随机过程(十四)-布朗运动课件.ppt
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- 关 键 词:
- 随机 过程 十四 布朗运动 课件
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1、Brown运动随机游动设一个粒子在直线上做随机游动,每隔Dt时间内等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t)记时刻t粒子的位置,则1/()()ttX tx XXD D其中1i 1i1(1)(1),()0,var()12iiiiiiXXP XP XE XX 如果第 步向右,相互独立如果第 步向左问:要令Dt和Dx趋于零,X(t)将会具有哪些性质?首先来看1/221/()()0()()()()(/)ttttE X tEx XXVar X tx Var XXxttDDD D DD因此,32,0()0,()0a.s.(),0,(),0,()txtVar X tX ttxtVar X txttVar
2、 X ttD DD D DD D DD 若取令,则从而,若取令则若取令则容易证明:(1)X(t)服从均值为0,方差为2t的正态分布;(2)X(t),t0有独立增量(3)X(t),t0有平稳增量Brown运动的定义随机过程B(t),t0如果满足(1)B(0)0;(2)B(t),t0有平稳独立增量;(3)对每个t0,B(t)服从正态分布N(0,2t).则称B(t),t0为布朗运动,也称为wiener过程。如果1,则称为标准布朗运动。注:第(1)条并不是必须的。如果B(0)x,则称B(t),t0为始于x的布朗运动,记为Bx(t)。Brown运动的另一种定义Brown运动是具有如下性质的随机过程B(t
3、),t0:(1)正态增量性:(2)独立增量性:B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u),0us。(3)路径的连续性:B(t)是t的连续函数。()()(0,),B tB sNtstsBrown的分布性质22/2()/20(1)()(0,),1 ()2 ()(,),1 ()2()xttxy xttdxB tNtf xetB tN x tf yxetBB tx它的密度函数为它的密度函数为空间齐次性t,0,0,(|)(|)(,0)tt stt stuX tPs tyRP XyP Xy XXut称随机过程是一族定义在(,)上的马氏过程,如果对任意及任意均有其中FFF定义:定义:连续Markov过程
4、的转移概率定义为在时刻s处于状态x的条件下,过程在时刻t的分布函数(,)()|()P y t x sP X ty X sxBrown的马氏性2()()()()()()()()2()()()(|)(|)()()(|)uB t suB tu B t sB tttuB tu B t sB tu tuB tuB tu B t sB ttE eFeE eFeE eeeeE eBBrown运动满足马氏性,采用条件期望证明如下独立增量性)()(|)uB t stE eF在Brown运动的情况下,转移概率是正态的()2()(,)()|()()()12()u xyt sP y t x sP B ty B sxP
5、 B tB syxeduts转移概率函数满足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,0),即()|()()|(0)P B ty B sxP B tsy Bx这个性质称为Brown运动的时间时齐性,即分布不随时间而变化.2()2()()(,),1 (,)()2(,)sty xttttB sxB tsp x yp x yef yxtp x y已知,的条件密度记为因此,与 无关。2/2(3)()()()|()()()12y xutB sxB tsP B tsy B sxP B tsB syxedut已知,的条件分布1111111111 (),()()|(),11 (),11()|()()|(),1
6、2 (),12()|()()|(nnnniiiinnnnnniiiinnnnnnnP B txB txP B txB txinP B txinP B txB txP B txB txinP B txinP B txB txP B txB t 12121122221111111221)()|()()(0,)(,)(,)nnnnxxxtttttnnnxP B txB tx P B txpy dypx y dypxy dy有限维分布密度112111211,111211211(,)(0,)(,)(,)()()()nnnnnttntttttnntttttnnfxxpx px xpxxfxfxxfxx注:
7、由有限维分布,可以计算任何想求的条件概率。例如,求给定B(t)=y时,B(s),ss,则E(B(t)B(s)=s。再由正态分布的性质和数学归纳法得到B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。(5)B(t),t0是均值函数为m(t)=0,协方差函数(s,t)=min(s,t)高斯过程。?下面证明B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。首先对任意t1t2,B(t1)N(0,t1),B(t2)N(t2),Cov(B(t1),B(t2)=t1,则利用正态分布的性质111212(),()(,),(0,0),ttB tB tNtt 利用数学归纳法可以证明(B(t1),B(t2),B(tn)服从多元正态分
8、布。例:设B(t),t0是标准布朗运动,1、求P(B(2)0)和P(B(t)0,t0,1,2)。2、求B(1)+B(2)+B(3)+B(4)的分布。3、1112()()()()6323BBBB求的分布。解:1、011(2)(0,2),(2)0)2(1)0,(2)0)(1)0,(1)(2)(1)0)(1)0,(2)(1)(1)(2)(1)()BNP BP BBP BBBBP BBBBP BBx f x dx 由于所以01100112 ()()()()()()3 8x f x dxx fx dxx dxydy 由条件期望的性质由积分的变量替换公式2、考虑随机向量X=(B(1),B(2),B(3),
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