应用 数学 基础 线性 空间
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1、1第一章第一章 集合上的数学结构集合上的数学结构(抽象空间)(抽象空间)4.4.线性赋范空间线性赋范空间一、线性赋范空间概念与性质一、线性赋范空间概念与性质二、有限维线性赋范空间二、有限维线性赋范空间有限维线性赋范空间的基本性质有限维线性赋范空间的基本性质:有限维线性赋范空间都是完备的有限维线性赋范空间都是完备的2u一、线性赋范空间的概念和性质一、线性赋范空间的概念和性质定义定义4.1 4.1 设设V V是数域是数域F F上的线性空间上的线性空间.如果如果 x x V,V,对应一个非负实数对应一个非负实数,即即V VR R是一泛函是一泛函,满足满足:(1)(1)x x V,x0;x=0V,x0
2、;x=0 x=x=.(2)(2)k k F,xF,x V,kxV,kx=|k|x.=|k|x.(3)(3)x,yx,y V,x+yx+y,V,x+yx+y,则称则称x(xx(x V)V)为为x x的范数的范数,V,V成为成为F F上的线性上的线性 赋范空间赋范空间.3设设V V是线性赋范空间。定义映射:是线性赋范空间。定义映射:V V V VR R,(x,y)=xy(x,yV)(x,y)=xy(x,yV)容易验证:容易验证:是是V V上的度量,从而上的度量,从而VV,是度量是度量空间,因而,空间,因而,V V是(度量)拓扑空间。于是,是(度量)拓扑空间。于是,V V上有开集上有开集 、闭集、极
3、限点、导集、闭包、闭集、极限点、导集、闭包、收敛、连续、完备、紧致、列紧等概念。收敛、连续、完备、紧致、列紧等概念。完备的线性赋范空间称为完备的线性赋范空间称为BanachBanach空间。空间。线性赋范空间线性赋范空间V V中序列中序列 x xn n 称为范数收敛于称为范数收敛于x x V,V,如果如果.0limxxnn4由于线性赋范空间由于线性赋范空间V V是线性空间,有加法和数乘是线性空间,有加法和数乘运算,故可讨论序列运算,故可讨论序列xxn n 的级数及其收敛的概念。的级数及其收敛的概念。称级数称级数xxxxnnn211收敛于收敛于s s V,V,如果如果.0limsSnn这里这里n
4、kknxS1.,11收敛如果称为绝对收敛的级数nnnnxx定理定理4.1 4.1 线性赋范空间线性赋范空间V V是完备的是完备的 V V中每个绝对收敛的级数都收敛中每个绝对收敛的级数都收敛.5证明证明:)设设V V完备完备.级数级数)1,.(:,11nVxxxnnnnn收敛要证绝对收敛 实际上实际上,S Sn nSSm m=x=xm m+1+1+x+xn nxxm m+1+1+x+xn n(nm),(nm),于是于是 S Sn n 是是V V中中CauchyCauchy列列,所以所以.1收敛nnx)任取任取V V中中CauchyCauchy列列 x xn n,则可找到自然数则可找到自然数n n
5、1 1nn2 2,使使 ).,2,1(21knnkxxkk因此因此.11xxnnkkk61.)(1kxxnnkk收敛由假设得到.,limVxnxkk由此易知从而从而,x,xn n 收敛收敛.例例4.1 4.1 x=(xx=(x1 1,x,x2 2,x,xn n)T T R Rn n,定义范数定义范数 ).1(|11|ppnkpkpxx则则R Rn n是线性赋范空间是线性赋范空间,而且是而且是BanachBanach空间空间.x x Ca,b,Ca,b,定义范数定义范数.|)(|maxtxbtax则则Ca,bCa,b是是BanachBanach空间空间.7x x L Lp pa,b,a,b,定义
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